2013北師大版選修1-2第三章　推理與證明綜合檢測題解析

綜合檢測(三)第三章推理與證明(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1下列推理是合情推理的是()由圓的性質類比出球的性質；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和是180，推出三角形的內角和是180；ab，bc，則ac；X k B 1 . c o m三角形內角和是180，四邊形的內角和是360，五邊形的內角和是540，由此得凸n邊形的內角和是(n2)180ABC D【解析】是類比推理，與是歸納推理，是演繹推理【答案】C2有一段演繹推理是這樣的：有些有理數是真分數，整數是有理數，則整數是真分數結論顯然是錯誤的，是因為()A大前提錯誤 B小前提錯誤C推理形式錯誤 D非以上錯誤【解析】“整數”不是這里的“自然有理數”，故推理形式錯誤【答案】C3數列1,3,6,10，的一個通項公式是()Aann2n1 BanCan Dn21【解析】由1，3，6，10，可歸納出an.【答案】C4下列表述正確的是()歸納推理是由部分到整體的推理；歸納推理是由一般到一般的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理；類比推理是由特殊到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理A BC D【解析】根據歸納推理、類比推理、演繹推理的特征判斷【答案】D5在十進制中2 0044100010101022103，那么在五進制中數碼2 004折合成十進制為()A29 B254C602 D2 004【解析】2 004(5)450051052253254.【答案】B6計算機中常用的十六進制是逢16進1的計數制，采用數字09和字母AF共16個計數符號，這些符號與十進制的數的對應關系如下表：十六進制01234567十進制01234567十六進制89ABCDEF十進制89101112131415例如，用十六進制表示ED1B，則AB等于()A6E B72C5F DB0【解析】AB1011110616146E.【答案】A7設f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，則f2 013(x)()Asin x Bsin xCcos x Dcos x【解析】f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，又2 01350341，則f2 013(x)cos x.【答案】C8用反證法證明命題“若整系數一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理數根，那么a，b，c中至少有一個偶數時”下列條件假設中正確的是()A假設a，b，c都是偶數B假設a，b，c都不是偶數C假設a，b，c中至多有一個偶數D假設a，b，c中至多有兩個偶數【解析】“至少有一個”的否定是“一個也沒有”【答案】B9平面上有n條直線，其中任意的兩條不平行，任意三條不共點f(k)表示nk時平面被分成的區(qū)域數，則f(k1)f(k1)()A2k B2k1Ck1 Dk2【解析】由f(k1)f(k1)k(k1)，得f(k1)f(k1)2k1.【答案】B10有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或是丙獲獎”乙說：“甲、丙都未獲獎”丙說：“我獲獎了”丁說：“是乙獲獎了”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎歌手是()A甲 B乙C丙 D丁【解析】甲乙丙丁甲獲獎乙獲獎丙獲獎丁獲獎由上表可知：獲獎歌手是丙【答案】C二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在題中的橫線上)11觀察下列的圖形中小正方形的個數，則第6個圖中有_個小正方形圖1【解析】第6個圖中小正方形個數為33456728.【答案】2812若P0(x0，y0)在橢圓1外，則過P0作橢圓的兩條切線的切點為P1，P2，則直線P1P2(稱為切點弦P1P2)的方程是1.那么對于雙曲線則有如下命題：若P0(x0，y0)在雙曲線1(a0，b0)外，則過P0作雙曲線的兩條切線的切點為P1，P2，則切點弦P1P2的直線方程是_【解析】 由類比可得，直線P1P2的方程是1.【答案】113如abab，則a，b應滿足的條件是_【解析】ababa()b()0()2()0()20a0，b0且ab.【答案】a0，b0且ab14已知cos ，cos cos ，cos cos cos ，根據以上等式，可猜想出的一般結論是_【解析】由歸納推理得，cos cos cos cos .【答案】cos cos cos cos 15半徑為r的圓的面積S(r)r2，周長C(r)2r，若將r看作(0，)上的變量，則(r2)2r.式可用語言敘述為：圓的周長函數是圓的面積函數的導函數，對于半徑為R的球，若將R看作(0，)上的變量，請你寫出類似于的式子：_；式可用語言敘述為_【解析】將圓類比球可得：(r3)4r2，可用語言敘述為球的表面積函數是球的體積函數的導函數【答案】(r3)4r2球的表面積函數是球的體積函數的導函數三、解答題(本大題共6小題，共75分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16(本小題滿分12分)設x1，y1，證明xyxy.【證明】由于x1，y1，所以xyxyxy(xy)1yx(xy)2.將上式中的右式減左式，得yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)因為x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0.從而所要證明的不等式成立17(本小題滿分12分)已知a0，求證： a2.【證明】要證 a2，只需證 2a.因為a0，只需證( 2)2(a)2，即a244a222(a)2，從而只需證2(a)，只需證4(a2)2(a22)，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立18(本小題滿分12分)證明：，不能為同一等差數列的三項【證明】假設，為同一等差數列的三項，則存在整數m，n滿足md，nd.w W w . X k b 1.c O mnm得：nm(nm)，兩邊平方得：3n25m22mn2(nm)2.左邊為無理數，右邊為有理數，且有理數無理數，所以，假設不正確即，不能為同一等差數列的三項19(本小題滿分13分)自然狀態(tài)下魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響，用xn表示某魚群在第n年年初的總量，nN，且x10.不考慮其他因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與x成正比，這些比例系數依次為正常數a，b，c.(1)求xn1與xn的關系式；(2)猜測：當且僅當x1，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？(不要求證明)【解】(1)從第n年年初到第n1年年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為cx，因此xn1xnaxnbxncx，nN*，(*)即xn1xn(ab1cxn)，nN*.(*)(2)若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1，nN*，從而由(*)式得xn(abcxn)恒等于0，nN*，所以abcx10.即x1.因為x10，所以ab.猜測：當且僅當ab，且x1時，每年年初魚群的總量保持不變20(本小題滿分13分)已知，為銳角，且2.求證：.【證明】設f(x)，x(0，)，顯然f(x)為單調減函數，為銳角，0，0.f()2，f()2，即f()f()，又f(x)在x(0，)上單調遞減，.21(本小題滿分13分)(2012福建高考)某同學在一次研究性學習中發(fā)現，以下五個式子的值都等于同一個常數：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；(2)根據(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現推廣為三角恒等式，并證明你的結論【解】(1)選擇式，計算如下：sin215cos215