浙江高考數學復習專題一三角函數與平面向量第1講三角函數的圖象與性質學案.docx

第1講三角函數的圖象與性質高考定位三角函數的圖象與性質是高考考查的重點和熱點內容，主要從以下兩個方面進行考查：1.三角函數的圖象，主要涉及圖象變換問題以及由圖象確定解析式問題，主要以選擇題、填空題的形式考查；2.利用三角函數的性質求解三角函數的值、參數、最值、值域、單調區(qū)間等，主要以解答題的形式考查.真 題 感 悟 1.(2016浙江卷)設函數f(x)sin2xbsin xc，則f(x)的最小正周期()A.與b有關，且與c有關 B.與b有關，但與c無關C.與b無關，且與c無關 D.與b無關，但與c有關解析因為f(x)sin2xbsin xcbsin xc，其中當b0時，f(x)c，f(x)的周期為；b0時，f(x)的周期為2，即f(x)的周期與b有關但與c無關，故選B.答案B2.(2017全國卷)函數f(x)sincos的最大值為()A. B.1 C. D.解析cos cossin，則f(x)sinsinsin，函數的最大值為.答案A3.(2018天津卷)將函數ysin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數()A.在區(qū)間上單調遞增B.在區(qū)間上單調遞減C.在區(qū)間上單調遞增D.在區(qū)間上單調遞減解析把函數ysin的圖象向右平移個單位長度得函數g(x)sinsin 2x的圖象，由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)，令k1，得x，即函數g(x)sin 2x的一個單調遞增區(qū)間為，故選A.答案A4.(2016浙江卷)已知2cos2xsin 2xAsin(x)b(A0)，則A_，b_.解析2cos2xsin 2xcos 2x1sin 2x1sin1Asin(x)b(A0)，A，b1.答案1考 點 整 合1.常見三種三角函數的圖象、性質(下表中kZ)函數ysin xycos xytan x圖象遞增區(qū)間2k，2k遞減區(qū)間2k，2k奇偶性奇函數偶函數奇函數對稱中心(k，0)對稱軸xkxk周期性222.三角函數的常用結論(1)yAsin(x)，當k(kZ)時為奇函數；當k(kZ)時為偶函數；對稱軸方程可由xk(kZ)求得.(2)yAcos(x)，當k(kZ)時為奇函數；當k(kZ)時為偶函數；對稱軸方程可由xk(kZ)求得.(3)yAtan(x)，當k(kZ)時為奇函數.3.三角函數的兩種常見變換熱點一三角函數的圖象【例1】 函數f(x)Asin(x)(A，為常數，A0，0，0)的圖象如圖所示，則f 的值為_.解析根據圖象可知，A2，所以周期T，2.又函數過點，所以有sin1，而0，所以，則f(x)2sin，因此f 2sin1.答案1探究提高已知圖象求函數yAsin(A0，0)的解析式時，常用的方法是待定系數法.由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函數的周期確定；確定常根據“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置.【訓練1】 (2018寧波適應考試)已知函數f(x)2sinsin2sin(x)cos(x).(1)求f(x)的單調遞減區(qū)間和f(x)的圖象的對稱軸；(2)先將函數yf(x)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數yg(x)的圖象，求h(x)g(x)2g(x)1在上的值域.解(1)f(x)2cossinsin 2xsinsin 2xcos 2xsin 2x2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ).所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(kZ).由2xk(kZ)，得x(kZ)，故f(x)的圖象的對稱軸為x(kZ).(2)由(1)知f(x)2sin，將函數yf(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數y2sin2sin 2x的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數g(x)2sin x的圖象.所以h(x)g(x)2g(x)14sin2x2sin x14(sin x)2.當x時，sin x.故函數h(x)在上的值域為.熱點二三角函數的性質考法1三角函數性質的應用【例21】 已知函數f(x)sin(x)cos(x)為奇函數，且函數yf(x)的圖象的兩相鄰對稱軸之間的距離為.(1)求f的值；(2)將函數yf(x)的圖象向右平移個單位后，得到函數yg(x)的圖象，求函數g(x)的單調遞增區(qū)間.