2.林煒：大問題教學(xué)的數(shù)學(xué)思維方法滲透.docx

“大問題”教學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法滲透以北師大版四年級(jí)“游戲公平”教學(xué)為例深圳市福田區(qū)彩田學(xué)校 林煒隨著數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將“雙基”擴(kuò)展為“四基”，數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)教育的一個(gè)基本問題，被普遍重視。數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題，通?；旆Q為“數(shù)學(xué)思想方法”。“大問題”教學(xué)主要關(guān)注課堂教學(xué)的重要問題及數(shù)學(xué)教育的基本問題，那么對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的滲透，在課堂中是如何得以體現(xiàn)的呢？下面以筆者執(zhí)教的“游戲公平”一課，談?wù)剬?duì)此的看法。一、挖掘知識(shí)本質(zhì)，體現(xiàn)“建模思想”片斷1：建立關(guān)系，提大問題師：有個(gè)游戲，需要邀請(qǐng)一位同學(xué)來一起玩，你們說選男同學(xué)還是女同學(xué)來？（學(xué)生紛紛爭議）師：我想了兩個(gè)辦法來幫我決定誰來玩：A方案：抽到黑牌男生贏，抽到紅牌女生贏B方案：抽到大于3的男生贏，小于3的女生贏提大問題1：你覺得哪個(gè)方案合適？（請(qǐng)學(xué)生寫出自己的觀點(diǎn)和原因）生1： 生2：師：下面請(qǐng)幾位同學(xué)講解他們的觀點(diǎn)。生1：我選擇A方案，因?yàn)檫@是公平的。男女生贏的機(jī)率都有二分之一。師：機(jī)率，我們也可以稱為“可能性”，你能用可能性再說說嗎？生：A方案公平，因?yàn)槟信A的可能性都是二分之一。師：它們的可能性相等，是二分之一嗎？生：是啊，一共有兩張牌，黑牌是一張就男生贏，紅牌也是一張，女生贏。師：真厲害！還會(huì)用分?jǐn)?shù)的意義來解釋可能性的問題!師：那有同學(xué)選B方案的嗎？生：沒有師：為什么不選B呢？我們請(qǐng)另一位同學(xué)分享他的選擇和原因。生2： B方案不公平，因?yàn)樾∮?的有1，2 兩張牌，而大于3的就有4，5，6三張牌。師：兩類牌的張數(shù)不同那這個(gè)心中的天平還能平衡嗎？生：不平衡了！因?yàn)榭赡苄圆幌嗟?，男生贏有3種可能，女生只有2種可能，男生贏的可能性大。師：哦，那看來如果可能性不相等，規(guī)則就一定不公平。那你們能不能修改一下B方案，讓它變成公平的規(guī)則？生1：女孩1，2，3贏；男生4，5，6贏生2:去掉一張6，其他規(guī)則一樣本課屬于數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域中的“概率與統(tǒng)計(jì)”領(lǐng)域。概率學(xué)習(xí)的一個(gè)首要目標(biāo)是使學(xué)生不斷體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象這一特點(diǎn)，通過設(shè)計(jì)一些活動(dòng)，使學(xué)生體會(huì)到事件發(fā)生的等可能性。此處的“活動(dòng)”，我們可以理解為直觀操作或理性思辨兩種類型。也就是說，為了解答本課提出的第一個(gè)大問題：“你覺得哪個(gè)方案合適”，可以有兩個(gè)方向：第一，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證；第二，理性思考。本課選擇了第二種。因?yàn)樵谶@個(gè)指向?qū)W生理解和體會(huì)“等可能性”事件的大問題下，我們更傾向于給予空間挖掘?qū)W生在潛意識(shí)里主動(dòng)進(jìn)行的有意判斷，抓住孩子們?cè)谛睦锬纬傻摹疤炱侥Ｐ汀?，并以此思考和理性判斷何種方案是公平的。這個(gè)過程，就是幫助孩子建立數(shù)學(xué)模型。這個(gè)模型的啟動(dòng)是源于人類思維的發(fā)展規(guī)律：人思維發(fā)展總是先經(jīng)過“定性”階段，再經(jīng)歷“定量”階段。小時(shí)候，孩子會(huì)用“一定”、“可能”、“不一定”等來描述事件，但是對(duì)可能性有大小、甚至可以用數(shù)字來表示大小這一概念還是模糊的。教材沒有馬上進(jìn)入計(jì)算，而是抓住“可能性相等”這一重要概念，通過游戲活動(dòng)加深對(duì)它的理解?？梢?，本課的教學(xué)是處于“定性”到“定量”的中間橋梁部分。