高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7.3 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系課件 文 新人教A版.ppt

7 3直線與圓 圓與圓的位置關(guān)系 一 直線與圓的位置關(guān)系 1 常用研究方法 判別式法 考查圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系 2 直線ax by c 0與圓 x a 2 y b 2 r2的位置關(guān)系有三種 若d 則d r 相離 0 d r 相切 0 d0 1 過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程 圓 x a 2 y b 2 r2的以p x0 y0 為切點(diǎn)的切線方程是 x0 a x a y0 b y b r2 當(dāng)點(diǎn)p x0 y0 在曲線外時(shí) x0 a x a y0 b y b r2表示切點(diǎn)弦的方程 2 過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程 一般求法是設(shè)點(diǎn)斜式 利用圓心到切線的距離等于半徑求斜率 3 直線和圓相切 二 圓與圓的位置關(guān)系 判定方法 設(shè)兩圓圓心分別為o1 o2 半徑分別為r1 r2 o1o2 d d r1 r2 外離 4條公切線 d r1 r2 外切 3條公切 r1 r2 d r1 r2 相交 2條公切線 d r1 r2 內(nèi)切 1條公切線 0 d r1 r2 內(nèi)含 無(wú)公切線 三 圓系方程 1 經(jīng)過(guò)兩個(gè)圓交點(diǎn)的圓系方程 經(jīng)過(guò)圓x2 y2 d1x e1y f1 0 x2 y2 d2x e2y f2 0的交點(diǎn)的圓系方程是 x2 y2 d1x e1y f1 x2 y2 d2x e2y f2 0 不表示后一個(gè)圓 若 1 可得兩圓公共弦所在的直線方程 d1 d2 x e1 e2 y f1 f2 0 2 經(jīng)過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程 經(jīng)過(guò)直線ax by c 0與圓x2 y2 dx ey f 0的交點(diǎn)的圓系方程是x2 y2 dx ey f ax by c 0 不表示直線l 1 與圓x2 y 2 2 1相切 且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有 a 2條 b 3條 c 4條 d 6條 解析 由題意可知 過(guò)原點(diǎn)且與圓相切的直線共有2條 此時(shí)與兩坐標(biāo)軸的截距都是0 當(dāng)圓的切線與兩坐標(biāo)軸截距相等且不為零時(shí) 此切線過(guò)一 二 四象限 易知滿足題意的切線有2條 綜上共有4條 答案 c 2 已知圓c1 x2 y2 6x 7 0與圓c2 x2 y2 6y 27 0相交于a b兩點(diǎn) 則線段ab的中垂線方程為 a x y 3 0 b x y 3 0 c x y 3 0 d x y 3 0 解析 ab的中垂線即為圓c1 圓c2的連心線c1c2 又c1 3 0 c2 0 3 c1c2的方程為x y 3 0 即線段ab的中垂線方程為x y 3 0 答案 a 3 直線y kx 3與圓 x 3 2 y 2 2 4相交于m n兩點(diǎn) 若 mn 2 則k的取值范圍是 解析 圓心 3 2 到直線的距離d 則由 mn 2及圓的半徑為2 得d 1 解得 k 0 答案 0 題型1直線與圓的位置關(guān)系 例1已知?jiǎng)又本€l y kx 5和圓c x 1 2 y2 1 試問(wèn)k為何值時(shí) 直線l與圓c相離 相切 相交 分析 聯(lián)立方程 消去一個(gè)未知數(shù) 如y 可得關(guān)于x的二次方程 再利用判別式 0 求k的取值范圍 或者利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系 