高中數(shù)學(xué) 2.2 直線的方程 2.2.1 直線方程的概念與直線的斜率學(xué)案 新人教B版必修2.doc

2.2.1直線方程的概念與直線的斜率1理解直線的斜率和傾斜角的概念，了解用代數(shù)的方法探索直線斜率的過(guò)程2掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式，并能在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用3能利用數(shù)形結(jié)合與分類討論思想求直線的斜率和傾斜角1直線方程的概念由于函數(shù)ykxb(k0)或yb都是_方程，因此，我們也可以說(shuō)，方程ykxb的解與其圖象上的點(diǎn)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系如果以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在某條直線上，且這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是_，那么這個(gè)方程叫做_，這條直線叫做_直線的方程和方程的直線要同時(shí)滿足兩個(gè)條件：以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)；反之，這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解兩個(gè)條件只要缺少一個(gè)，命題就是錯(cuò)誤的【做一做11】在平面直角坐標(biāo)系中，二、四象限角平分線所在的直線的方程為_(kāi)【做一做12】給出下列四個(gè)命題：一條直線必是某個(gè)一次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象必是一條不過(guò)原點(diǎn)的直線；若一條直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)方程的解，則此方程叫做這條直線的方程；以一個(gè)二元方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在某條直線上，則這條直線叫做此方程的直線其中正確命題的個(gè)數(shù)是()a0 b1 c2 d32直線的傾斜角和斜率(1)我們把直線ykxb中的系數(shù)k叫做這條直線的_(2)兩點(diǎn)斜率公式：已知直線上兩點(diǎn)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，則直線的斜率k_(x1x2)(3)傾斜角：x軸正向與_所成的角叫做這條直線的傾斜角，記為.當(dāng)直線l與x軸_時(shí)，規(guī)定0，故的取值范圍是_(4)斜率k與傾斜角的關(guān)系如圖所示當(dāng)傾斜角為銳角時(shí)，傾斜角越大，斜率越大，且均為正；當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，傾斜角越大，斜率越大，且均為負(fù)但我們不能錯(cuò)誤地認(rèn)為傾斜角越大，斜率越大【做一做2】過(guò)點(diǎn)p(1,3)和q(0,5)的直線的斜率為()a2 b2 c d對(duì)直線斜率的全方位剖析剖析：(1)斜率公式的適用范圍經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)p(x1，y1)，q(x2，y2)的直線的斜率公式k，其適用范圍是x1x2.說(shuō)明如下：斜率公式可通過(guò)直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示斜率公式與兩點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)兩點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)在公式中的次序可以同時(shí)調(diào)換(要一致)如果y2y1(x2x1)，則直線與x軸平行或重合，k0；如果x1x2，y1y2，則直線與x軸垂直，傾斜角90，斜率k不存在(2)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看斜率公式由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求這條直線的斜率k與這兩點(diǎn)在直線上的順序無(wú)關(guān)，于是k(x1x2)如果令xx2x1，yy2y1，則x表示變量x的改變量，y表示相應(yīng)的y的改變量，于是k(x0)(3)斜率的功能斜率是用來(lái)反映直線傾斜程度的一個(gè)量，它與傾斜角都反映傾斜程度，但傾斜角相對(duì)直觀一些，而斜率較抽象，且傾斜角與斜率k有ktan 這一關(guān)系式結(jié)合圖示說(shuō)明如下：如圖所示，直線pq，直線pm，且直線mq與y軸平行，由直線斜率公式：kpq，kpm，由圖易知yy，kpmkpq.顯然直線pm相對(duì)于x軸正方向比直線pq相對(duì)于x軸正方向傾斜程度要大比如某人從點(diǎn)p沿直線pq到達(dá)點(diǎn)q，相對(duì)于從點(diǎn)p沿直線pm到達(dá)點(diǎn)m來(lái)說(shuō)，此人會(huì)感到沿直線pm走比沿直線pq走更費(fèi)勁一般地，直線斜率為k，若有|k|越大，反映直線相對(duì)于x軸傾斜程度越大；反之|k|越小，反映直線相對(duì)于x軸傾斜程度越小若kabkac，此時(shí)直線ab與直線ac的傾斜角相同，即三點(diǎn)a，b，c共線，因此可以利用斜率解決三點(diǎn)共線問(wèn)題；但kabkcd只能說(shuō)明直線ab與直線cd傾斜角相同，不能說(shuō)明a，b，c，d四點(diǎn)共線，因此要用斜率證明共線問(wèn)題，而線段(或兩條直線)必須有公共點(diǎn)才行題型一 概念辨析題【例1】下列四個(gè)命題：一條直線向上的方向與x軸正向所成的角，叫做這條直線的傾斜角；直線l的傾斜角要么是銳角，要么是鈍角；已知直線l經(jīng)過(guò)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)兩點(diǎn)，則直線l的斜率k；若直線l的方程是axbyc0，則直線l的斜率k.