浙江高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題一三角函數(shù)與平面向量第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案.docx_第1頁
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文檔簡介

第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)高考定位三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容,主要從以下兩個(gè)方面進(jìn)行考查:1.三角函數(shù)的圖象,主要涉及圖象變換問題以及由圖象確定解析式問題,主要以選擇題、填空題的形式考查;2.利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域、單調(diào)區(qū)間等,主要以解答題的形式考查.真 題 感 悟 1.(2016浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)sin2xbsin xc,則f(x)的最小正周期()A.與b有關(guān),且與c有關(guān) B.與b有關(guān),但與c無關(guān)C.與b無關(guān),且與c無關(guān) D.與b無關(guān),但與c有關(guān)解析因?yàn)閒(x)sin2xbsin xcbsin xc,其中當(dāng)b0時(shí),f(x)c,f(x)的周期為;b0時(shí),f(x)的周期為2,即f(x)的周期與b有關(guān)但與c無關(guān),故選B.答案B2.(2017全國卷)函數(shù)f(x)sincos的最大值為()A. B.1 C. D.解析cos cossin,則f(x)sinsinsin,函數(shù)的最大值為.答案A3.(2018天津卷)將函數(shù)ysin的圖象向右平移個(gè)單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)()A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上單調(diào)遞減解析把函數(shù)ysin的圖象向右平移個(gè)單位長度得函數(shù)g(x)sinsin 2x的圖象,由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ),令k1,得x,即函數(shù)g(x)sin 2x的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為,故選A.答案A4.(2016浙江卷)已知2cos2xsin 2xAsin(x)b(A0),則A_,b_.解析2cos2xsin 2xcos 2x1sin 2x1sin1Asin(x)b(A0),A,b1.答案1考 點(diǎn) 整 合1.常見三種三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)(下表中kZ)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象遞增區(qū)間2k,2k遞減區(qū)間2k,2k奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱中心(k,0)對稱軸xkxk周期性222.三角函數(shù)的常用結(jié)論(1)yAsin(x),當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù);當(dāng)k(kZ)時(shí)為偶函數(shù);對稱軸方程可由xk(kZ)求得.(2)yAcos(x),當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù);當(dāng)k(kZ)時(shí)為偶函數(shù);對稱軸方程可由xk(kZ)求得.(3)yAtan(x),當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù).3.三角函數(shù)的兩種常見變換熱點(diǎn)一三角函數(shù)的圖象【例1】 函數(shù)f(x)Asin(x)(A,為常數(shù),A0,0,0)的圖象如圖所示,則f 的值為_.解析根據(jù)圖象可知,A2,所以周期T,2.又函數(shù)過點(diǎn),所以有sin1,而0,所以,則f(x)2sin,因此f 2sin1.答案1探究提高已知圖象求函數(shù)yAsin(A0,0)的解析式時(shí),常用的方法是待定系數(shù)法.由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A;由函數(shù)的周期確定;確定常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解,其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口,可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置.【訓(xùn)練1】 (2018寧波適應(yīng)考試)已知函數(shù)f(x)2sinsin2sin(x)cos(x).(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間和f(x)的圖象的對稱軸;(2)先將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)yg(x)的圖象,求h(x)g(x)2g(x)1在上的值域.解(1)f(x)2cossinsin 2xsinsin 2xcos 2xsin 2x2sin.由2k2x2k(kZ),得kxk(kZ).所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ).由2xk(kZ),得x(kZ),故f(x)的圖象的對稱軸為x(kZ).(2)由(1)知f(x)2sin,將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)y2sin2sin 2x的圖象,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)2sin x的圖象.所以h(x)g(x)2g(x)14sin2x2sin x14(sin x)2.當(dāng)x時(shí),sin x.故函數(shù)h(x)在上的值域?yàn)?