高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第七章 第二節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理課件 文.ppt

第二節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理 1 空間中點與直線 點與平面的位置關(guān)系 1 空間點與直線的位置關(guān)系有兩種 和 2 空間點與平面的位置關(guān)系有兩種 和 點在直線上 點在直線 外 點在平面內(nèi) 點在平面 外 2 空間中線與線 線與面及面與面之間的位置關(guān)系 a b a 0 0 0 1 1 無數(shù) 3 空間圖形的公理及等角定理 兩 點 所有的 點 在平面內(nèi) l 有且只有 有且只有 有一個公共點 有且只有 平行 l且 a l a c b o 4 異面直線所成的角 1 定義 過空間任意一點p分別引兩條異面直線a b的平行線l1 l2 這兩條相交直線所成的 就是異面直線a b所成的角 如果兩條異面直線所成的角是 則稱這兩條直線互相垂直 2 范圍 銳角 或直角 直角 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 如果兩個不重合的平面 有一條公共直線a 就說平面 相交 并記作 a 2 兩個平面 有一個公共點a 就說 相交于過a點的任意一條直線 3 兩個平面 有一個公共點a 就說 相交于a點 并記作 a 4 兩個平面abc與dbc相交于線段bc 5 如果兩個平面有三個公共點 則這兩個平面重合 解析 根據(jù)平面的性質(zhì)公理3可知 1 對 對于 2 其錯誤在于 任意 二字上 對于 3 錯誤在于 a上 對于 4 應(yīng)為平面abc和平面dbc相交于直線bc 命題 5 中沒有說清三個點是否共線 5 不正確 答案 1 2 3 4 5 1 有以下命題 若平面 與平面 相交 則它們只有有限個公共點 經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點 有且只有一個平面 經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面 兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面 其中 真命題的個數(shù)是 a 4 b 3 c 2 d 1 解析 選b 若平面 與平面 相交 則它們有無數(shù)個公共點 結(jié)合公理可知 均正確 2 若三條不同的直線a b c滿足a b a c異面 則b與c a 一定是異面直線 b 一定是相交直線 c 不可能是平行直線 d 不可能是相交直線 解析 選c a b a c異面 b與c相交或異面 3 下列命題 兩條直線都和同一個平面平行 則這兩條直線平行 兩條直線不異面 則這兩條直線相交 分別在兩個平面內(nèi)的直線是異面直線 一條直線和一個平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點 則這條直線和這個平面平行 其中正確命題的個數(shù)為 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 選a 兩條直線都和同一個平面平行 則這兩條直線平行 相交或異面 故 錯誤 兩條直線不異面 則相交或平行 故 錯誤 不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線 故 錯誤 一條直線和一個平面內(nèi)無數(shù)條直線沒有公共點 則這條直線和這個平面平行 相交或直線在平面內(nèi) 故 錯誤 4 l1 l2 l3是空間三條不同的直線 則下列命題正確的是 a l1 l2 l2 l3 l1 l3 b l1 l2 l2 l3 l1 l3 c l1 l2 l2 l3 l1 l2 l3共面 d l1 l2 l3共點 l1 l2 l3共面 解析 選b 對于a 空間中垂直于同一條直線的兩條直線不一定平行 如圖 