求參數(shù)k的取值范圍 解析 法一 代數(shù)法 聯(lián)立方程消去y整理得 k2 1 x2 10k 2 x 25 0 則 10k 2 2 4 k2 1 25 40k 96 當(dāng)直線l與圓c相離時(shí) 有 40k 96 當(dāng)直線l與圓c相切時(shí) 有 40k 96 0 故k 當(dāng)直線l與圓c相交時(shí) 有 40k 96 0 故k 法二 幾何法 圓c x 1 2 y2 1的圓心為c 1 0 半徑r 1 設(shè)直線l與圓心c的距離為d 則d 當(dāng)d r 即 1 即k 時(shí) 直線l與圓c相離 當(dāng)d r 即 1 即k 時(shí) 直線l與圓c相切 當(dāng)d r 即 1 即k 時(shí) 直線l與圓c相交 點(diǎn)評(píng) 研究直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法 代數(shù)法和幾何法 可根據(jù)題設(shè)選用適當(dāng)?shù)姆椒?變式訓(xùn)練1已知圓c x 1 2 y 2 2 25 直線l 2m 1 x m 1 y 7m 4 0 m r 1 證明 不論m取什么實(shí)數(shù) 直線l與圓恒交于兩點(diǎn) 2 求直線l被圓c截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)的方程 即l恒過(guò)定點(diǎn)a 3 1 圓心c 1 2 ac 5 半徑 點(diǎn)a在圓c內(nèi) 從而直線l與圓c恒交于兩點(diǎn) 2 弦長(zhǎng)最小時(shí) l ac 由kac 得kl 2 l的方程為2x y 5 0 解析 1 l的方程 x y 4 m 2x y 7 0 m r 由得 例2已知點(diǎn)p 0 5 及圓c x2 y2 4x 12y 24 0 1 若直線l過(guò)點(diǎn)p且被圓c截得的線段長(zhǎng)為4 求l的方程 2 求過(guò)p點(diǎn)的圓c的弦的中點(diǎn)的軌跡方程 分析 1 利用弦長(zhǎng)求出直線l的斜率 2 利用垂徑定理找等量關(guān)系求解 題型2圓的切線或弦長(zhǎng)問(wèn)題 標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 2 2 y 6 2 16 圓心c為 2 6 半徑r 4 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí) 設(shè)所求直線l的斜率為k 則直線l的方程為y 5 kx 即kx y 5 0 解析 1 法一 如圖所示 ab 4 d是線段ab的中點(diǎn) cd ab ad 2 ac 4 在rt acd中 可得 cd 2 圓c的 由點(diǎn)c到直線ab的距離得 2 解得k 此時(shí)直線l的方程為3x 4y 20 0 又直線l的斜率不存在時(shí) 也滿足題意 此時(shí)l的方程為x 0 所求直線l的方程為3x 4y 20 0或x 0 法二 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí) 設(shè)斜率為k 則直線l的方程為y 5 kx 即y kx 5 由消去y得 1 k2 x2 4 2k x 11 0 設(shè)方程 的兩根為x1 x2 則 由弦長(zhǎng)公式得 4 解得k 此時(shí)直線方程為3x 4y 20 0 又斜率k不存在時(shí)也滿足題意 此時(shí)直線方程為x 0 所求直線的方程為x 0或3x 4y 20 0 2 設(shè)過(guò)p點(diǎn)的圓c的弦的中點(diǎn)為d x y 則cd pd 0 x 2 y 6 x y 5 0 化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x2 y2 2x 11y 30 0 點(diǎn)評(píng) 涉及弦長(zhǎng)或弦的中點(diǎn)問(wèn)題 通常利用弦的中點(diǎn) 端點(diǎn)和圓心構(gòu)成的直角三角形來(lái)求解 