解(1)f(x)sin(x)cos(x)22sin.因為f(x)為奇函數，所以f(0)2sin0，又0|，可得，所以f(x)2sin x，由題意得2，所以2.故f(x)2sin 2x.因此f2sin .(2)將f(x)的圖象向右平移個單位后，得到f 的圖象，所以g(x)f2sin2sin.當2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)時，g(x)單調遞增，因此g(x)的單調遞增區(qū)間為(kZ).探究提高對于函數yAsin(x)(A0，0)單調區(qū)間的求解，其基本方法是將x作為一個整體代入正弦函數增區(qū)間(或減區(qū)間)，求出的區(qū)間即為yAsin(x)的增區(qū)間(或減區(qū)間)，但是當A0，0時，需先利用誘導公式變形為yAsin(x)，則yAsin(x)的增區(qū)間即為原函數的減區(qū)間，減區(qū)間即為原函數的增區(qū)間.考法2由三角函數的性質求參數【例22】 (1)(2018全國卷)若f(x)cos xsin x在a，a是減函數，則a的最大值是()A. B. C. D.(2)已知0，在函數y2sin x與y2cos x 的圖象的交點中，距離最短的兩個交點的距離為2，則_.解析(1)法一f(x)cos xsin xcos，且函數ycos x在區(qū)間0，上單調遞減，則由0x，得x.因為f(x)在a，a上是減函數，所以解得a，所以0a，所以a的最大值是，故選A.法二因為f(x)cos xsin x，所以f(x)sin xcos x，則由題意，知f(x)sin xcos x0在a，a上恒成立，即sin xcos x0，即sin0在a，a上恒成立，結合函數ysin的圖象可知有解得a，所以00，x (kZ).設距離最短的兩個交點分別為(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1，x2，則|x2x1|.又結合圖形知|y2y1|2，且(x1，y1)與(x2，y2)間的距離為2，(x2x1)2(y2y1)2(2)2，(2)212，.答案(1)A(2)探究提高此類題屬于三角函數性質的逆用，解題的關鍵是借助于三角函數的圖象與性質列出含參數的不等式，再根據參數范圍求解.或者，也可以取選項中的特殊值驗證.考法3三角函數圖象與性質的綜合應用【例23】 (2018北京海淀區(qū)期末)設函數f(x)sin2x2sin xcos xcos2x(xR)的圖象關于直線x對稱，其中，為常數，且.(1)求函數f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的圖象經過點，求函數f(x)在x上的值域.解(1)因為f(x)sin2x2sin xcos xcos2xcos 2xsin 2x2sin，由直線x是yf(x)圖象的一條對稱軸，可得sin1，所以2k(kZ)，即(kZ).又，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由(1)知f(x)2sin，由yf(x)的圖象過點，得f 0，即2sin2sin，即.故f(x)2sin.x，x，sin，函數f(x)的值域為1，2.探究提高求三角函數最值的兩條思路：(1)將問題化為yAsin(x)B的形式，結合三角函數的性質或圖象求解；(2)將問題化為關于sin x或cos x的二次函數的形式，借助二次函數的性質或圖象求解.訓練2(2017浙江卷)已知函數f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR).(1)求f 的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間.解(1)f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin，則f 2sin2.(2)f(x)的最小正周期為.由正弦函數的性質，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為，kZ.1.已知函數yAsin(x)B(A0，0)的圖象求解析式(1)A，B.(2)由函數的周期T求，.(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.2.運用整體換元法求解單調區(qū)間與對稱性類比ysin x的性質，只需將yAsin(x)中的“x”看成ysin x中的“x”，采用整體代入求解.(1)令xk(kZ)，可求得對稱軸方程；(2)令xk(kZ)，可求得對稱中心的橫坐標；(3)將x看作整體，可求得yAsin(x)的單調區(qū)間，注意的符號.3.函數yAsin(x)B的性質及應用的求解思路第一步：先借助三角恒等變換及相應三角函數公式把待求函數化成yAsin(x)B(一角一函數)的形式；第二步：把“x”視為一個整體，借助復合函數性質求yAsin(x)B的單調性及奇偶性、最值、對稱性等問題一、選擇題1.