l1 l3可以相交或異面 故命題錯誤 對于b 由異面直線所成的角可知 l2 l3 則l1與l3所成的角與l1與l2所成的角相等 故l1 l3 故命題正確 對于c 空間中三條互相平行的直線不一定共面 如三棱柱的三條側(cè)棱不共面 故命題錯誤 對于d 空間中共點的三條直線不一定共面 如三棱錐中共頂點的三條棱所在直線不共面 5 下列命題中不正確的是 填序號 沒有公共點的兩條直線是異面直線 分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面 一條直線和兩條異面直線中的一條平行 則它和另一條直線不可能平行 一條直線和兩條異面直線都相交 則它們可以確定兩個平面 解析 沒有公共點的兩直線平行或異面 故 錯 命題 錯 此時兩直線有可能相交 命題 正確 因為若直線a和b異面 c a 則c與b不可能平行 用反證法證明如下 若c b 又c a 則a b 這與a b異面矛盾 故c與b不可能平行 命題 也正確 若c與兩異面直線a b都相交 由公理3可知 a c可確定一個平面 b c也可確定一個平面 這樣a b c共確定兩個平面 答案 考向1平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用 典例1 1 給出以下命題 不共面的四點中 其中任意三點不共線 若點a b c d共面 點a b c e共面 則點a b c d e共面 若直線a b共面 直線a c共面 則直線b c共面 依次首尾相接的四條線段必共面 正確命題的個數(shù)是 a 0 b 1 c 2 d 3 2 如圖 平面abef 平面abcd 四邊形abef與abcd都是直角梯形 bad fab 90 bc ad且bc ad be af且be af g h分別為fa fd的中點 證明 四邊形bchg是平行四邊形 c d f e四點是否共面 為什么 思路點撥 1 根據(jù)相應(yīng)的公理及推論進(jìn)行判斷 2 證明bc gh平行且相等即可 證明ef ch 由此構(gòu)成平面 再證點d在該平面上 規(guī)范解答 1 選b 假設(shè)其中有三點共線 則該直線和直線外的另一點確定一個平面 這與四點不共面矛盾 故其中任意三點不共線 所以 正確 從條件看出兩平面有三個公共點a b c 但是若a b c共線 則結(jié)論不正確 對于 b與c可能異面 不正確 不正確 因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上 如空間四邊形 2 由題設(shè)知 fg ga fh hd 所以gh ad且gh ad 又bc ad且bc ad 故gh bc且gh bc 所以四邊形bchg是平行四邊形 c d f e四點共面 理由如下 由be af且be af g是fa的中點知 be gf且be gf 所以四邊形efgb是平行四邊形 所以ef bg 由 知bg ch 所以ef ch 故ec fh共面 又點d在直線fh上 所以c d f e四點共面 互動探究 本例第 2 題的條件不變 如何證明 fe ab dc交于一點 證明 由例題可知 四邊形ebgf和四邊形bchg都是平行四邊形 故可得四邊形echf為平行四邊形 ec hf 且ec df 四邊形ecdf為梯形 fe dc交于一點 設(shè)fe dc m m fe fe平面bafe m 平面bafe 同理m 平面badc 又平面bafe 平面badc ba m ba fe ab dc交于一點 拓展提升 1 證明三點共線的兩種方法 1 首先找出兩個平面 然后證明這三點都是這兩個平面的公共點 于是可得這三點都在交線上 即三點共線 2 選擇其中兩點確定一條直線 然后證明另一點也在這條直線上 從而得三點共線 2 證明三線共點的思路先證兩條直線交于一點 再證明第三條直線經(jīng)過這點 把問題化歸到證明點在直線上的問題 通常是先證兩條直線的交點在兩個平面的交線上而第三條直線恰好是兩個平面的交線 變式備選 如圖 在正方體abcd a1b1c1d1中 e是ab的中點 f是a1a的中點 求證 1 e c d1 f四點共面 2 ce d1f da三線共點 證明 1 如圖 