高中簡(jiǎn)單立體幾何體(附例題詳解).doc

2. 簡(jiǎn)單幾何體知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 簡(jiǎn)單幾何體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖畫(huà)龍點(diǎn)晴概念棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行由這些面所圍成的幾何體稱為棱柱。兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的側(cè)面,兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱,側(cè)面和底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).不在同一個(gè)平面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線叫做棱柱的對(duì)角線,兩個(gè)底面的距離叫做棱柱的高.棱柱的分類: 按側(cè)棱與底面的關(guān)系,棱柱可分為:斜棱柱:側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.按底面的多邊形的邊數(shù)可分為: 底面是三角形、四邊形、五邊形我們把這些棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱棱柱的表示法: 棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示,或者用棱柱對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)的字母表示,如五棱柱可表示為:棱柱ABCDE-A/B/C/D/E/,或棱柱AC/.棱柱的性質(zhì)：(1)側(cè)棱都相等,側(cè)面都是平行四邊形；(2)兩個(gè)底面與平行于底面的截面都是全等的多邊形；(3)過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（對(duì)角面）是平行四邊形；直棱柱的性質(zhì): 直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和高相等，側(cè)面及經(jīng)過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是矩形。平行六面體: 底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體.長(zhǎng)方體: 底面是矩形的直平行六面體叫做長(zhǎng)方體, 長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和.正方體: 棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體叫做正方體.公式棱柱的側(cè)面積和全面積: 直棱柱的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)C與高的乘積, 即, 斜棱柱的側(cè)面積等于它的直截面(垂直于側(cè)棱并與每條側(cè)棱都相交的截面)的周長(zhǎng)C1與側(cè)棱長(zhǎng)的乘積,即, 棱柱的全面積等于側(cè)面積與兩底面積的和.活用實(shí)例例1 如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=， (1)求證:頂點(diǎn)A1在底面ABCD的射影O在BAD的平分線上; (2)求這個(gè)平行六面體的表面積.題解(1) 如圖,連結(jié)A1O,則A1O底面ABCD.作OMAB交AB于M,作ONAD交AD于N,連結(jié)A1M,A1N. 由三垂線定理得A1MAB,A1NAD. A1AM=A1AN,RtA1NARtA1MA.A1M=A1N. OM=ON. 點(diǎn)O在BAD的平分線上.(2) ,側(cè)面AB1和側(cè)面DC1的面積都等于4=6,側(cè)面AD1和側(cè)面BC1的面積都等于5=7.5,又ABAD，兩底面面積都等于4=20，平行六面體的表面積為2（6+7.5）+20=47.例2 如圖,A1B1C1-ABC是直三棱柱,過(guò)點(diǎn)A1、B、C1的平面和平面ABC的交線記作. (1)判定直線A1C1和的位置關(guān)系,并加以證明; (2)若A1A=1,AB=4,BC=3,ABC=90,求頂點(diǎn)A1到直線的距離. 題解(1)根據(jù)棱柱的定義知平面A1B1C1和平面ABC平行. 由題設(shè)知直線A1C1=平面A1B1C1平面A1BC1,直線=平面A1BC1平面ABC. 根據(jù)兩平面平行的性質(zhì)定理有A1C1.(2)解法一:過(guò)點(diǎn)A1作A1E于E,則A1E的長(zhǎng)為點(diǎn)A1到l的距離. 連結(jié)AE.由直棱柱的定義知A1A平面ABC. 直線AE是直線A1E在平面ABC上的射影. 又 在平面ABC上,根據(jù)三垂線定理的逆定理有AE. 由棱柱的定義知A1C1AC,又A1C1, AC. 