“可能性相等”概念建構(gòu)得到位，才能幫助日后深入對(duì)可能性大小進(jìn)行定量計(jì)算。介于“定性”與“定量”之間的一座橋梁，就像函數(shù)與方程思想所描述的“聯(lián)系”。怎樣的“聯(lián)系”才是公平的規(guī)則？究竟應(yīng)該先判斷公平事件的“等可能性”還是先判斷不公平事件的“不等可能性”更有助于模型的建立呢？本課是同時(shí)將這兩個(gè)會(huì)產(chǎn)生沖突的情形拋出，學(xué)生為了解決這個(gè)大問題，在選擇與說理的過程中自然而然會(huì)聯(lián)想到“等式”、“天平”等數(shù)學(xué)模型?！按髥栴}”教學(xué)中突出建模思想的價(jià)值在于：第一，建立模型本身就經(jīng)歷了理解、內(nèi)化、歸納、提煉等思維過程；第二，合理的模型建立有利于縮短知識(shí)間的空隙，如本課學(xué)生順理成章地跨越到了“定量”階段，是超出目標(biāo)預(yù)想的。二、還原知識(shí)起點(diǎn)，凸顯“實(shí)驗(yàn)思想”片斷2：問題探究，感性操作師：既然我們都認(rèn)同了修改后的方案是公平的，那是不是按照這樣抽牌，一定是男生贏一次女生贏一次呢？生：老師，不一定的。有可能運(yùn)氣不好，一直女生贏。師：有這個(gè)可能！大問題2：規(guī)則是公平的，那還能決出勝負(fù)嗎？生：可以決出勝負(fù)，肯定有輸有贏。師：真的嗎？要不我們來做個(gè)實(shí)驗(yàn)？每人抽2次，小組統(tǒng)計(jì)總數(shù)，看怎么樣？（分組實(shí)驗(yàn)后，結(jié)果討論）師：我們看看這些結(jié)果，第一組是男生多，第二組是女生總共是你們有什么發(fā)現(xiàn)？ 生1：我們組是女生贏。但是全班來看，還是男生贏。所以雖然兩種可能性相等，但抽出來的結(jié)果不一定。生2：應(yīng)該是男女生差不多。師：為什么會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果呢？應(yīng)該是規(guī)則不公平吧？如果規(guī)則是公平的，那應(yīng)該男生贏的次數(shù)和女生贏的次數(shù)一樣??！生：沒有，規(guī)則是公平的，出現(xiàn)這個(gè)結(jié)果是運(yùn)氣?？次覀兘y(tǒng)計(jì)了這邊一個(gè)大組的結(jié)果：師：那如果再抽很多很多次，你猜結(jié)果會(huì)怎么樣呢？生：可能男女生贏的次數(shù)會(huì)差不多。師：其實(shí)在很多很多年前，國外科學(xué)家做的拋硬幣實(shí)驗(yàn)（出示數(shù)據(jù)） 你有什么發(fā)現(xiàn)？生：做了很多很多次實(shí)驗(yàn)后，正反面出現(xiàn)的次數(shù)就越來越接近了。師：是的，所以在統(tǒng)計(jì)學(xué)上有個(gè)“貝努利大數(shù)定律”是這樣說的：“當(dāng)實(shí)驗(yàn)重復(fù)的次數(shù)足夠多時(shí)，出現(xiàn)的頻率就會(huì)越趨向于它本身的概率（可能性）”。師：同學(xué)們，我們剛剛所做的事情，其實(shí)是在經(jīng)歷千百年前科學(xué)家走過的路，你們“再創(chuàng)造”了統(tǒng)計(jì)的精華，為你們自豪！概率是研究不確定現(xiàn)象（隨機(jī)現(xiàn)象）的科學(xué)。隨機(jī)現(xiàn)象是指這樣一種現(xiàn)象：在相同的條件下重復(fù)同樣的試驗(yàn)，其試驗(yàn)結(jié)果不確定，以至于在試驗(yàn)之前無法預(yù)料哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。但大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果會(huì)出現(xiàn)一定的規(guī)律。隨機(jī)現(xiàn)象是由實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的，必定以實(shí)驗(yàn)作為基本活動(dòng)基礎(chǔ)，課堂上要還原實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)、操作、分析與結(jié)論過程，體現(xiàn)科學(xué)研究精神。實(shí)驗(yàn)，不僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，而且為形成良好的科學(xué)素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)?！按髥栴}”教學(xué)中，實(shí)驗(yàn)思想的形成與操作有了更大更完整的空間：第一，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，即為什么我們需要做這個(gè)實(shí)驗(yàn)？