連接a1b cd1 因為e是ab的中點 f是a1a的中點 則ef a1b 又在正方體abcd a1b1c1d1中 a1b d1c 所以ef d1c 故e c d1 f四點共面 2 由 1 知 ef d1c且ef d1c 故四邊形ecd1f是梯形 兩腰ce d1f相交 設(shè)其交點為p 則p ce 又ce 平面abcd 所以p 平面abcd 同理 p 平面add1a1 又平面abcd 平面add1a1 ad 所以p ad 所以ce d1f da三線共點 考向2空間中兩直線的位置關(guān)系 典例2 1 2013 南昌模擬 在空間中有不共線的三條線段ab bc和cd 且 abc bcd 那么直線ab與cd的位置關(guān)系是 a ab cd b ab與cd異面 c ab與cd相交 d ab cd或ab與cd異面或ab與cd相交 2 如圖所示 正方體abcd a1b1c1d1中 m n分別是a1b1 b1c1的中點 問 am和cn是否是異面直線 說明理由 d1b和cc1是否是異面直線 說明理由 思路點撥 1 可分線段ab bc cd共面和不共面兩種情況討論 2 由于mn ac 因此m n a c四點共面 故am與cn不異面 由圖易判斷d1b和cc1是異面直線 可用反證法證明 規(guī)范解答 1 選d 若三條線段共面 則直線ab與cd相交或平行 若三條線段不共面 則直線ab與cd是異面直線 故選d 2 不是異面直線 理由 連接mn a1c1 ac m n分別是a1b1 b1c1的中點 mn a1c1 又 a1ac1c a1acc1為平行四邊形 a1c1 ac mn ac a m n c在同一平面內(nèi) 故am和cn不是異面直線 是異面直線 理由 abcd a1b1c1d1是正方體 b c c1 d1不共面 假設(shè)d1b與cc1不是異面直線 則存在平面 使d1b 平面 cc1 平面 d1 b c c1 這與b c c1 d1不共面矛盾 假設(shè)不成立 即d1b和cc1是異面直線 拓展提升 判定空間直線位置關(guān)系的三種類型及方法 1 異面直線 可采用直接法或反證法 2 平行直線 可利用三角形 梯形 中位線的性質(zhì) 公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理 3 垂直關(guān)系 往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決 提醒 在空間兩直線的三種位置關(guān)系中 驗證異面直線及其所成角是考查的熱點 變式訓(xùn)練 設(shè)a b c d是空間四個不同的點 在下列命題中 不正確的是 填序號 若ac與bd共面 則ad與bc共面 若ac與bd是異面直線 則ad與bc是異面直線 若ab ac db dc 則ad bc 若ab ac db dc 則ad bc 解析 對于 由于點a b c d共面 顯然結(jié)論正確 對于 假設(shè)ad與bc共面 由 正確得ac與bd共面 這與題設(shè)矛盾 故假設(shè)不成立 從而結(jié)論正確 對于 如圖 當(dāng)ab ac db dc 使二面角a bc d的大小變化時 ad與bc不一定相等 故不正確 對于 如圖 取bc的中點e 連接ae de 則由題設(shè)得bc ae bc de 根據(jù)線面垂直的判定定理得bc 平面ade 從而ad bc 答案 考向3異面直線所成的角 典例3 正方體abcd a1b1c1d1中 1 求ac與a1d所成角的大小 2 若e f分別為ab ad的中點 求a1c1與ef所成角的大小 思路點撥 1 平移a1d到b1c 找出ac與a1d所成的角 再計算 2 可將a1c1平移到ac 將ef平移到bd再求解 規(guī)范解答 1 如圖所示 連接ab1 b1c 由abcd a1b1c1d1是正方體 易知a1d b1c 從而b1c與ac所成的銳角或直角就是ac與a1d所成的角 ab1 ac b1c b1ca 60 即ac與a1d所成的角為60 2 如圖所示 連接ac bd 在正方體abcd a1b1c1d1中 ac bd ac a1c1 e