(2018全國卷)函數f(x)的最小正周期為()A. B. C. D.2解析f(x)sin xcos xsin 2x，所以f(x)的最小正周期T.故選C.答案C2.已知曲線C1：ycos x，C2：ysin，則下面結論正確的是()A.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2D.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2解析易知C1：ycos xsin，把曲線C1上的各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到函數ysin的圖象，再把所得函數的圖象向左平移個單位長度，可得函數ysinsin的圖象，即曲線C2，因此D項正確.答案D3.(2018金華一中調研)已知f(x)asin xbcos x，若f f ，則直線axbyc0的傾斜角為()A. B.C. D.解析在ff中，令x.得f(0)f，即ba，直線axbyc0的斜率k1.因此直線的傾斜角為.答案D4.(2018全國卷)已知函數f(x)2cos2xsin2x2，則()A.f(x)的最小正周期為，最大值為3B.f(x)的最小正周期為，最大值為4C.f(x)的最小正周期為2，最大值為3D.f(x)的最小正周期為2，最大值為4解析易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x131cos 2x，則f(x)的最小正周期為，當xk(kZ)時，f(x)取得最大值，最大值為4.故選B.答案B5.(2018北京卷改編)設函數f(x)cos(0).若f(x)f對任意的實數x都成立，則的最小值為()A. B. C. D.解析由于對任意的實數都有f(x)f成立，故當x時，函數f(x)有最大值，故f1，2k(kZ)，8k(kZ)，又0，min.答案A6.設函數f(x)2sin(x)，xR，其中0，|.若f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，則()A.， B.，C.， D.，解析f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，f(x)的最小正周期為43，f(x)2sin.2sin2，得2k，kZ，又|，取k0，得.答案A7.若將函數y2sin 2x的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為()A.x(kZ) B.x(kZ)C.x(kZ) D.x(kZ)解析由題意將函數y2sin 2x的圖象向左平移個單位長度后得到函數的解析式為y2sin，由2xk(kZ)得函數的對稱軸為x(kZ).答案B二、填空題8.(2018麗水調研)已知函數f(x)tan，則f(x)的最小正周期為_，f _.解析函數f(x)tan的最小正周期為T，ftan2.答案29.(2018江蘇卷)已知函數ysin(2x)的圖象關于直線x對稱，則的值是_.解析由函數ysin(2x)的圖象關于直線x對稱，得sin1，因為，所以，則，.答案10.(2018全國卷)函數f(x)cos在0，的零點個數為_.解析由題意知，cos0，所以3xk，kZ，所以x，kZ，當k0時，x；當k1時，x；當k2時，x，均滿足題意，所以函數f(x)在0，的零點個數為3.答案311.函數f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，若x1，x2，且f(x1)f(x2)，則f(x)_，f(x1x2)_.解析觀察圖象可知，A1，T，則2.又點是“五點法”中的始點，20，則f(x)sin.函數圖象的一條對稱軸為x.又x1，x2，且f(x1)f(x2)，所以，則x1x2，因此f(x1x2)sin.答案sin三、解答題12.(2018湖州模擬)已知函數f(x)4sin3xcos x2sin xcos xcos 4x.(1)求函數f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.解f(x)2sin xcos xcos 4xsin 2xcos 2xcos 4xsin 4xcos 4xsin.(1)函數f(x)的最小正周期T.令2k4x2k，kZ，得x，kZ.所以f(x)的單調遞增區(qū)間為，kZ.(2)因為0x，所以4x.此時sin1，所以sin，即f(x).所以f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，.13.(2018北京卷)已知函數f(x)sin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為，求m的最小值.解(1)f(x)cos 2xsin 2xsin.所