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()a3 b2 c1 d0反思：斜率與傾斜角是直線中最基本的概念，正確理解斜率與傾斜角的概念是解答本題的基礎(chǔ)，要注意直線的斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，還有斜率公式是有使用范圍的，直線與x軸垂直時(shí)斜率不存在題型二 求直線的斜率【例2】已知直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)a(2,1)，b(t,4)，求直線l的斜率分析：點(diǎn)b的坐標(biāo)中含參數(shù)t，注意分類討論反思：應(yīng)用斜率公式表示直線斜率時(shí)，一定注意x1x2的條件，遇到參數(shù)時(shí)要根據(jù)參數(shù)的取值進(jìn)行討論題型三 斜率公式的綜合應(yīng)用【例3】求證：a(1,5)，b(0,2)，c(1,1)三點(diǎn)共線分析：根據(jù)過(guò)同一點(diǎn)的兩條直線，若它們的斜率相等，則兩直線必重合，從而證明三點(diǎn)共線反思：通過(guò)本題可歸納出：若斜率kab，kac存在，則kabkaca，b，c三點(diǎn)共線，當(dāng)然也可以用|ab|bc|ac|來(lái)證，最后需指出的是當(dāng)證明四點(diǎn)共線時(shí)，一定要注意看是否有公共點(diǎn)【例4】已知直線l：yax2和兩點(diǎn)a(1,4)，b(3,1)，當(dāng)直線l與線段ab相交時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析：過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線與線段相交，可借助圖形加以解決反思：通過(guò)本題的解決，要掌握斜率與傾斜角之間的關(guān)系，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的利用【例5】已知實(shí)數(shù)x，y滿足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值分析：根據(jù)的幾何意義，本題即是求直線y2x8(2x3)上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的最值反思：利用斜率公式解決代數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是：根據(jù)題目中代數(shù)式的特征，看是否可寫成(x1x2)的形式，從而聯(lián)想其幾何意義(即直線的斜率)，再利用幾何圖形的直觀性來(lái)分析解決問(wèn)題題型四 易錯(cuò)辨析【例6】設(shè)直線l過(guò)原點(diǎn)，其傾斜角為，將直線l繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30，得到直線l1，則直線l1的傾斜角為()a30b150c150d當(dāng)0150時(shí)為30，當(dāng)150180時(shí)為150錯(cuò)解：直線l按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，結(jié)合傾斜角的定義及旋轉(zhuǎn)角的概念可知l1的傾斜角為30.答案：a錯(cuò)因分析：沒(méi)有考慮到30會(huì)越過(guò)180，這樣就不滿足傾斜角的范圍0，)了1過(guò)點(diǎn)p(2，m)和點(diǎn)q(m,4)的直線的斜率為1，則m的值為()a1 b4 c1或3 d1或42若兩直線l1，l2的傾斜角分別為1，2，則下列四個(gè)命題中正確的是()a若12，則兩直線的斜率k1k2b若12，則兩直線的斜率k1k2c若兩直線的斜率k1k2，則12d若兩直線的斜率k1k2，則123若直線l經(jīng)過(guò)第二、四象限，則直線l傾斜角的范圍是_4若三點(diǎn)a(2,2)，b(a,0)，c(0,4)共線，則a的值等于_5已知點(diǎn)a(3,4)，在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)b，使直線ab的斜率等于2，把直線方程寫成一次函數(shù)形式，并求出點(diǎn)b的坐標(biāo)答案：基礎(chǔ)知識(shí)梳理1二元一次這個(gè)方程的解這條直線的方程這個(gè)方程的直線【做一做11】yx【做一做12】a由直線方程的定義可知，均不正確又y5表示一條直線，但它卻不是一次函數(shù)，原因是一次函數(shù)ykxb中的k0，也不正確當(dāng)一次函數(shù)ykxb(k0)中的b0時(shí)，其圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可知也不正確2(1)斜率(2)(3)直線向上的方向平行或重合0180【做一做2】b典型例題領(lǐng)悟【例1】c根據(jù)傾斜角定義知，正確；傾斜角范圍為0，)，不正確；當(dāng)x1x2時(shí)，直線p1p2的斜率k不存在，不能用公式k求解，不正確；當(dāng)b0時(shí)，直線斜率不存在，不正確故選c.【例2】解：(1)當(dāng)t2時(shí)，直線l與x軸垂直，直線l的斜率不存在(2)當(dāng)t2時(shí)，直線l的斜率k，綜上所述，當(dāng)t2時(shí)，直線l的斜率不存在；當(dāng)t2時(shí)，直線l的斜率k.【例3】證明：利用斜率公式計(jì)算出ab和ac兩條直線的斜率，kab3，kac3.kabkac，又過(guò)同一點(diǎn)a，a，b，c三點(diǎn)共線【例4】解：如圖所示，直線l過(guò)定點(diǎn)c(0,2)，kcb，kca2，kla.當(dāng)直線l與線段ab相交時(shí)，kcbklkca，a2.【例5】解：如圖，由已知，點(diǎn)p(x，y)在線段ab上運(yùn)動(dòng)，其中a(2,4)，b(3,2)，而，其幾何意義為直線op的斜率由圖可知kobkopkoa，而kob，koa2.故所求的的最大值為2，最小值為.【例6】d正解：要分類討論，旋轉(zhuǎn)30后，看30是否在0180范圍內(nèi)若在，則l1的傾斜角為30；若不在，則l1的傾斜角為30180150.隨堂練習(xí)鞏固1a由斜率公式，有1，得m24m.m1.2d390180如圖所示，直