f分別為ab ad的中點 ef bd ef ac ef a1c1 即a1c1與ef所成的角為90 拓展提升 1 找異面直線所成的角的三種方法 1 利用圖中已有的平行線平移 2 利用特殊點 線段的端點或中點 作平行線平移 3 補(bǔ)形平移 2 求異面直線所成角的三個步驟 1 作 通過作平行線 得到相交直線 2 證 證明相交直線所成的角或其補(bǔ)角為異面直線所成的角 3 算 通過解三角形 求出該角 變式訓(xùn)練 在三棱錐s acb中 sab sac acb 90 ac 2 bc sb 則sc與ab所成角的余弦值為 解析 如圖 取bc的中點e 分別在平面abc內(nèi)作de ab 在平面sbc內(nèi)作ef sc 則異面直線sc與ab所成的角為 fed 或其補(bǔ)角 過f作fg ab 連接dg df 則 dfg為直角三角形 由題知ac 2 bc sb 可得de ef 2 df 在 def中 由余弦定理可得答案 滿分指導(dǎo) 求異面直線所成角主觀題的規(guī)范解答 典例 12分 2012 上海高考 如圖 在四棱錐p abcd中 底面abcd是矩形 pa 底面abcd e是pc的中點 已知ab 2 ad pa 2 求 1 三角形pcd的面積 2 異面直線bc與ae所成的角的大小 思路點撥 規(guī)范解答 1 因為pa 底面abcd 所以pa cd 又ad cd 所以cd 平面pad 從而cd pd 3分因為cd 2 所以三角形pcd的面積為 6分 2 取pb的中點f 連接ef af 則ef bc 從而 aef 或其補(bǔ)角 是異面直線bc與ae所成的角 8分在 aef中 由ef af ae 2知 aef是等腰直角三角形 所以 aef 因此 異面直線bc與ae所成的角的大小是 12分 失分警示 下文 見規(guī)范解答過程 1 2013 池州模擬 如圖是某個正方體的側(cè)面展開圖 l1 l2是兩條側(cè)面對角線 則在正方體中 l1與l2 a 互相平行 b 異面且互相垂直 c 異面且夾角為 d 相交且夾角為 解析 選d 將側(cè)面展開圖還原成正方體如圖所示 則b c兩點重合 故l1與l2相交 連接ad abd為正三角形 所以l1與l2的夾角為故選d 2 2013 西安模擬 如圖是正方體或四面體 p q r s分別是所在棱的中點 這四個點不共面的一個圖是 解析 選d 在a圖中分別連接ps qr 易證ps qr p s r q共面 在b圖中過p q r s可作一正六邊形 如圖 故p q r s四點共面 在c圖中分別連接pq rs 易證pq rs p q r s共面 d圖中ps與rq為異面直線 p q r s四點不共面 故選d 3 2012 浙江高考 已知矩形abcd ab 1 bc 將 abd沿矩形的對角線bd所在的直線進(jìn)行翻折 在翻折過程中 a 存在某個位置 使得直線ac與直線bd垂直 b 存在某個位置 使得直線ab與直線cd垂直 c 存在某個位置 使得直線ad與直線bc垂直 d 對任意位置 三對直線 ac與bd ab與cd ad與bc 均不垂直 解析 選b 找出圖形在翻折過程中變化的量與不變的量 對于選項a 過點a作ae bd 垂足為e 過點c作cf bd 垂足為f 在圖 1 中 由邊ab bc不相等可知點e f不重合 在圖 2 中 連接ce 若直線ac與直線bd垂直 又 ac ae a bd 平面ace bd ce 與點e f不重合相矛盾 故a錯誤 對于選項b 若ab cd 又 ab ad ad cd d ab 平面adc ab ac 由abab 不存在這樣的直角三角形 c錯誤 由上可知d錯誤 故選b 4 2013 寶雞模擬 給出命題 異面直線是指空間既不平行又不相交的直線 兩異面直線a b 如果a平行于平面 那么b不平行于平面 兩異面直線a b 如果a 平面 那么b不垂直于平面 兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線 上述命題中 真命題的序號是 解析 易知 正確 兩條異面直線可以平行于同一個平面 若b 則a b 這與a b為異面直線矛盾 兩條異面直線在同一個面內(nèi)的射影可以是 兩條平行直線 兩條相