高考數(shù)學 6.5 合情推理與演繹推理課件.ppt

第五節(jié)合情推理與演繹推理 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 歸納推理 定義 由某類事物的部分對象具有某些特征 推出該類事物的 對象都具有這些特征的推理 或者由個別事實概括出 的推理 稱為歸納推理 簡稱歸納 特點 由 到整體 由 到一般的推理 全部 一般結論 部分 個別 2 類比推理 定義 由兩類對象具有某些 和其中一類對象的某些已知特征 推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理 簡稱類比 特點 由特殊到 的推理 3 合情推理 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實 經(jīng)過觀察 分析 比較 聯(lián)想 再進行歸納 然后提出 的推理 我們把它們統(tǒng)稱為合情推理 類似特征 特殊 類比 猜想 4 演繹推理 從一般性的原理出發(fā) 推出某個特殊情況下的結論 我們把這種推理稱為演繹推理 簡言之 演繹推理是由一般到 的推理 5 演繹推理的一般模式 三段論 大前提 已知的 小前提 所研究的 結論 根據(jù) 對 做出的判斷 特殊 一般原理 特殊情況 一般原理 特殊情況 2 必備結論教材提煉記一記 1 合情推理的結論是猜想 不一定正確 演繹推理在大前提 小前提和推理形式都正確時 得到的結論一定正確 2 合情推理是發(fā)現(xiàn)結論的推理 演繹推理是證明結論的推理 3 必用技法核心總結看一看 1 常用方法 歸納 類比 2 數(shù)學思想 合情推理思想 演繹推理思想 3 記憶口訣 合情未必就合理 推理正確靠演繹 演繹要用三段論 大小推理要合理 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 歸納推理與類比推理都是由特殊到一般的推理 2 在類比時 平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適 3 所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù) 某數(shù)m是3的倍數(shù) 則m一定是9的倍數(shù) 這是三段論推理 但其結論是錯誤的 4 在演繹推理中 只要符合演繹推理的形式 結論就一定正確 解析 1 錯誤 歸納推理是由部分到整體 由個別到一般的推理 類比推理是由特殊到特殊的推理 2 錯誤 平面中的三角形與空間中的四面體作為類比對象較為合適 3 正確 因為大前提錯誤 所以結論錯誤 4 錯誤 演繹推理在大前提 小前提和推理形式都正確時 得到的結論一定正確 答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 選修2 2p77練習t1改編 已知數(shù)列 an 中 a1 1 n 2時 an an 1 2n 1 依次計算a2 a3 a4后 猜想an的表達式是 a an 3n 1b an 4n 3c an n2d an 3n 1 解析 選c a1 1 a2 4 a3 9 a4 16 猜想an n2 2 選修2 2p84習題2 1a組t5改編 在等差數(shù)列 an 中 若a10 0 則有a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 且n n 成立 類比上述性質 在等比數(shù)列 bn 中 若b9 1 則存在的等式為 解析 根據(jù)類比推理的特點可知 等比數(shù)列和等差數(shù)列類比 在等差數(shù)列中是和 在等比數(shù)列中是積 故有b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 且n n 答案 b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 且n n 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 北京高考 學生的語文 數(shù)學成績均被評定為三個等級 依次為 優(yōu)秀 合格 不合格 若學生甲的語文 數(shù)學成績都不低于學生乙 且其中至少有一門成績高于乙 則稱 學生甲比學生乙成績好 如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好 并且不存在語文成績相同 數(shù)學成績也相同的兩位學生 那么這組學生最多有 a 2人b 3人c 4人d 5人 解析 選b 假設a b兩位學生的數(shù)學成績一樣 由題意知他們語文成績不一樣 這樣他們的語文成績總有人比另一個人高 語文成績較高的學生比另一個學生 成績好 與已知條件 他們之中沒有一個比另一個成績好 相矛盾 因此 沒有任意兩位學生數(shù)學成績是相同的 因為數(shù)學成績只有3種 因而學生數(shù)量最大為3 即3位學生的成績分別為 優(yōu)秀 不合格 合格 合格 不合格 優(yōu)秀 時滿足條件 2 2014 新課標全國卷 甲 乙 丙三位同學被問到是否去過a b c三個城市時 