高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.3.2 楊輝三角學案 新人教B版選修23.docVIP

1.3.2楊輝三角1.使學生建立“楊輝三角”與二項式系數(shù)之間的直覺，并探索其中的規(guī)律.(難點)2.掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用.(重點)3.掌握“賦值法”并會靈活運用.基礎(chǔ)初探教材整理1楊輝三角閱讀教材p29，完成下列問題.楊輝三角的特點(1)在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等.(2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即ccc.1.如圖131是一個類似楊輝三角的圖形，則第n行的首尾兩個數(shù)均為_.13356571111791822189圖131【解析】由1,3,5,7,9，可知它們成等差數(shù)列，所以an2n1.【答案】2n12.如圖132，由二項式系數(shù)構(gòu)成的楊輝三角中，第_行從左到右第14與第15個數(shù)之比為23.111121133114641圖132【解析】設(shè)第n行從左到右第14與第15個數(shù)之比為23，則3c2c，即，解得n34.【答案】34教材整理2二項式系數(shù)的性質(zhì)閱讀教材p29后半部分，完成下列問題.1.每一行的兩端都是1，其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.2.每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個數(shù)相等.3.如果二項式的冪指數(shù)n是偶數(shù)，那么其展開式中間一項t1的二項式系數(shù)最大；如果n是奇數(shù)，那么其展開式中間兩項t與t1的二項式系數(shù)相等且最大.4.二項展開式的二項式系數(shù)的和等于2n.1.已知(ab)n展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則n等于_.【解析】因為只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以15，所以n8.【答案】82.已知(ax1)n的展開式中，二項式系數(shù)和為32，則n等于_. 【導(dǎo)學號：62980026】【解析】二項式系數(shù)之和為ccc2n32，所以n5.【答案】53.(2x1)10展開式中x的奇次冪項的系數(shù)之和為_.【解析】因為(2x1)10a0a1xa2x2a10x10，令x1，得a0a1a2a101，再令x1，得310a0a1a2a3a10，兩式相減，可得a1a3a9.【答案】質(zhì)疑手記預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型與“楊輝三角”有關(guān)的問題如圖133，在“楊輝三角”中斜線ab的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，.記其前n項和為sn，求s19的值.圖133【精彩點撥】由圖知，數(shù)列中的首項是c，第2項是c，第3項是c，第4項是c，第17項是c，第18項是c，第19項是c.【自主解答】s19(cc)(cc)(cc)(cc)c(cccc)(cccc)(23410)c220274.“楊輝三角”問題解決的一般方法觀察分析；試驗猜想；結(jié)論證明，要得到楊輝三角中蘊含的諸多規(guī)律，取決于我們的觀察能力，觀察能力有：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多角度觀察.如表所示：再練一題1.如圖134所示，滿足如下條件：第n行首尾兩數(shù)均為n；表中的遞推關(guān)系類似“楊輝三角”.則第10行的第2個數(shù)是_，第n行的第2個數(shù)是_.圖134【解析】由圖表可知第10行的第2個數(shù)為：(1239)146，第n行的第2個數(shù)為：123(n1)11.【答案】46求展開式的系數(shù)和設(shè)(12x)2 017a0a1xa2x2a2 017x2 017(xr).(1)求a0a1a2a2 017的值；(2)求a1a3a5a2 017的值；(3)求|a0|a1|a2|a2 017|的值.【精彩點撥】先觀察所求式子與展開式各項的特點，利用賦值法求解.【自主解答】(1)令x1，得a0a1a2a2 017(1)2 0171.(2)令x1，得a0a1a2a2 01732 017.得2(a1a3a2 017)132 017，a1a3a5a2 017.(3)tr1c(2x)r(1)rc (2x)r，a2k10(kn)，a2k0(kn).|a0|a1|a2|a3|a2 017|a0a1a2a3a2 01732 017.1.解決二項式系數(shù)和問題思維流程.2.“賦值法”是解決二項展開式中項的系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同值.