高三數(shù)學一輪復習 第十章 第3講 數(shù)學歸納法課件 理 新人教A版.ppt

第3講 數(shù)學歸納法 1 運用數(shù)學歸納法證明命題要分兩步 第一步是 第二步是 兩步缺一不可 2 用數(shù)學歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關的數(shù)學命題 其中包括 歸納遞推 或歸納假設 恒等式 不等式 數(shù)列通項公式 整除性問題 幾何問題等 1 在用數(shù)學歸納法證明多邊形內角和定理時 第一步應驗證 c a n 1時成立b n 2時成立c n 3時成立d n 4時成立解析 多邊形至少有三邊 時 在第二步證明從n k到n k 1成立時 左邊增加的項數(shù)是 a 2kb 2k 1c 2k 1d 2k 1 a 3 凸n邊形有f n 條對角線 則凸n 1邊形有對角線數(shù)f n 1 為 c a f n n 1c f n n 1 b f n nd f n n 2 解析 在n個頂點的基礎上增加一個頂點則增加n 1條對角線 4 設平面內有n n 2 條直線 其中任意兩條不平行 任意 三條不過同一點 則它們的交點的個數(shù)f n 為 a n n 1 b n n 1 d 猜想an的表達式 其結果是 考點1 對數(shù)學歸納法的兩個步驟的認識 例1 已知n是正偶數(shù) 用數(shù)學歸納法證明時 若已假設n k k 2且為偶數(shù) 時命題為真 則還需證明 a n k 1時命題成立b n k 2時命題成立c n 2k 2時命題成立d n 2 k 2 時命題成立 答案 b 用數(shù)學歸納法證明時 要注意觀察下列幾個方面 1 n的范圍以及遞推的起點 2 觀察首末兩項的次數(shù) 或其他 確定n k時命題的形式f k 3 從f k 1 和f k 的差異 尋找由k到k 1遞推中 左邊要加 乘 上的式子 互動探究 1 用數(shù)學歸納法證明1 a a2 an 1 an 11 a a 1 n b n 時 在驗證n 1時 左邊計算所得的式子是 a 1b 1 ac 1 a a2d 1 a a2 a4 解析 n 1時 左邊的最高次數(shù)為1 即最后一項為a 左邊是1 a n n24 2 用數(shù)學歸納法證明不等式 11n 1n 2 113 的過 程中 由k推導到k 1時 不等式左邊增加的式子是 考點2 用數(shù)學歸納法證明恒等式命題 解題思路 從特殊入手 探求a b c的值 考慮到有3個未知數(shù) 先取n 1 2 3 列方程組求得 然后用數(shù)學歸納法對一切n n 等式都成立 這是一個探索性命題 歸納 猜想 證明 是一個完整的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思維模式 對于探索命題特別有效 要求善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律 敢于提出更一般的結論 最后進行嚴密的論證 從特殊入手 探求a b c的值 考慮到有3個未知數(shù) 先取n 1 2 3 列方程組求得 然后用數(shù)學歸納法對一切n n 等式都成立 互動探究 考點3 用數(shù)學歸納法證明整除性命題 例3 試證 當n為正整數(shù)時 f n 32n 2 8n 9能被64整除 互動探究 4 求證 二項式x2n y2n n n 能被x y整除 證明 1 當n 1時 x2 y2 x y x y 能被x y整除 命題成立 2 假設當n k k 1 k n 時 x2k y2k能被x y整除 那么當n k 1時 x2k 2 y2k 2 x2 x2k y2 y2k x2x2k x2y2k x2y2k y2y2k x2 x2k y2k y2k x2 y2 顯然x2k 2 y2k 2能被x y整除 即當n k 1時命題成立 由 1 2 知 對任意的正整數(shù)n命題均成立 考點4 用數(shù)學歸納法證明不等式命題 1 用數(shù)學歸納法證明問題時應注意 1 第一步驗證n n0時 n0并不一定是1 2 第二步證明的關鍵是要運用歸納假設 特別要弄清由k到 k 1時命題的變化 3 由假設n k時命題成立 證明n k 1時命題也成立 要 充分利用歸納假設 要恰當?shù)?湊 出目標 2 用數(shù)學歸納法證明時 從n k到n k 1的關鍵是 要注意初始值 要弄清n