變式訓(xùn)練2已知圓c的圓心為 1 2 且圓過(guò)點(diǎn) 2 1 求圓的方程 2 過(guò)點(diǎn)p 2 3 作圓c的切線 求切線的方程 解析 1 圓c的圓心為 1 2 且圓過(guò)點(diǎn) 2 圓的半徑為r 1 圓的方程為 x 1 2 y 2 2 1 2 當(dāng)斜率不存在時(shí) 直線l為x 2與圓o x 1 2 y 2 2 1相切 故符合條件 當(dāng)斜率存在時(shí) 設(shè)切線為y 3 k x 2 即kx y 3 2k 0 圓心 1 2 半徑為1 因?yàn)橹本€與圓相切 所以 1 k 則l的方程為y 3 x 2 即12x 5y 9 0 故所求切線方程為12x 5y 9 0和x 2 例3圓o1的方程為x2 y 1 2 4 圓o2的圓心為o2 2 1 1 若圓o2與圓o1外切 求圓o2的方程 2 若圓o2與圓o1交于a b兩點(diǎn) 且 ab 2 求圓o2的方程 分析 1 利用兩圓外切求出圓o2的半徑 2 利用圓o1的圓心到兩圓公共弦ab所在直線的距離 圓o1的半徑 ab 構(gòu)造直角三角形 求出圓o2的半徑 題型3圓與圓的位置關(guān)系 解析 1 設(shè)圓o2的半徑為r2 兩圓外切 o1o2 r1 r2 r2 o1o2 r1 2 1 故圓o2的方程是 x 2 2 y 1 2 12 8 2 設(shè)圓o2的方程為 x 2 2 y 1 2 又圓o1的方程為x2 y 1 2 4 此兩圓的方程相減 即得兩圓公共弦ab所在直線的方程 4x 4y 8 0 圓心o1 0 1 到直線ab的距離為 解得 4或 20 故圓o2的方程為 x 2 2 y 1 2 4或 x 2 2 y 1 2 20 點(diǎn)評(píng) 判斷兩圓位置關(guān)系的方法有兩種 一是代數(shù)法 即解由兩圓方程組成的方程組 若方程組無(wú)實(shí)數(shù)解 則兩圓相離或內(nèi)含 若方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解 則兩圓相切 若方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解 則兩圓相交 二是幾何法 即通過(guò)討論 兩圓的圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系來(lái)判斷兩圓的位置關(guān)系 變式訓(xùn)練3 1 若圓x2 y2 4與圓x2 y2 2ay 6 0 a 0 的公共弦長(zhǎng)為2 則a 2 若 o x2 y2 5與 o1 x m 2 y2 20 m r 相交于a b兩點(diǎn) 且兩圓在點(diǎn)a處的切線互相垂直 則線段ab的長(zhǎng)度是 2 由題意 o1與 o在a處的切線互相垂直 則兩切線分別過(guò)另一圓的圓心 o1a oa 又 oa o1a 2 oo1 5 而a b關(guān)于oo1軸對(duì)稱 ab為rt oao1斜邊上高的2倍 即 ab 2 4 答案 1 1 2 4 解析 1 兩圓方程作差 易知弦所在直線方程為y 由已知半弦長(zhǎng)為 半徑為2 故 1 a 1 1 判斷直線與圓的位置關(guān)系一般有兩種方法 1 幾何法 比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小 2 代數(shù)法 討論圓的方程與直線方程的實(shí)數(shù)解的組數(shù) 注意 兩種方法中優(yōu)先考慮使用幾何法 2 求過(guò)圓外一點(diǎn) x0 y0 的圓的切線方程的方法 1 幾何法 當(dāng)斜率存在時(shí) 設(shè)為k 切線方程為y y0 k x x0 即kx y y0 kx0 0 由圓心到直線的距離等于半徑 即可得出切線方程 2 代數(shù)法 當(dāng)斜率存在時(shí) 設(shè)切線方程為y y0 k x x0 即y kx kx0 y0 代入 圓方程 得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程 由 0 求得k 切線方程即可求出 3 以p x1 y1 q x2 y2 