一般地，要使展開式中項的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x0可得常數(shù)項，令x1可得所有項系數(shù)之和，令x1可得偶次項系數(shù)之和與奇次項系數(shù)之和的差.再練一題2.若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6.【解】(1)令x0，則a01；令x1，得a7a6a1a027128，所以a1a2a7129.(2)令x1，得a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由得2(a1a3a5a7)128(4)7，a1a3a5a78 256.(3)由得2(a0a2a4a6)128(4)7，a0a2a4a68 128.探究共研型二項式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用探究1根據(jù)楊輝三角的特點，在楊輝三角同一行中與兩個1等距離的項的系數(shù)相等，你可以得到二項式系數(shù)的什么性質(zhì)？【提示】對稱性，因為cc，也可以從f(r)c的圖象中得到.探究2計算，并說明你得到的結(jié)論.【提示】.當k1，說明二項式系數(shù)逐漸增大；同理，當k時，二項式系數(shù)逐漸減小.探究3二項式系數(shù)何時取得最大值？【提示】當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當n是奇數(shù)時，中間的兩項cn，cn相等，且同時取得最大值.已知f(x)(3x2)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項.【精彩點撥】求二項式系數(shù)最大的項，利用性質(zhì)知展開式中中間項(或中間兩項)是二項式系數(shù)最大的項；求展開式中系數(shù)最大的項，必須將x，y的系數(shù)均考慮進去，包括“”“”號.【自主解答】令x1，則二項式各項系數(shù)的和為f(1)(13)n4n，又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5為奇數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項，它們分別是t3c(x)3(3x2)290x6，t4c(x)2(3x2)3270x.(2)展開式的通項公式為tr1c3rx(52r).假設(shè)tr1項系數(shù)最大，則有r，rn，r4.展開式中系數(shù)最大的項為t5cx(3x2)4405x.1.求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大；當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大.2.求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況，一般采用列不等式組，解不等式的方法求得.再練一題3.已知(a21)n展開式中的各項系數(shù)之和等于5的展開式的常數(shù)項，而(a21)n的展開式的系數(shù)最大的項等于54，求a的值. 【導(dǎo)學號：62980027】【解】由5，得tr1c5rr5rcx，令tr1為常數(shù)項，則205r0，所以r4，常數(shù)項t5c16.又(a21)n展開式中的各項系數(shù)之和等于2n，由此得到2n16，n4.所以(a21)4展開式中系數(shù)最大項是中間項t3ca454，所以a.構(gòu)建體系1.(1x)2n1的展開式中，二項式系數(shù)最大的項所在項數(shù)是()a.n，n1b.n1，nc.n1，n2d.n2，n3【解析】該展開式共2n2項，中間兩項為第n1項與第n2項，所以第n1項與第n2項為二項式系數(shù)最大的項.【答案】c2.已知c2c22c2nc729，則ccc的值等于() 【導(dǎo)學號：62980028】a.64b.32 c.63d.31【解析】c2c2nc(12)n3n729，n6，ccc32.【答案】b3.若(x3y)n的展開式中各項系數(shù)的和等于(7ab)10的展開式中二項式系數(shù)的和，則n的值為_.【解析】(7ab)10的展開式中二項式系數(shù)的和為ccc210，令(x3y)n中xy1，則由題設(shè)知，4n210，即22n210，解得n5.【答案】54.已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，則a0a1a2a5_.【解析】(ax)5展開式的通項為tr1(1)rca5rxr，令r2，得a2(1)2ca380，解得a2，即(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令x1，得a0a1a2a51.【答案】15.在8的展開式中，(1)求系數(shù)的絕對值最大的項；(2)求二項式系數(shù)最大的項；(3)求系數(shù)最大的項；(4)求系數(shù)最小的項.【解】tr1c()8rr(1)rc2rx4.(1)設(shè)第r1項系數(shù)的絕對值最大.則解得5r6.故系數(shù)絕對值最大的項是