甲說 我去過的城市比乙多 但沒去過b城市 乙說 我沒去過c城市 丙說 我們?nèi)巳ミ^同一城市 由此可判斷乙去過的城市為 解析 由丙可知 乙至少去過一個城市 由甲說可知甲去過a c且比乙多 故乙只去過一個城市 且沒有去過c城市 故乙只去過a城市 答案 a 3 2014 陜西高考 觀察分析下表中的數(shù)據(jù) 猜想一般凸多面體中f v e所滿足的等式是 解析 由題中所給的三組數(shù)據(jù) 可得5 6 9 2 6 6 10 2 6 8 12 2 由此可以猜想出一般凸多面體的頂點數(shù)v 面數(shù)f及棱數(shù)e所滿足的等式是f v e 2 答案 f v e 2 考點1類比推理 典例1 2015 泉州模擬 設 abc的三邊長分別為a b c abc的面積為s 內(nèi)切圓半徑為r 則r 類比這個結論可知 四面體abcd的四個面的面積分別為s1 s2 s3 s4 四面體abcd的體積為v 內(nèi)切球半徑為r 則r 解題提示 平面中的邊長與面積類比空間中的面積與體積 二維圖形中的2類比三維圖形中的3 規(guī)范解答 三角形的面積類比四面體的體積 三角形的邊長類比四面體四個面的面積 內(nèi)切圓半徑類比內(nèi)切球的半徑 二維圖形中的類比三維圖形中的 得r 答案 互動探究 把本例改為 在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和為定值a 類比上述結論 在棱長為a的正四面體內(nèi)任一點到其四個面的距離之和為定值 解析 正四面體內(nèi)任一點與四個面組成四個三棱錐 它們的體積之和為正四面體的體積 設點到四個面的距離分別為h1 h2 h3 h4 每個面的面積為正四面體的體積為則有得h1 h2 h3 h4 答案 規(guī)律方法 類比推理的關鍵及情形 1 進行類比推理 應從具體問題出發(fā) 通過觀察 分析 聯(lián)想進行對比 提出猜想 其中找到合適的類比對象是解題的關鍵 2 類比推理常見的情形有 平面與空間類比 低維與高維的類比 等差與等比數(shù)列類比 運算類比 加與乘 乘與乘方 減與除 除與開方 數(shù)的運算與向量運算類比 圓錐曲線間的類比等 變式訓練 若 an 是等差數(shù)列 m n p是互不相等的正整數(shù) 則有 m n ap n p am p m an 0 類比上述性質 相應地 對等比數(shù)列 bn m n p是互不相等的正整數(shù) 有 解析 等差數(shù)列的三項之和類比等比數(shù)列的三項之積 等差數(shù)列中 m n ap類比等比數(shù)列中的答案 加固訓練 2015 溫州模擬 下面使用類比推理 得出正確結論的是 若a 3 b 3 則a b 類比出 若a 0 b 0 則a b 若 a b c ac bc 類比出 a b c ac bc 若 a b c ac bc 類比出 c 0 ab n anbn 類比出 a b n an bn 解析 中 3與0兩個數(shù)的性質不同 故類比中把3換成0 其結論不成立 中 乘法滿足對加法的分配律 但乘法不滿足對乘法的分配律 是正確的 中 令n 2顯然不成立 答案 考點2歸納推理知 考情歸納推理是發(fā)現(xiàn)問題 找出規(guī)律的具體鮮明的方法 也是創(chuàng)新的一種思維方式 因而成為高考考查的亮點 常以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 主要考查數(shù)列 不等式 等式 函數(shù) 幾何等問題 明 角度命題角度1 與數(shù)字有關的推理 典例2 2015 新鄉(xiāng)模擬 從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列 現(xiàn)有一個三角形框架在圖中上下或左右移動 使每次恰有九個數(shù)在此三角形內(nèi) 則這九個數(shù)的和可以為 a 2011b 2012c 2013d 2014 解題提示 設最上層的一個數(shù)為a 則第二層的三個數(shù)為a 7 a 8 a 9 第三層的五個數(shù)為a 14 a 15 a 16 a 17 a 18 根據(jù)題意求和驗證 規(guī)范解答 選b 根據(jù)題干圖所示的規(guī)則排列 設最上層的一個數(shù)為a 則第二層的三個數(shù)為a 7 a 8 a 9 第三層的五個數(shù)為a 14 a 15 a 16 a 17 a 18 這9個數(shù)之和為a 3a 24 5a 80 9a 104 由9a 104 2012 得a 212 是自然數(shù) 故選b 命題角度2 與不等式有關的推理 典例3 2015 寶雞模擬 觀察下列不等式 照此規(guī)律 第五個不等式為 解題提示 觀察不等式兩邊式子的特點 總結指數(shù) 項數(shù) 分子 分母之間的數(shù)量關系 規(guī)范解答 左邊的式子的通項是右邊式子的分母依次增加1 分子依次增加2 還可以發(fā)現(xiàn)右邊分母與左邊最后一項分母的關系 所以第五個不等式為答案 悟 技法1 歸納推理的一般步驟 1 通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質 