為直徑端點(diǎn)的圓的方程為 x x1 x x2 y y1 y y2 0 4 圓的弦長(zhǎng)的常用求法 1 幾何法 設(shè)圓的半徑為r 弦心距為d 弦長(zhǎng)為l 則 2 r2 d2 2 代數(shù)法 運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式 ab x1 x2 5 判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法 即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系 一般不采用代數(shù)法 若兩圓相交 則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2 y2項(xiàng)得到 例 12分 已知過(guò)點(diǎn)a 1 0 的動(dòng)直線l與圓c x2 y 3 2 4相交于p q兩點(diǎn) m是pq的中點(diǎn) l與直線m x 3y 6 0相交于點(diǎn)n 圓中探究類問(wèn)題 1 求證 當(dāng)直線l與m垂直時(shí) 直線l必過(guò)圓心c 2 當(dāng) pq 2時(shí) 求直線l的方程 3 探究 是否與直線l的傾斜角有關(guān) 若無(wú)關(guān) 請(qǐng)求出其值 若有關(guān) 請(qǐng)說(shuō)明理由 解析 1 l與m垂直 且km kl 3 1分 又kac 3 當(dāng)l與m垂直時(shí) l必過(guò)圓心c 2分 2 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí) 易知x 1 符合題意 3分 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí) 設(shè)直線l的方程為y k x 1 即kx y k 0 4分 pq 2 cm 1 cm 1 得k 直線l 4x 3y 4 0 5分 故所求的直線l的方程為x 1或4x 3y 4 0 6分 3 cm mn 8分 當(dāng)l與x軸垂直時(shí) 易得n 1 則 0 又 1 3 5 9分 當(dāng)l的斜率存在時(shí) 設(shè)直線l的方程為y k x 1 則由得點(diǎn)n 5 11分 綜上所述 與直線l的傾斜角無(wú)關(guān) 且 5 12分 探究類問(wèn)題一般通過(guò)以下幾步完成 第一步 明確探究的內(nèi)容 第二步 分類進(jìn)行計(jì)算或證明 第三步 明確給出探究結(jié)論 第四步 反思回顧 查看關(guān)鍵點(diǎn) 易錯(cuò)點(diǎn)及答題規(guī)范 答題流程 點(diǎn)評(píng) 本大題第 1 2 問(wèn)是基本內(nèi)容的常規(guī)題型 解答過(guò)程中問(wèn)題不多 第 3 問(wèn)屬探究性問(wèn)題 考生解答中存在較多問(wèn)題 對(duì) 不會(huì)轉(zhuǎn)化為 致使運(yùn)算冗長(zhǎng) 忽略了直線l傾斜角為90 的情況 使探究不全面 不知探究問(wèn)題處理的方法 找不到問(wèn)題切入點(diǎn)或計(jì)算錯(cuò)誤 一 選擇題 本大題共5小題 每小題6分 1 基礎(chǔ)再現(xiàn) 設(shè)m 0 則直線 x y 1 m 0與圓x2 y2 m的位置關(guān)系為 a 相切 b 相交 c 相切或相離 d 相交或相切 解析 圓心到直線的距離為d 圓半徑為 d r m 2 1 1 2 0 直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離 答案 c 2 視角拓展 已知圓x2 y2 4與圓x2 y2 6x 6y 14 0關(guān)于直線l對(duì)稱 則直線l的方程是 a x 2y 1 0 b 2x y 1 0 c x y 3 0 d x y 3 0 則直線l的斜率為k 1 故直線l的方程為y x 即x y 3 0 答案 d 解析 兩圓關(guān)于直線l對(duì)稱 則直線l為兩圓圓心連線的垂直平分線 圓x2 