四個重要定理(梅涅勞斯-塞瓦-托勒密-西姆松).doc

精品文檔平面幾何中的四個重要定理梅涅勞斯(Menelaus)定理（梅氏線）ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點P、Q、R，則P、Q、R共線的充要條件是 。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦點）ABC的三邊BC、CA、AB上有點P、Q、R，則AP、BQ、CR共點的充要條件是。托勒密(Ptolemy)定理四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。西姆松(Simson)定理（西姆松線）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。例題：1、設AD是ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證：?！痉治觥緾EF截ABD（梅氏定理）【評注】也可以添加輔助線證明：過A、B、D之一作CF的平行線。2、過ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。求證：。【分析】連結并延長AG交BC于M，則M為BC的中點。DEG截ABM（梅氏定理）DGF截ACM（梅氏定理）=1【評注】梅氏定理3、D、E、F分別在ABC的BC、CA、AB邊上，AD、BE、CF交成LMN。求SLMN?！痉治觥俊驹u注】梅氏定理4、以ABC各邊為底邊向外作相似的等腰BCE、CAF、ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點?！痉治觥俊驹u注】塞瓦定理5、已知ABC中，B=2C。求證：AC2=AB2+ABBC?！痉治觥窟^A作BC的平行線交ABC的外接圓于D，連結BD。則CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。【評注】托勒密定理6、已知正七邊形A1A2A3A4A5A6A7。求證：。（第21屆全蘇數(shù)學競賽）【分析】【評注】托勒密定理1 ABC的BC邊上的高AD的延長線交外接圓于P，作PEAB于E，延長ED交AC延長線于F。求證：BCEF=BFCE+BECF。【分析】【評注】西姆松定理（西姆松線）2 正六邊形ABCDEF的對角線AC、CE分別被內(nèi)分點M、N分成的比為AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共線。求k。（23-IMO-5）【分析】【評注】面積法3 O為ABC內(nèi)一點，分別以da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距離，以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、C的距離。求證：（1）aRabdb+cdc; (2) aRacdb+bdc;(3) Ra+Rb+Rc2(da+db+dc)?！痉治觥俊驹u注】面積法4 ABC中，H、G、O分別為垂心、重心、外心。求證：H、G、O三點共線，且HG=2GO。（歐拉線）【分析】【評注】同一法5 ABC中，AB=AC，ADBC于D，BM、BN三等分ABC，與AD相交于M、N，延長CM交AB于E。求證：MB/NE?！痉治觥俊驹u注】對稱變換6 G是ABC的重心，以AG為弦作圓切BG于G，延長CG交圓于D。求證：AG2=GCGD?！痉治觥俊驹u注】平移變換7 C是直徑AB=2的O上一點，P在ABC內(nèi)，若PA+PB+PC的最小值是，求此時ABC的面積S?！痉治觥俊驹u注】旋轉(zhuǎn)變換費馬點：已知O是ABC內(nèi)一點，AOB=BOC=COA=120；P是ABC內(nèi)任一點，求證：PA+PB+PCOA+OB+OC。（O為費馬點）【分析】將CC，OO， PP，連結OO、PP。則B OO、B PP都是正三角形。OO=OB，PP =PB。顯然BOCBOC，BPCBPC。由于BOC=BOC=120=180-BOO，A、O、O、C四點共線。AP+PP+PCAC=AO+OO+OC，即PA+PB+PCOA+OB+OC。14 菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別交于E、F、G、H，在弧EF和弧GH上分別作O的切線交AB、BC、CD、DA分別于M、N、P、Q。 求證：MQ/NP。【分析】由ABCD知：要證MQNP，只需證AMQ=CPN，結合A=C知，只需證AMQCPN，AMCN=AQCP。連結AC、BD，其交點為內(nèi)切圓心O。設MN與O切于K，連結OE、OM、OK、ON、OF。記ABO=，MOK=，KON=，則EOM=，F(xiàn)ON=，EOF=2+2=180-2。BON=90-NOF-COF=90-=CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM又OCN=MAO，OCNMAO，于是，AMCN=AOCO同理，AQCP=AOCO。【評注】15O1和O2與ABC的三邊所在直線都相切，E、F、G、H為切點，EG、FH的延長線交于P。求證：PABC?！痉治觥俊驹u注】16如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分BAD。在CD上取一點E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G。求證：GAC=EAC。證明：連結BD交AC于H。對BCD用塞瓦定理，可得因為AH是BAD的角平分線，由角平分線定理，可得，故。過C作AB的平行線交AG的延長線于I，過C作AD的平行線交AE的延長線于J。則，所以，從而CI=CJ。又因為CI/AB，CJ/AD，故ACI=-BAC=-DAC=ACJ。因此，ACIACJ，從而IAC=JAC，即GAC=EAC。17.已知AB=AD，BC=DC，AC與BD交于O，過O的任意兩條直線EF和GH與四邊形ABCD的四邊交于E、F、G、H。連結GF、EH，分別交BD于M、N。求證：OM=ON。（5屆CMO）證明：作EOHEOH，則只需證E、M、H共線，即EH、BO、GF三線共點。記BOG=，GOE=。連結EF交BO于K。只需證=1（Ceva逆定理）。=1注：箏形：一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形。對應于99聯(lián)賽2：EOB=FOB，且EH、GF、BO三線共點。求證：GOB=HOB。事實上，上述條件是充要條件，且M在OB延長線上時結論仍然成立。證明方法為：同一法。蝴蝶定理：P是O的弦AB的中點，過P點引O的兩弦CD、EF，連結DE交AB于M，連結CF交AB于N。求證：MP=NP。【分析】設GH為過P的直徑，F(xiàn)FF，顯然O。又PGH，PF=PF。PFPF，PAPB，F(xiàn)PN=FPM，PF=PF。又FFGH，ANGH，F(xiàn)FAB。FPM+MDF=FPN+EDF=EFF+EDF=180，P、M、D、F四點共圓。PFM=PDE=PFN。PFNPFM，PN=PM?！驹u注