2 從相同性質中推出一個明確表述的一般性命題 2 處理與歸納推理相關的類型及策略 1 與數(shù)字有關 觀察數(shù)字特點 找出等式左右兩側的規(guī)律可解 2 與不等式有關 觀察每個不等式的特點 找到規(guī)律后可解 通 一類1 2015 臨沂模擬 觀察 x2 2x x4 4x3 cosx sinx 由歸納推理可得 若定義在r上的函數(shù)f x 滿足f x f x 記g x 為f x 的導函數(shù) 則g x a f x b f x c g x d g x 解析 選d 由所給函數(shù)及其導數(shù)知 偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù) 因此當f x 是偶函數(shù)時 其導函數(shù)應為奇函數(shù) 故g x g x 2 2015 瀘州模擬 一支人數(shù)是5的倍數(shù)且不少于1000人的游行隊伍 若按每橫排4人編隊 最后差3人 若按每橫排3人編隊 最后差2人 若按每橫排2人編隊 最后差1人 則這只游行隊伍的最少人數(shù)是 a 1025b 1035c 1045d 1055 解析 選c 設這只游行隊伍的最少人數(shù)是n 因為每橫排4人編隊 最后差3人 若按每橫排3人編隊 最后差2人 若按每橫排2人編隊 最后差1人 所以n 1是2 3 4的公倍數(shù) 即12的倍數(shù) 即n 1 1008 12k k n 則n 1009 12k k n 又因為n為5的倍數(shù) 故當k 3時 1045是滿足條件的最少人數(shù) 故選c 3 2013 陜西高考 觀察下列等式 12 1 12 22 3 12 22 32 6 12 22 32 42 10 照此規(guī)律 第n個等式可為 解析 12 1 12 22 1 2 12 22 32 1 2 3 12 22 32 42 1 2 3 4 12 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 1 2 n 1 n 1答案 12 22 32 42 1 n 1n2 1 n 1 考點3演繹推理 典例4 2015 保定模擬 數(shù)列 an 的前n項和記為sn 已知a1 1 an 1 sn n n 證明 1 數(shù)列是等比數(shù)列 2 sn 1 4an 解題提示 1 利用an 1 sn 1 sn消去an 1 2 根據(jù)是等比數(shù)列得到sn 1與sn 1的關系 再利用an sn 1證明 規(guī)范解答 1 因為an 1 sn 1 sn an 1 所以 n 2 sn n sn 1 sn 即nsn 1 2 n 1 sn 所以 小前提 故是以1為首項 2為公比的等比數(shù)列 結論 大前提是等比數(shù)列的定義 這里省略了 2 由 1 可知所以sn 1 4 n 1 sn 1 4an n 2 小前提 又a2 3s1 3 s2 a1 a2 1 3 4 4a1 小前提 所以對于任意正整數(shù)n 都有sn 1 4an 結論 規(guī)律方法 三段論的依據(jù)及應用時的注意點 1 演繹推理的一般模式為三段論 三段論推理的依據(jù)是 如果集合m的所有元素都具有性質p s是m的子集 那么s中所有元素都具有性質p 2 應用三段論的注意點 解決問題時 首先應該明確什么是大前提 小前提 然后再找結論 變式訓練 2015 北京模擬 若f a b f a f b a b n 且f 1 2 則 解析 利用三段論 因為f a b f a f b a b n 大前提 令b 1 則 f 1 2 小前提 所以所以原式 2014 答案 2014 加固訓練 已知函數(shù)y f x 滿足 對任意a b r a b 都有af a bf b af b bf a 1 試證明 f x 為r上的單調增函數(shù) 2 若x y為正實數(shù)且 4 比較f x y 與f 6 的大小 解析 1 設x1 x2 r 取x1x1f x2 x2f x1 所以x1 f x1 f x2 x2 f x2 f x1 0 f x2 f x1 x2 x1 0 因為x10 所以f x2 f x1 所以y f x 為r上的單調增函數(shù) 創(chuàng)新體驗6演繹推理中的創(chuàng)新問題 創(chuàng)新點撥 1 高考考情 與演繹推理有關的新定義問題是高考命制創(chuàng)新型試題的一個熱點 常與集合 函數(shù)等結合 且考查的頻次較高 2 命題形式 常見的有新概念 新法則 新運算等 新題快遞 1 2013 廣東高考 設整數(shù)n 4 集合x 1 2 3 n 令集合s x y z x y z x 且三條件x y z y z x z x y恰有一個成立 若 x y z 和 z w x 都在s中 則下列選項正確的是 a y z w s x y w sb y z w s x y w sc y z w s x y w sd y z w s x y w s 解題提示 本題在集合背景下利用新定義考查推理論證能力 應理解好元素在集合s中的含義 解析 選b x y z s即x y z x 且三條件x y z y z x z x y恰有一個成立 則x y z是x