實(shí)驗(yàn)思想的第一步一定是實(shí)驗(yàn)動(dòng)機(jī)，人們會(huì)因?yàn)橐靼啄硞€(gè)問題而大量搜集數(shù)據(jù)，以期望通過數(shù)據(jù)帶來一定的結(jié)論。本課在實(shí)驗(yàn)前，先用理性分析了實(shí)驗(yàn)可能產(chǎn)生的結(jié)果規(guī)則是公平的，那是不是男女生贏的次數(shù)一定一樣多呢？帶著這個(gè)困惑，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生需要實(shí)驗(yàn)的欲望。另外，實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)需要帶有一定的挑戰(zhàn)性，源于理性判斷，又高于理性思考的設(shè)計(jì)最有價(jià)值。假如本課采用“拋硬幣”實(shí)驗(yàn)，就可能會(huì)產(chǎn)生這樣的問題：拋硬幣肯定是公平的！它的等可能性，一般不是通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的，而是根據(jù)人們長期形成的“對(duì)稱性經(jīng)驗(yàn)”確認(rèn)的。因此，在暫時(shí)還不需要計(jì)算概率的這個(gè)學(xué)段里，我們選擇的實(shí)驗(yàn)應(yīng)該避免孩子由自身的“對(duì)稱性經(jīng)驗(yàn)”就可以判斷的事件，如硬幣的正反面。因?yàn)椴恍枰ㄟ^理性思考得出的結(jié)論，就不會(huì)產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)的欲望。因此，設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)應(yīng)該是高于“對(duì)稱性經(jīng)驗(yàn)”的，或者也可以是可能性不相等的統(tǒng)計(jì)概型，造成認(rèn)知沖突后再進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。 第二，實(shí)驗(yàn)樣本，即需要在多大的范圍內(nèi)做實(shí)驗(yàn)才有效？按照孩子的常規(guī)思維，本課先安排小樣本實(shí)驗(yàn)，每人抽2次。這時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)實(shí)際數(shù)據(jù)并不像理論推斷一樣，那如何說明這是科學(xué)的呢？進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生聚焦“樣本”問題，在課堂的限制空間和時(shí)間里體會(huì)到“大量重復(fù)”的試驗(yàn)這是從非實(shí)驗(yàn)者進(jìn)步到科學(xué)實(shí)驗(yàn)者的分水嶺。分組實(shí)驗(yàn)再匯總結(jié)果這樣的方法相對(duì)來說提高了實(shí)驗(yàn)的量，既滿足了適當(dāng)?shù)摹按罅俊庇帜茉诙虝r(shí)間內(nèi)使學(xué)生體驗(yàn)到過程和結(jié)果。 第三，實(shí)驗(yàn)分析，即實(shí)驗(yàn)結(jié)果給我們帶來什么思考？這一次的分析，有別于實(shí)驗(yàn)前的理性分析，更傾向于用數(shù)據(jù)說話，指向理解、預(yù)測與修正。實(shí)驗(yàn)樣本的體會(huì)使學(xué)生有了下一步的思考力：如果實(shí)驗(yàn)的量無限大下去，結(jié)果會(huì)更趨于預(yù)測結(jié)果嗎？但那只是理論上的推斷，我們不可能無休止的去親自操作，只能是在可操作范圍內(nèi)進(jìn)行，然后用極限的思維去感受推理。因此本課增加已有的硬幣實(shí)驗(yàn)結(jié)果，讓學(xué)生充分感受到“大數(shù)定律”。關(guān)于實(shí)驗(yàn)，完全是為了解讀隨機(jī)與規(guī)律之間的關(guān)系隨機(jī)是事物的現(xiàn)象，透過現(xiàn)象的本質(zhì)，就是“規(guī)律”?？茖W(xué)研究之所以可貴，是因?yàn)槠渖羁痰膬?nèi)涵以及深入探究內(nèi)涵的精神。這種深入的洞察，實(shí)際上是將統(tǒng)計(jì)穿越到原始社會(huì)，當(dāng)什么定律都還沒有的時(shí)候，人們是如何解決理性判斷與實(shí)踐操作之間的矛盾的。這種“裸看”知識(shí)形成的過程，就是“再創(chuàng)造”（弗賴登塔爾語）。唯有大空間能為“再創(chuàng)造”提供優(yōu)質(zhì)的土壤。三、多元開放空間，形成“體系思想”片斷3：問題延伸，展示分享師：除了用撲克牌，你們還能不能想出一個(gè)公平的方法來解決他們誰先玩的問題？