談“余弦定理”一節(jié)課的教學案例分析.doc

附件1沛縣（含徐州市）第四屆中小學教學案例封面案例題目：談“余 弦 定 理”一節(jié)課的教學案例分析案例涉及的學科：數(shù)學 學段：高中作者姓名：郝培影 出生年月：1977.8性別：男 職稱：中教一級 作者單位（全稱）：沛縣湖西中學郵編：221611 學校意見（鑒定是否抄襲）：學校印章年 月 日 縣區(qū)意見（是否同意上報）：單位印章年 月 日 市評審小組認定等次：簽名等次簡要評價評委1評委2評委3復審認定等次： 簽名：終審認定等次： 簽名：談“余 弦 定 理”一節(jié)課的教學案例分析沛縣湖西中學 郝培影隨著教育改革的深化，如何提高學生學習的興趣，培養(yǎng)學生探索能力是廣大教師非常重視的問題其中數(shù)學的教學也不僅僅是原來那種教師講解，學生被動接受的傳統(tǒng)教學模式，而是要學生真正的參與進去，成為學習的主體，通過其動手實踐，合作交流，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，引發(fā)學生對實際問題蘊涵的一些數(shù)學模型進行思考、探索，養(yǎng)成善于觀察、勤于思考、勇于歸納的良好思維品質本文就“余弦定理”一節(jié)課的教學談談個人的看法一、教學內容分析蘇教版普通高中課程標準實驗教科書必修第章解三角形第單元第課余弦定理，改變了傳統(tǒng)的證明方法，是利用向量的數(shù)量積來推導余弦定理的要求學生正確理解定理的結構特征，正確解決三角形邊角邊，邊邊邊，邊邊角的問題，通過定理的應用，體會方程思想在解決問題中的應用，激發(fā)學生探究問題的欲望，培養(yǎng)應用數(shù)學知識的能力二、學情分析學生在學習本課之前已經(jīng)學習了三角函數(shù)、平面向量、三角恒等變換以及正弦定理等有關內容，對三角形中的邊角關系有了初步的認識，已能解決一些簡單的邊角關系，在此基礎上探求余弦定理，會激發(fā)學生的探究興趣.余弦定理的推導有一定的難度，這就要求教師要合理的設疑，正確的引導學生通過計算-歸納-推理余弦定理，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力，養(yǎng)成良好的思考習慣 三、設計思想為了充分調動學生的學習興趣，發(fā)揮在教學中的主體性，本課的教學采用探究式的教學方式，即教學過程中教師以問題為導向設計問題情境，學生通過自主探究和合作交流，解決問題、總結經(jīng)驗、歸納規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)“余弦定理”、證明“余弦定理”在此過程中，學生通過交流、討論，互為取長補短，在知識形成發(fā)展過程中提高學生的數(shù)學思維能力，體會方程思想在解決數(shù)學問題中的應用，通過余弦定理解決一些與測量、幾何計算有關的實際問題，養(yǎng)成學以致用的品質四、教學三維目標（一）知識與技能1.掌握余弦定理的兩種表示形式，理解證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決 “邊角邊”、“邊邊邊”兩類基本的解三角形問題，以及邊邊角的問題；2.運用余弦定理解決一些與測量、幾何計算有關的實際問題（二）過程與方法 利用向量的數(shù)量積來推導余弦定理，通過余弦定理的變形推出其推論，并通過實踐掌握運用余弦定理解決三角形邊角邊、邊邊邊、邊邊角的問題（三）情感、態(tài)度與價值觀1.培養(yǎng)學生在方程思想指導下處解決三角形的一些問題；2. 通過三角函數(shù)、向量數(shù)量積、余弦定理等多處知識間聯(lián)系來理解事物之間的普遍聯(lián)系性.五、教學重點與難點教學重點是余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及定理的應用；教學難點是用向量的數(shù)量積證明余弦定理. 六、教學過程一、創(chuàng)設情景，揭示課題1.三角形全等的判斷方法有哪些？2.向量加法的三角形法則是什么?3.正弦定理的內容是什么？可解決哪幾類三角形的問題？【設計意圖】回顧已學相關知識，防止遺忘 4.在ABC中a8，b5，c60，你能求c邊長嗎？引導學生從平面幾何、坐標系等方面進行估計判斷【設計意圖】學生體會到正弦定理的不足，從而激發(fā)研究興趣，探索新知師：你能夠有更好的具體的量化方法嗎？教師引導學生從平面幾何、向量知識、平面直角坐標系、三角函數(shù)等多方面進行分析，選擇簡潔的處理方法，引發(fā)學生的積極討論生1：過點B作BDAC交AC與D點，通過BCD可以求出線段BD、CD的長度，進而求出AD的值，再借助ABD求出線段AB的值，即c邊長；生：建立平面直角坐標系，設點(0,0),點A(5,0),通過三角函數(shù)可求出點B(4,),借助兩點距離公式可求出師:兩位同學的方法都很好,大家回想一下,我們在學習向量的時候研究過向量加法的三角形法則,那么這個問題能否從向量的角度來思考呢? 