熱點(diǎn)二三角函數(shù)的性質(zhì)考法1三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【例21】 已知函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)為奇函數(shù),且函數(shù)yf(x)的圖象的兩相鄰對稱軸之間的距離為.(1)求f的值;(2)將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位后,得到函數(shù)yg(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解(1)f(x)sin(x)cos(x)22sin.因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(0)2sin0,又0|,可得,所以f(x)2sin x,由題意得2,所以2.故f(x)2sin 2x.因此f2sin .(2)將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后,得到f 的圖象,所以g(x)f2sin2sin.當(dāng)2k2x2k(kZ),即kxk(kZ)時(shí),g(x)單調(diào)遞增,因此g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).探究提高對于函數(shù)yAsin(x)(A0,0)單調(diào)區(qū)間的求解,其基本方法是將x作為一個(gè)整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間),求出的區(qū)間即為yAsin(x)的增區(qū)間(或減區(qū)間),但是當(dāng)A0,0時(shí),需先利用誘導(dǎo)公式變形為yAsin(x),則yAsin(x)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間,減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間.考法2由三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)【例22】 (1)(2018全國卷)若f(x)cos xsin x在a,a是減函數(shù),則a的最大值是()A. B. C. D.(2)已知0,在函數(shù)y2sin x與y2cos x 的圖象的交點(diǎn)中,距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為2,則_.解析(1)法一f(x)cos xsin xcos,且函數(shù)ycos x在區(qū)間0,上單調(diào)遞減,則由0x,得x.因?yàn)閒(x)在a,a上是減函數(shù),所以解得a,所以0a,所以a的最大值是,故選A.法二因?yàn)閒(x)cos xsin x,所以f(x)sin xcos x,則由題意,知f(x)sin xcos x0在a,a上恒成立,即sin xcos x0,即sin0在a,a上恒成立,結(jié)合函數(shù)ysin的圖象可知有解得a,所以00,x (kZ).設(shè)距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)分別為(x1,y1),(x2,y2),不妨取x1,x2,則|x2x1|.又結(jié)合圖形知|y2y1|2,且(x1,y1)與(x2,y2)間的距離為2,(x2x1)2(y2y1)2(2)2,(2)212,.答案(1)A(2)探究提高此類題屬于三角函數(shù)性質(zhì)的逆用,解題的關(guān)鍵是借助于三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出含參數(shù)的不等式,再根據(jù)參數(shù)范圍求解.或者,也可以取選項(xiàng)中的特殊值驗(yàn)證.考法3三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例23】 (2018北京海淀區(qū)期末)設(shè)函數(shù)f(x)sin2x2sin xcos xcos2x(xR)的圖象關(guān)于直線x對稱,其中,為常數(shù),且.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)若yf(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn),求函數(shù)f(x)在x上的值域.解(1)因?yàn)閒(x)sin2x2sin xcos xcos2xcos 2xsin 2x2sin,由直線x是yf(x)圖象的一條對稱軸,可得sin1,所以2k(kZ),即(kZ).又,kZ,所以k1,故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由(1)知f(x)2sin,由yf(x)的圖象過點(diǎn),得f 0,即2sin2sin,即.故f(x)2sin.x,x,sin,函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,2.探究提高求三角函數(shù)最值的兩條思路:(1)將問題化為yAsin(x)B的形式,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)或圖象求解;(2)將問題化為關(guān)于sin x或cos x的二次函數(shù)的形式,借助二次函數(shù)的性質(zhì)或圖象求解.訓(xùn)練2(2017浙江卷)已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR).(1)求f 的值;(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.解(1)f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin,則f 2sin2.(2)f(x)的最小正周期為.由正弦函數(shù)的性質(zhì),令2k2x2k,kZ,得kxk,kZ.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,kZ.1.已知函數(shù)yAsin(x)B(A0,0)的圖象求解析式(1)A,B.(2)由函數(shù)的周期T求,.(3)利用“五點(diǎn)法”中相對應(yīng)的特殊點(diǎn)求.2.運(yùn)用整體換元法求解單調(diào)區(qū)間與對稱性類比ysin x的性質(zhì),只需將yAsin(x)中的“x”看成ysin x中的“x”,采用整體代入求解.(1)令xk(kZ),可求得對稱軸方程;(2)令xk(kZ),可求得對稱中心的橫坐標(biāo);(3)將x看作整體,可求得yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間,注意的符號.3.