作BDAC于D,則BD是RtABC斜邊AC上的高,且BD=AE, 從而AE=BD= 在RtA1AE中, A1A=1,A1AE=90, 故點(diǎn)A1到直線的距離為.解法二:同解法一得AC. 由平行直線的性質(zhì)定理知CAB=ABE,從而有RtABCRtBEA,AE:BC=AB:AC, , 以下同解法一.例3 如圖,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中點(diǎn).(1)證明AB1平面DBC1;(2)假設(shè)AB1BC1,求以BC1為棱,DBC1與CBC1為面的二面角的度數(shù). 題解(1)A1B1C1-ABC是正三棱柱, 四邊形B1BCC1是矩形. 連結(jié)B1C交BC1于E,則B1E=EC.連結(jié)DE. 在AB1C中,AD=DC,DEAB1. 又平面DBC1, DE平面DBC1, AB1平面DBC1. (2)作DFBC,垂足為F,則DF面B1BCC1,連結(jié)EF,則EF是ED在平面B1BCC1上的射影. AB1BC1,由(1)知AB1DE,DEBC1,則BC1EF,DEF是二面角的平面角. 設(shè)AC=1, 則DC= ABC是正三角形,在RtDCF中, CF= 取BC中點(diǎn)G.EB=EC,EGBC. 在RtBEF中,AC=1, 又BF=BC-FC=, GF=, , 即EF=. DEF=45. 故二面角為45.概念棱錐：有一個(gè)面是多邊形、其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐.這個(gè)多邊形叫做棱錐的底面,其余各面叫做棱錐的側(cè)面,相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱,各側(cè)面的公共點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn),頂點(diǎn)到底面的距離叫做棱錐的高.棱錐的分類: 按底面多邊形的邊數(shù),棱錐可分為三棱錐、四棱錐、五棱錐棱錐的表示法: 棱錐用表示頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn),或者底面一條對(duì)角線端點(diǎn)的字母來(lái)表示.例如,棱錐S-ABCDE,或棱錐S-AC.正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.正棱錐的性質(zhì)：(1)各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；(2)棱錐的高、斜高及斜高在底面上的射影（底面的邊心距）組成一個(gè)直角三角形，這個(gè)直角角三角形的一個(gè)銳角是側(cè)面與底面的夾角；(3)棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影（底面正多邊形外接圓半徑）也組成一個(gè)直角三角形，這個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角是側(cè)棱與底面的夾角。一般棱錐的性質(zhì): 如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它們的面積比等于等于截得的棱錐的高和已知棱錐的高的平方比；截得棱錐與已知棱錐的側(cè)面積之比也等于它們相應(yīng)的高的平方比。棱錐的中截面: 過(guò)棱錐的高的中點(diǎn)并且平行于底面的截面叫做棱錐的中截面.公式正棱錐的側(cè)面積和全面積: 正棱錐的側(cè)面積等于底面周長(zhǎng)C與斜高乘積的一半.即.活用實(shí)例例4 如圖,在三棱錐S-ABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是側(cè)棱SC上的一點(diǎn),使截面MAB 與底面所成的角等于NSC.求證：SC垂直于截面MAB.題解1因?yàn)镾N是底面的垂線,NC是斜線SC在底面上的射影,ABNC,所以ABSC(據(jù)三垂線定理). 連結(jié)DM.因?yàn)锳BDC,ABSC,所以AB垂直于DC和SC所決定的平面. 又因DM在這平面內(nèi),所以ABDM. MDC是截面與底面所成二面角的平面角,MDC=NSC. 在MDC和NSC中,因?yàn)镸DC=NSC,DCS是公共角,所以DMC=SNC=90從而DMSC. 從ABSC,DMSC,可知SC截面MAB.題解2連結(jié)DS,DM，因?yàn)镾N是底面的垂線,ABDN,所以ABDS(據(jù)三垂線定理).從而AB平面SDC. 因SC,DM都在平面SDC內(nèi),故ABSC,ABDM. 由ABDM,ABDC,可知MDC是截面與底面所成二面角的平面角,MDC=NSC. 以下同證法一,故SC截面MAB.題解3連結(jié)DM,DS. 因?yàn)镸,N分別在SDC的兩邊上,所以SN和DM都在平面內(nèi),且相交于一點(diǎn)P. 又因PN是底面的垂線,ABDN,所以ABDM(據(jù)三垂線定理). MDC是截面與底面所成二面角的平面角,MDC=NSC. 又MDC=NSC,DCS是DCM和SCN的公共角,故DMC=SNC=90.從而DMSC. 從ABDM,ABDC,可知AB平面MDC.因?yàn)镾C是平面MDC內(nèi)的直線,所以ABSC. 