【注】學生通過討論,終于有個學生說出自己的解法生3: 即 【評】通過具體問題的解題探究，為一般性問題的探究做鋪墊，使學生在探究新知是不會感到無從下手，通過類比容易找到解決一般性問題的思路，培養(yǎng)學生從特殊演繹到一般的思考意識二、研探新知 師：通過這一具體問題的求解，同學們討論討論，我們能否借助這三位同學的方法解決任意三角形中邊角邊的問題生：如果用第一種方法需要對是銳角、直角、鈍角進行分類討論，比較麻煩，應用第二、三種方法則不必討論，應用第二種方法可做如下證明：建立直角坐標系，則所以同理可證，生5：應用向量的方法證明如下： 如圖，在中，、的長分別為、，+， 即 ；同理可證：， 【設計意圖】在利用數(shù)量積計算時，兩個向量的夾角可能會找錯，從而得出錯誤的結果，教師要適時引導，讓學生從錯誤中發(fā)現(xiàn)問題，鞏固向量的有關知識；同時，讓學生理解數(shù)學中的轉化思想：化未知為已知于是得到以下定理余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即 師：這幾個式子有怎樣的特點？可以什么樣的問題？學生：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。可以解決“邊角邊”問題【設計意圖】知識歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，加強識記，同時首尾呼應師：從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？生：上面的式子可變形為：，可以由三邊求出一角，解決“邊邊邊”問題【設計意圖】加強學生對定理的理解，熟悉其應用范圍：已知三邊，求三個角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角師：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？生：若中，C=，則，這時，由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.三、質疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1在中，（1）已知，求；（2）已知，求例2 在中，最大角為最小角的2倍，且三邊、為三個連續(xù)整數(shù)，求、的值【設計意圖】應用數(shù)學知識求解問題,訓練計算能力，同時，鞏固好正弦定理，余弦定理知識，發(fā)現(xiàn)兩種知識方法在解三角形中的綜合應用例 以5，12，13為各邊長的三角形是_三角形以4，12，13為各邊長的三角形是_三角形以12，13，14為各邊長的三角形是_三角形【設計意圖】用準確的量化關系去解決問題，用邊長去判斷三角形形狀，勾股定理是余弦定理特例例在ABC中， 求邊 分析：（1）用正弦定理分析引導（2）應用余弦定理構造關于的方程求解。（3）比較兩種方法的利弊能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性【設計意圖】繼續(xù)深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解問題優(yōu)越于正弦定理并讓學生初步發(fā)現(xiàn)“邊邊角”問題解法，為下節(jié)學習輔墊四、鞏固深化，反饋矯正 . 在中，則_. 在中，則角的度數(shù)是_.已知銳角三角形的邊長分別是、，則的取值范圍是_.用余弦定理證明：在中，當為銳角時，；當為鈍角時，【設計意圖】用練習去鞏固所學知識，使學生逐步形成良好的知識結構，加強數(shù)學知識應用能力的培養(yǎng)五、歸納整理，整體認識1、正弦、余弦定理各能解決哪些類型問題？各有什么利與弊？2、從本課中你學到了哪些知識和方法？ 【設計意圖】通過知識回顧，使學生各自體會收獲六、板書設計（略）七、教學反思本節(jié)課的教學是在學生學習了三角函數(shù)、平面向量、正弦定理等基礎上而設置的教學內容，從而我采取了從復習以前相關內容入手，從解三角形的問題出發(fā)，提出問題，引發(fā)學生思考，激發(fā)學生的求知欲，調動學生的積極性，在對舊知識應用中提煉出新知識，從而新舊知識融為一體，使學生建立完整的知識系統(tǒng)教學中，引導學生從已學知識進行多角度分析問題，從而培養(yǎng)了學生思考問題的靈活性，在得到充分的討論后，找出問題解決的辦法，揭示了蘊含在處理問題中的數(shù)學思想方法，不僅知其然，而且知其所以然在引導學生推導出公式，通過類比的方法引導學生推到出三個等式和三個推論，培養(yǎng)學生善于觀察，歸納，發(fā)現(xiàn)特點，總結規(guī)律的好習慣通過和勾股定理的比較，得出勾股定理是余弦定理的特殊情況，使學生加深了對余弦定理的理解，思維問題更加深入，提高了思維能力常言說：要學以至用余弦定理的應用是本節(jié)教學的重要一環(huán)所以，例題的選擇和講解是學習本節(jié)課的重要一環(huán)例1、例2是余弦定理的簡單應用，目的在于鞏固余弦定理知識，加深對定理的理解；例是余弦定理的變形應用，通過本題的訓練，使學生更靈活