高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 第8課時 空間向量的應(yīng)用（二）空間的角與距離課件 理.ppt

第八章立體幾何 1 能夠利用空間向量 解決異面直線的夾角 線面角 面面角問題 體會向量法在立體幾何中的應(yīng)用 2 了解點面距離的求法 請注意在高考中 本部分知識是考查的重點內(nèi)容之一 主要考查異面直線所成角 線面角和面面角的計算 屬于中檔題 綜合性較強 與平行垂直聯(lián)系較多 1 利用空間向量求空間角 1 兩條異面直線所成的角 定義 設(shè)a b是兩條異面直線 過空間任一點o作直線a a b b 則a 與b 所夾的叫做a與b所成的角 范圍 兩異面直線所成角 的取值范圍是 銳角或直角 向量求法 設(shè)直線a b的方向向量分別為a b 其夾角為 則有cos 2 直線與平面所成的角 定義 直線和平面所成的角 是指直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角 范圍 直線和平面所成的角 的取值范圍是 向量求法 設(shè)直線l的方向向量為a 平面的法向量為u 直線與平面所成的角為 a與u的夾角為 則有sin 或cos cos sin 3 二面角 二面角的取值范圍是 二面角的向量求法 0 設(shè)n1 n2分別是二面角 l 的兩個面 的法向量 則向量n1與n2的夾角 或其補角 的大小就是二面角的平面角的大小 如圖 2 點面距的求法如圖 設(shè)ab為平面 的一條斜線段 n為平面 的法向量 則b到平面 的距離d 1 判斷下面結(jié)論是否正確 打 或 1 兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角 2 直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角 3 兩個平面的法向量所成的角就是這兩個平面所成的角 答案 1 2 3 4 5 6 答案a 3 已知兩平面的法向量分別為m 0 1 0 n 0 1 1 則兩平面所成的二面角為 a 45 b 135 c 45 或135 d 90 答案c 4 在棱長為2的正方體abcd a1b1c1d1中 o是底面abcd的中心 e f分別是cc1 ad的中點 則異面直線oe和fd1所成的角的余弦值等于 答案 1 略 2 45 題型一異面直線所成角 答案 b 探究1求一對異面直線所成角 一是按定義平移轉(zhuǎn)化為兩相交直線的夾角 二是在異面直線上各取一向量 轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角或其補角 無論哪種求法 都應(yīng)注意角的范圍的限定 已知直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd為正方形 aa1 2ab e為aa1的中點 則異面直線be與cd1所成角的余弦值為 思考題1 答案 c 例2如圖所示 在四棱錐p abcd中 底面abcd是矩形 pa 平面abcd pa ad 2 ab 1 bm pd于點m 1 求證 am pd 2 求直線cd與平面acm所成的角的余弦值 題型二線面角 解析 1 pa 平面abcd ab 平面abcd pa ab ab ad ad pa a ad 平面pad pa 平面pad ab 平面pad pd 平面pad ab pd bm pd ab bm b ab 平面abm bm 平面abm pd 平面abm am 平面abm am pd 探究2求直線和平面所成的角也有傳統(tǒng)法和向量法兩種 傳統(tǒng)法關(guān)鍵是找斜線在平面內(nèi)的射影 從而找出線面角 向量法則可建立坐標系 利用向量的運算求解 用向量法可避開找角的困難 但計算較繁 所以要注意計算上不要失誤 2014 北京理 如圖所示 正方形amde的邊長為2 b c分別為am md的中點 在五棱錐p abcde中 f為棱pe的中點 平面abf與棱pd pc分別交于點g h 1 求證 ab fg 2 若pa 底面abcde 且pa ae 求直線bc與平面abf所成角的大小 并求線段ph的長 思考題2 解析 1 證明 在正方形amde中 因為b是am的中點 所以ab de 又因為ab 平面pde 所以ab 平面pde 因為ab 平面abf 且平面abf 平面pde fg 所以ab fg 題型三二面角 例3 2014 新課標全國 理 如圖所示 在三棱柱abc a1b1c1中 側(cè)面bb1c1c為菱形 ab b1c 1 證明 ac ab1 2 若ac ab1 cbb1 60 ab bc 求二面角a a1b1 c1的余弦值 思路 1 充分利用菱形中蘊含的垂直關(guān)系 用傳統(tǒng)的方法 綜合法 即可證明 2 利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標系 用法向量法求二面角的余弦值 解析 1 證明 連接bc1 交b1c于點o 連接ao 因為側(cè)面bb1c1c為菱形 所以b1c bc1 且o為b1c及bc1的中點 又ab b1c ab bo b 所以b1c 平面abo 由于ao 平面abo 故b1c ao 又b1o co 故ac ab1 探究3 1 當空間直角坐標系容易建立時 用向量法較為簡潔明快 2 用法向量求二面角的大小時 有時不易判斷兩法向量的大小就是二面角的大小 相等或互補 但我們完全可以根據(jù)圖形得出結(jié)論 這是因為二面角是鈍二面角還是銳二面角一般是比較明顯的 思考題3 由題設(shè)知ad dc 且ap與ad是平面pad內(nèi)的兩條相交直線 由此得dc 平面pad 又dc在平面pcd上 故平面pad 平面pcd 例4已知正方形abcd的邊長為4 cg 平面abcd cg 2 e f分別是ab ad的中點 求點b到平面gef的距離 題型四空間距離 講評 空間中的距離問題一般都可以轉(zhuǎn)化成點到點的距離 點到線的距離和點到面的距離 其中點到點的距離 點到線的距離可用空間向量的模來求解 點到面的距離可借助于平面的法向量求解 思考題4 1 角的計算與度量總要進行轉(zhuǎn)化 這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想 主要將空間角轉(zhuǎn)化為平面角或兩向量的夾角 2 用向量的數(shù)量積來求解兩異面直線所成的角 簡單 易掌握 其基本程序是選基底 表示兩直線方向向量 計算數(shù)量積 若能建立空間直角坐標系 則更為方便 3 找直線和平面所成的角常用方法是過線上一點作面的垂線或找線上一點到面的垂線 或找 作 垂面 將其轉(zhuǎn)化為平面角 或用向量求解 或解直角三角形 4 二面角的求解方法一般有作垂面法 三垂線定理法 面積射影法 向量法等 特別是對 無 棱 圖中沒有棱 的二面角 應(yīng)先找出棱或借助平面法向量夾角求解 5 空間的距離主要掌握點面距離的求法 1 2015 山西臨汾一模 如圖所示 點p在正方形abcd所在平面外 pa 平面abcd pa ab 則pb與ac所成的角是 a 90 b 60 c 45 d 30 答案b解析將其還原成正方體abcd pqrs 顯然pb sc acs為正三角形 acs 60 答案b 答案b 4 在長方體abcd a1b1c1d1中 ab aa1 2 ad 1 e為cc1的中點 則異面直線bc1與ae所成角的余弦值為 高考中的立體幾何探索性問題利用向量解決立體幾何中的探索性問題 在近幾年的高考中倍受青睞 如2013年各地高考卷中出現(xiàn)了6次 2014年出現(xiàn)了3個 下面舉兩例說明其破解方法 以期拋磚引玉 例2 2014 湖北理 如圖所示 在棱長為2的正方