關(guān)于橢圓三個(gè)定義教學(xué)的一點(diǎn)思考

精品文庫(kù)關(guān)于橢圓三個(gè)定義教學(xué)的一點(diǎn)思考現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材是類比圓的定義，利用一根繩子固定兩端和一支鉛筆給出橢圓的畫法，讓學(xué)生從中觀察并提煉出橢圓的第一定義，然后推導(dǎo)橢圓的方程。這樣的處理相當(dāng)簡(jiǎn)潔且符合知識(shí)的邏輯體系，但從橢圓定義教學(xué)的現(xiàn)狀和困惑中我們看到：學(xué)生對(duì)于橢圓的第一定義與圓錐曲線的名字不能統(tǒng)一起來，且繁瑣的標(biāo)準(zhǔn)方程的推到過程，讓蘊(yùn)含在定義中的對(duì)稱美與幾何意義蕩然無存，導(dǎo)致所學(xué)知識(shí)顯得支離破碎。針對(duì)以上現(xiàn)狀與困境，本篇文章旨在簡(jiǎn)化標(biāo)準(zhǔn)方程的推到過程，并從推導(dǎo)的過程中挖掘出橢圓三個(gè)定義，凸顯它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，供老師們教學(xué)參考.橢圓的第一定義：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) ，的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.集合表示由選修21課本39頁(yè)根據(jù)橢圓的幾何特征，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，由橢圓的集合表示，列出等式。直接或移項(xiàng)后平方，都要平方計(jì)算兩次，計(jì)算較繁瑣，且純代數(shù)計(jì)算體會(huì)不到定義內(nèi)蘊(yùn)含的對(duì)稱美及幾何意義.其實(shí)在這里教師可以啟發(fā)學(xué)生觀察： 方程式左邊的特征，由表達(dá)式形式上的對(duì)稱性可去猜想 自然想到對(duì) 式分子有理化處理如下：就可得到對(duì)稱式的結(jié)果式即 由（1）（2）可得 對(duì)于式兩邊只進(jìn)行一次平方計(jì)算后即得到教科書上的等式 對(duì)上式兩邊同時(shí)除于可得到等式 再令，則得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的第二定義：把平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離與到一定直線的距離之比為一常數(shù)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.集合表示 由選修21課本47頁(yè)的例六，給學(xué)生歸納出橢圓的第二定義。其實(shí)可以由式直接推導(dǎo)出橢圓的第二定義.即得到這個(gè)式子的幾何意義為：一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與到一定直線的距離之比為一常數(shù).即為橢圓的第二定義。橢圓的第三定義：把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的斜率乘積為一個(gè)常數(shù)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.集合表示教學(xué)時(shí)一般由選修21課本41頁(yè)的例三，推廣到一般情形給學(xué)生歸納出橢圓的第三定義。其實(shí)也可以由式直接推導(dǎo)出橢圓的第三定義.對(duì)于式移項(xiàng)通分變形可得到等式兩邊再同時(shí)除于 得到對(duì)上式右邊因式分解得到這個(gè)式子的幾何意義為：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的斜率乘積為一個(gè)常數(shù)即橢圓第三定義.對(duì)于橢圓的第三定義中為了保證兩條線的斜率均存在，動(dòng)點(diǎn)當(dāng)然不能取兩個(gè)定點(diǎn)。故經(jīng)常把這個(gè)定義當(dāng)成橢圓的一個(gè)性質(zhì)來應(yīng)用，并且可以對(duì)它進(jìn)行推廣如下：設(shè)，為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn).任取橢