組長的學(xué)具袋里還有很多學(xué)具，請(qǐng)你們來做個(gè)設(shè)計(jì)師，也來設(shè)計(jì)一些公平的方案吧！請(qǐng)看要求-出示具體要求：a.選擇學(xué)具盒里的其中一種道具（或自創(chuàng)道具、無道具）b.用這些道具設(shè)計(jì)出一個(gè)決定誰先玩的方案c.說明這種方法為什么是公平的d.在黑板寫出這種設(shè)計(jì)的關(guān)鍵詞2、填充板書：3、分組展示：師：先請(qǐng)摸球組生：我們組的方案是，閉眼摸球。這里有兩個(gè)綠球兩個(gè)藍(lán)球和一個(gè)紅球，摸到綠球女生贏，摸到藍(lán)球男生贏，摸到紅球就不算。這也是公平的，大家有問題要問我嗎？生2：為什么有一個(gè)多出來的紅球，這個(gè)方案還是公平的呢？生：因?yàn)槊骄G球有2種可能，摸到藍(lán)球也有2種可能性，是一樣的啊！而且我還會(huì)變魔術(shù)，看好了！我再加一個(gè)紅球，你們覺得這時(shí)候還是公平的嗎？生3：公平的，因?yàn)檫€是可能性相等。生：那我再多加一個(gè)紅球呢？再多加2個(gè)呢？生3：一樣還是公平，因?yàn)榧t球根本不影響男女生贏的可能性。師：摸球組真厲害??！不僅會(huì)變魔術(shù)，還會(huì)排除干擾因素找到本質(zhì)的影響！再有請(qǐng)轉(zhuǎn)盤組生：我們組的方案是，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤，如果轉(zhuǎn)到紅色就女生贏，如果轉(zhuǎn)到黑色就男生贏，這也是公平的。大家有問題嗎？生4：你怎么知道是公平的？生：紅色這部分的大小跟黑色這部分的大小是一樣的，所以都是50%！師：解釋得真到位！其實(shí)雖然我們沒辦法數(shù)出轉(zhuǎn)盤這些位置有多少種可能，但是兩部分的面積相等，就表示可能性相等了。這在概率上有個(gè)名字，我們以后會(huì)接觸到，叫做幾何概型，而前面這些能數(shù)得清楚的叫古典概型。體系思想，也可以看作整合思想。數(shù)學(xué)必然是充滿強(qiáng)烈內(nèi)部聯(lián)系的科學(xué)，遵循或挖掘這種內(nèi)部聯(lián)系，就是以“體系”的觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)?？涿兰~斯說，人們學(xué)習(xí)的每件事情都應(yīng)該是充滿著聯(lián)系的。荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾也認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)不是將詳細(xì)整理好的證明提供給學(xué)生，而是必須讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)粗略的證明，自己加以整理。只有通過這樣的活動(dòng)，才能使學(xué)生跨出超越局部的問題解決的第一步，而走向獨(dú)立自主地建立數(shù)學(xué)體系。課堂上是否具有體系意識(shí)及體系空間，是需要有前提的：“大問題”教學(xué)之所以提倡把問題提得“大”，就是想要問題放大之后的空間。這個(gè)空間恰恰是留給學(xué)生思考、討論和表達(dá)的空間。本課利用多種學(xué)具開放性地給學(xué)生設(shè)計(jì)公平的游戲規(guī)則，是想先請(qǐng)學(xué)生在黑板上把自己智慧進(jìn)行呈現(xiàn)，眾多的方案會(huì)讓學(xué)生感受到一種變易的哲學(xué)內(nèi)涵：即材料、方式都在改變，但是思維方式和判斷方法不變這是第一層次的體系。深入來看，鄭毓信教授提出：數(shù)學(xué)中對(duì)于“多元化”的提倡，其主要的著眼點(diǎn)并非形式上的“與眾不同”，而是有無體現(xiàn)出“新的不同的視角或分析思路”?；诖耍覀兓氐浇y(tǒng)計(jì)的體系中，縱觀統(tǒng)計(jì)概型，大體有三種：1.古典概型（常用的）如摸球、拋硬幣、擲骰子等，古典概型的特征是：所有可能結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的，每個(gè)結(jié)果具有等可能性；2.幾何概型如轉(zhuǎn)盤，可以分為無限等分。它的特征是：所有可能結(jié)果的個(gè)數(shù)是無限的，每個(gè)結(jié)果具有等可能性；3.統(tǒng)計(jì)概型每個(gè)結(jié)果不具有等可能性。如拋瓶蓋、擲圖釘為了使學(xué)生能夠感受到不同概型以及它們之間的層次，本課采用了多元材料的提供方式。在開放的空間中，學(xué)生會(huì)有不同的表達(dá)，進(jìn)而回歸到統(tǒng)計(jì)教學(xué)的本質(zhì)中去。在古典概型中，學(xué)生容易在心中建立天平，摸球組不