函數(shù)yAsin(x)B的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路第一步:先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成yAsin(x)B(一角一函數(shù))的形式;第二步:把“x”視為一個(gè)整體,借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求yAsin(x)B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題一、選擇題1.(2018全國卷)函數(shù)f(x)的最小正周期為()A. B. C. D.2解析f(x)sin xcos xsin 2x,所以f(x)的最小正周期T.故選C.答案C2.已知曲線C1:ycos x,C2:ysin,則下面結(jié)論正確的是()A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度,得到曲線C2B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度,得到曲線C2C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度,得到曲線C2D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度,得到曲線C2解析易知C1:ycos xsin,把曲線C1上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)ysin的圖象,再把所得函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度,可得函數(shù)ysinsin的圖象,即曲線C2,因此D項(xiàng)正確.答案D3.(2018金華一中調(diào)研)已知f(x)asin xbcos x,若f f ,則直線axbyc0的傾斜角為()A. B.C. D.解析在ff中,令x.得f(0)f,即ba,直線axbyc0的斜率k1.因此直線的傾斜角為.答案D4.(2018全國卷)已知函數(shù)f(x)2cos2xsin2x2,則()A.f(x)的最小正周期為,最大值為3B.f(x)的最小正周期為,最大值為4C.f(x)的最小正周期為2,最大值為3D.f(x)的最小正周期為2,最大值為4解析易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x131cos 2x,則f(x)的最小正周期為,當(dāng)xk(kZ)時(shí),f(x)取得最大值,最大值為4.故選B.答案B5.(2018北京卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)cos(0).若f(x)f對任意的實(shí)數(shù)x都成立,則的最小值為()A. B. C. D.解析由于對任意的實(shí)數(shù)都有f(x)f成立,故當(dāng)x時(shí),函數(shù)f(x)有最大值,故f1,2k(kZ),8k(kZ),又0,min.答案A6.設(shè)函數(shù)f(x)2sin(x),xR,其中0,|.若f2,f0,且f(x)的最小正周期大于2,則()A., B.,C., D.,解析f2,f0,且f(x)的最小正周期大于2,f(x)的最小正周期為43,f(x)2sin.2sin2,得2k,kZ,又|,取k0,得.答案A7.若將函數(shù)y2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長度,則平移后圖象的對稱軸為()A.x(kZ) B.x(kZ)C.x(kZ) D.x(kZ)解析由題意將函數(shù)y2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的解析式為y2sin,由2xk(kZ)得函數(shù)的對稱軸為x(kZ).答案B二、填空題8.(2018麗水調(diào)研)已知函數(shù)f(x)tan,則f(x)的最小正周期為_,f _.解析函數(shù)f(x)tan的最小正周期為T,ftan2.答案29.(2018江蘇卷)已知函數(shù)ysin(2x)的圖象關(guān)于直線x對稱,則的值是_.解析由函數(shù)ysin(2x)的圖象關(guān)于直線x對稱,得sin1,因?yàn)?,所以,則,.答案10.(2018全國卷)函數(shù)f(x)cos在0,的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_.解析由題意知,cos0,所以3xk,kZ,所以x,kZ,當(dāng)k0時(shí),x;當(dāng)k1時(shí),x;當(dāng)k2時(shí),x,均滿足題意,所以函數(shù)f(x)在0,的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.答案311.函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示,若x1,x2,且f(x1)f(x2),則f(x)_,f(x1x2)_.解析觀察圖象可知,A1,T,則2.又點(diǎn)是“五點(diǎn)法”中的始點(diǎn),20,則f(x)sin.函數(shù)圖象的一條對稱軸為x.又x1,x2,且f(x1)f(x2),所以,則x1x2,因此f(x1x2)sin.答案sin三、解答題12.(2018湖州模擬)已知函數(shù)f(x)4sin3xcos x2sin xcos xcos 4x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.解f(x)2sin xcos xcos 4xsin 2xcos 2xcos 4xsin 4xcos 4xsin.(1)函數(shù)f(x)的最小正周期T.令2k4x2k,kZ,得x,kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,kZ.(2)因?yàn)?x,所以4x.此時(shí)sin1,所以sin,即f(x).所以f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為,.13.(2018北京卷)已知函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為,求m的最小值.解(1)f(x)cos 2xsin 2xsin.所

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