從ABSC,DMSC,可知SC截面MAB.例5 如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為a,求：（1）側(cè)面與底面所成角的余弦；（2）相鄰兩個(gè)側(cè)面所成二面角的余弦。題解（1）作SO面ABCD于O，作SEBC于E，連接OE，則BCOE，SEO=， (2）設(shè)SA的中點(diǎn)為F，連接BF、DF，SAB和SAD都是正三角形， 概念多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面.兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱.若干個(gè)面的公共頂點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).凸多面體: 把多面體的任何一個(gè)面伸展為平面,如果所有其他各面都在這個(gè)平面的同側(cè),這樣的多面體叫做凸多面體.正多面體：每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂點(diǎn)這其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體叫做正多面體.正多面體的種類: 正多面體只有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，其中正四面體、正八面體、正二十面體的面是正三角形，正六面體的面是正方形，正十二面體的面是正五邊形。公式歐拉公式: 簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F的和與棱數(shù)E之間存在規(guī)律V+F-E=2，它叫做歐拉公式?；钣脤?shí)例例6 如果一個(gè)凸多面體，各頂點(diǎn)引出奇數(shù)條棱，求證：頂點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)。題解1假設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)V=2n+1(n1,nN*)，第i個(gè)頂點(diǎn)處有2mi+1條棱(mi1, miN*)， 棱數(shù)為E，則2E=(2m1+1)+ (2m2+1)+.+ (2mi+1)+.+ (2m2n+1+1) =2(m1+m2+mi+m2n+1)+(2n+1). E=(m1+m2+mi+m2n+1)+n+. 這與棱數(shù)是正整數(shù)矛盾，此多面體的頂點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)。題解2設(shè)頂點(diǎn)數(shù)為V，各頂點(diǎn)引出的棱數(shù)分別為2n1+1、2n2+1、2nV+1(ni1，niN*), 則棱數(shù)E=(2n1+1)+(2n2+1)+(2nV+1), 2E=2(n1+n2+nV)+V, V=2E-2(n1+n2+nV).故V一定是偶數(shù).例7 一個(gè)多面本，每個(gè)面的邊數(shù)相同，每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的棱數(shù)也相同，若各個(gè)面的內(nèi)角總和為36000，求這個(gè)多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V及棱數(shù)E.題解設(shè)多面體的每個(gè)面的邊數(shù)為x，每一個(gè)頂點(diǎn)處出發(fā)的棱數(shù)為y，則 36000=F1800, F(x-2)=20, F=. E=. 又 代入歐拉公式得 又N*), yN*), 可得3. y=3,4,5. 或4,x N*, y=5時(shí),x=3, 這個(gè)多面體的各面是三角形，各頂點(diǎn)處有5條棱， 所以，這個(gè)多面體有12個(gè)頂點(diǎn)，20個(gè)面，30條棱.例8 一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為12，以每個(gè)頂點(diǎn)為一端都有3條棱，面的形狀只有四邊形和六邊形，求多面體中四邊形和六邊形數(shù)目。題解 設(shè)這個(gè)多面體中四邊形和六邊形分別有x個(gè)、y個(gè)，則面數(shù)F=x+y，V=12且每個(gè)頂點(diǎn)為一端都有3條棱，E=18，由歐拉公式V+F-E=2，得12+（x+y）-18=2， 即x+y=8 ，又E=，即時(shí)2x+3y=18 ，由、解得x=6,y=2， 該簡(jiǎn)單多面體有6個(gè)四邊形，2個(gè)六邊形。概念體積: 幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積.定理祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面間的幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任何平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。