y2 4的圓心為o 0 0 圓x2 y2 6x 6y 14 0的圓心為p 3 3 則線段op的中點(diǎn)為q 其斜率kop 1 3 視角拓展 直線l與圓x2 y2 2x 4y a 0 a 3 相交于a b兩點(diǎn) 若弦ab的中點(diǎn)為 2 3 則直線l的方程為 a x y 5 0 b x y 1 0 c x y 5 0 d x y 3 0 解析 由圓的一般方程可得圓心o 1 2 由圓的性質(zhì)易知o 1 2 和c 2 3 的連線與弦ab垂直 故有kab koc 1 kab 1 故直線ab的方程為y 3 x 2 整理得x y 5 0 答案 a 4 高度提升 已知圓c1 x 1 2 y2 2和圓c2 x 3 2 y 2 2 r2恰好有3條公切線 則圓c2的周長(zhǎng)為 a b c 2 d 4 解析 根據(jù)條件可知兩圓外切 故r 2 故r 圓c2的周長(zhǎng)為2 答案 c 5 能力綜合 設(shè)圓c1 c2都和兩坐標(biāo)軸相切 且都過(guò)點(diǎn) 4 1 則兩圓心的距離 c1c2 等于 a 4 b 4 c 8 d 8 解析 由題意知圓心在直線y x上并且在第一象限 設(shè)圓心坐標(biāo)為 a a a 0 則a 即a2 10a 17 0 所以由兩點(diǎn)間的距離公式可求出 c1c2 8 答案 c 6 視角拓展 過(guò)點(diǎn) 0 1 的直線與x2 y2 4相交于a b兩點(diǎn) 則 ab 的最小值為 解析 當(dāng)過(guò)點(diǎn) 0 1 0 0 的直線與弦ab垂直時(shí) ab 有最小值為2 答案 2 二 填空題 本大題共4小題 每小題7分 7 視角拓展 直線x y 0繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30 所得直線與圓x2 y2 4x 1 0的位置關(guān)系是 解析 直線x y 0的傾斜角為150 順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30 后的傾斜角為120 旋轉(zhuǎn)后的直線方程為x y 0 將圓的方程化為 x 2 2 y2 3 圓心的坐標(biāo)為 2 0 半徑為 圓心到直線x y 0的距離為d 直線和圓相切 答案 相切 8 高度提升 圓心在直線2x y 7 0上的圓c與y軸交于兩點(diǎn)a 0 4 b 0 2 則圓c的方程為 解析 圓c與y軸交于a 0 4 b 0 2 圓心在y 3這條直線上 又已知圓心在直線2x y 7 0上 聯(lián)立y 3 2x y 7 0解得x 2 圓心為 2 3 半徑r ac 所求圓c的方程為 x 2 2 y 3 2 5 答案 x 2 2 y 3 2 5 9 能力綜合 已知圓c1 x2 y2 x 2y 0與圓c2 x2 y2 2xcos 2y cos2 0相交且公共弦長(zhǎng)為 則鈍角 的值是 解析 兩圓的方程可化為 x 2 y 1 2 1和 x cos 2 y 1 2 1 如圖 公共弦ab的長(zhǎng)為 c1m c1c2 2 c1m 1 即 1 解得cos 或cos 舍去 又 為鈍角 故 答案 10 基礎(chǔ)再現(xiàn) 已知直線l過(guò)圓 x 4 2 y2 16的圓心c垂直于x軸 點(diǎn)f的坐標(biāo)是 6 0 點(diǎn)g是圓上任意一點(diǎn) 若直線fg與直線l相交于點(diǎn)t 且g為線段ft的中點(diǎn) 求直線fg被圓c所截得的弦長(zhǎng) 三 解答題 本大題共3小題 每小題14分 所以c 4 0 到直線fg的距離為d 直線fg被圓c截得的弦長(zhǎng)為2 7 解析 圓心c 4 0 直線l的方程是 x 4 f 6 0 由題意 可設(shè)g 5 yg 代入 x 4 2 y2 16 得yg 所以直線fg的斜率為k 直線fg的方程為y x 6 11 高度提升 已知圓x2 y2 4x 2y 3 0和圓外一點(diǎn)m 4 8 1 過(guò)m作圓的割線交圓于a b兩點(diǎn) 若 ab 4 求直線ab的方程 2 過(guò)m作圓的切線 切點(diǎn)為c d 求切線長(zhǎng)及cd所在直線的方程 解析