公式長(zhǎng)方體的體積: ,其中分別為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高.正方體的體積: ,其中為正方體的棱長(zhǎng).柱體的體積公式：V柱體=， 其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.錐體的體積公式：V錐體=，其中S是錐體的底面積，h是錐體的高.活用實(shí)例例9 三棱錐ABCD中ABCD，且AB=m，CD=n，EF是AB、CD的公垂線段，F(xiàn)E=h，求三棱錐的體積，VA-BCD。.題解連CE、DE，則AB平面CED，則VA-BCD=VA-CED+VB-CED= =點(diǎn)評(píng)：這里用的就是分割，把一個(gè)三棱錐分割成兩個(gè)，分別求體積。例10 三棱錐PABC中，PA=a，AB=AC=2a，PAB=PAC=BAC=60o，求三棱錐PABC的體積. 題解在PAB中，PA=a，AB=2a，PAB=60o，由余弦定理可得PB=， AB2=PA2+PB2， 同理可證APPC，AP平面PBC，也就是可以把PBC作為底面，高AP=a，只需求PBC的面積即可。 AB=AC=2a，BAC=60o BC=2a，BC邊上高線 PD=， a2, 點(diǎn)評(píng)：(1)三棱錐的四個(gè)面都可以做底面，解題時(shí)可根據(jù)具體問(wèn)題選擇； (2)本題也可以用ABC作底，由已知從A點(diǎn)出發(fā)的三條射線兩兩所成角都是60o，點(diǎn)P點(diǎn)在平面ABC上的射影O落在BAC的平分線AD上，PO是高線，由已知條件求出正三角形ABC的面積，再求出PO長(zhǎng)即可。例11 已知ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體， E、F分別為棱AA1與CC1的中點(diǎn)，求四棱錐A1-EBFD1的體積。題解四棱錐A1-EBFD1的底面是菱形，連接EF，則， 平面ABB1A1， 三棱錐F-EBA1的高是CC1到平面AB1的距離，即棱長(zhǎng)a， S 點(diǎn)評(píng)：本例運(yùn)用“等積變換”和“割補(bǔ)”的思想，將求一個(gè)四棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)體積相等的三棱錐的體積，而求三棱錐的體積又利用了三棱錐的特點(diǎn)（體積的自等性），從而簡(jiǎn)化計(jì)算。概念球：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面. 球面所圍成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱球.半圓的圓心叫做球心. 連結(jié)球心和球面上任一點(diǎn)的線段叫做球的半徑. 連結(jié)球心和球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段叫做球的直徑. 球面也可以看作與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡).球的表示: 一個(gè)球通常用它的球心的字母來(lái)表示, 例如球O.球的截面的性質(zhì)：(1)球的截面是圓面;(2)球心和截面圓心的連線垂直于截面; (3)球心到截面的距離d與球半徑R及截面圓半徑r的關(guān)系是r=.球的大圓和小圓: 球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做球的大圓, 被不經(jīng)過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的小圓.兩點(diǎn)間的球面距離: 在球面上，兩點(diǎn)之間的最短路線, 就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度, 這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)間的球面的距離.(求兩點(diǎn)間的球面的距離的關(guān)鍵，在于求出過(guò)這兩點(diǎn)的球半徑的夾角).經(jīng)度: 某地的經(jīng)度是一個(gè)二面角的度數(shù)，即經(jīng)過(guò)該地的經(jīng)線所在半圓面與00經(jīng)線所在半圓面所成的二面角的度數(shù)。緯度: 某地的緯度是一個(gè)線面角的度數(shù)，即該地與球心的連線與赤道平面所成角的度數(shù)。公式球的表面積公式: 設(shè)球的半徑為R，則球的表面積為S球面=4R2，即球的面積等于大圓面積的4倍。球的體積公式: V球=R3.其中R為球的半徑. 活用實(shí)例例12 在球O內(nèi)有相距1cm的兩個(gè)平行截面，截面面積分別為5cm2和8cm2，球心不在截面之間， 求球O的表面積。題解作球O的軸截面如圖所示，圓O是球的大圓， A1B1、A2B2分別是兩個(gè)平行截面圓的直徑， 過(guò)O作OC1 A1B1于C1，交A2B2于C2， A1B1|A2B2， OC1 A2B2， C1、C2分別為A1B1、A2B2的中點(diǎn)， 設(shè)兩平行截面的半徑分別為r1、r2,且r2r1, 則有r12=5,r22=8, r12=5, r22=8, OA1、OA2都等于球的半徑R， OC1=，OC2=， ，解得R=9， S球