不等式證明的高等數(shù)學(xué)方法研究_范慧歆.pdf

第 25 卷第 4 期鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)Vol 25No 4 2013 年 12 月Journal of Zhengzhou ailway Vocational Technical College Dec 2013 收稿日期 2013 06 20 作者簡(jiǎn)介 范慧歆 1969 男 河南滎陽(yáng)人 鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師 研究方向?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)教學(xué) 聶紅科 1981 男 河南鄭州人 鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院助教 碩士 不等式證明的高等數(shù)學(xué)方法研究 范慧歆 聶紅科 鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 河南 鄭州450121 摘要 不等式是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具 證明不等式對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力有著極其重要的作用 但 是不等式證明的高等數(shù)學(xué)方法研究一直缺乏系統(tǒng)的理論層面的提升 本文分析并總結(jié)了高等數(shù)學(xué)中證明不 等式的幾種主要方法及其適用條件 關(guān)鍵詞 不等式 證明 高等數(shù)學(xué) 方法 0引言 不等式是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具 它滲透在 數(shù)學(xué)的各個(gè)部分 證明不等式是高等數(shù)學(xué)中常見(jiàn)題 型 也是難度較大的題型之一 其基本方法很多 但 是一直缺乏系統(tǒng)的理論層面的提升 1微分學(xué)方法 1 1利用函數(shù)的單調(diào)性 如果證明不等式 f x g x 一般優(yōu)先考慮此 方法 其通常步驟為 1 將不等式變形為 f x g x 0 或f x g x 1 構(gòu)造輔助函數(shù) F x f x g x 或 F x f x g x 2 求出 F x 由 F x 的符號(hào)判斷 F x 在相 應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性 例 1求證 當(dāng) x 0 時(shí) 有 In x x2 槡 1 x x2 槡 1 證明令 F x In x x2 槡 1 x x2 槡 1 則 F 0 0 求出 F x 由 F x 的符號(hào)判斷 F x 在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性 即可證明 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式關(guān)鍵是構(gòu)造輔助 函數(shù) 構(gòu)造的方法有兩種 作差和作商 一般先作 差 若作差不能成立時(shí) 再用作商方法試之 在判斷 輔助函數(shù) F x 的單調(diào)性時(shí) 有時(shí)需借助于 F x 或 更高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)得到 F x 的符號(hào) 1 2利用函數(shù)的凹凸性 當(dāng)證明的不等式的兩邊或一邊是同一函數(shù)在不 同點(diǎn)處的函數(shù)值的疊加 則一般需要通過(guò)將不等式適 當(dāng)變形構(gòu)造輔助函數(shù) 利用函數(shù)的凹凸性證明之 1 例2若 A B C 是的 ABC 的三內(nèi)角 則 sinA sinB sinC 3 2槡 3 分析 不等式左邊為 sinx 的函數(shù)的和 考慮構(gòu)造 下凸函數(shù) f x sinx 證明令 f x sinx 0 x 則 f x sinx 0 則 f x 是 0 上的凹函數(shù) 由函數(shù)的凹 凸性容易證得 sinA sinB sinC 3 2槡 3 1 3利用拉格朗日乘數(shù)法 對(duì)于一元不等式 利用函數(shù)的極值來(lái)證明不等 式是一種非常重要的方法 借助拉格朗日乘數(shù)法求 多元函數(shù)極值就可得到多元不等式的拉格朗日乘數(shù) 法 當(dāng)所證不等式中含有二個(gè)以上變量時(shí) 就可考 81 慮這種方法 用拉格朗日乘數(shù)法的關(guān)鍵是選擇目標(biāo) 函數(shù)的約束條件 如果沒(méi)有明確告訴約束條件 通 常把不等式的 一端 作為目標(biāo)函數(shù) 而將 另一端 常數(shù) a 作為約束條件 例3 2 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 0 y 0 z 0 證明不等 式 xy2z3 108 x y z 6 6 證明考察函數(shù) f x y z xy2z3在 x y z 6a 約束條件下的最大值問(wèn)題 其中 a 為正常數(shù) 構(gòu) 造拉格朗日函數(shù) F x y z xy2z3 x y z 6a 它的唯一的駐點(diǎn)為 a 2a 3a 此駐點(diǎn)為函數(shù) f x y z xy2z3的最大值點(diǎn) 故 f x y z xy2z3 f a 2a 3a 故 xy2z3 108 x y z 6 6 2積分學(xué)方法 2 1利用積分中值定理 定積分中值定理是在處理含有定積分的不等式 中經(jīng)常要用到的理論 其思路是通過(guò)中值定理 消去 不等式中的積分號(hào) 從而與其他項(xiàng)作大小的比較 得 出結(jié)論 例 4設(shè) f x 在上連續(xù)且單調(diào)遞減 證明 當(dāng) 0 1 時(shí) 0 1 f x dx 0 f x dx 證明 0 f x dx 0 1 f x dx 0 f x dx 0 f x dx 1 f x dx 1 0 f x dx 1 f x dx 1 f 1 f 2 0 故 0 f x dx 0 1 f x dx 2 2利用重積分 若不等式中含有兩個(gè)定積分之積 可考慮將其 化為重積分 將定積分不等式的證明化為重積分不 等式來(lái)證明 例 5證明不等式 4 1 1 e 0 1 e x2dx 2 證明記 I 0 1 e x2dx 則 I2 D1 e x2 y2dxdy D2 e x2 y2dxdy D1 0 x 1 0 y 1 D2 x2 y2 1 x 0 y 0 所以 4 1 1 e 0 1 e x2dx 2 2 3利用柯西 施瓦茨不等式 當(dāng)不等式中含有帶平方項(xiàng)的積分時(shí) 往往可通 過(guò)柯西 施瓦茨不等式來(lái)證明 例6設(shè) g x 在區(qū)間 a b 上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) 證明 a b g x 2dx g b g a 2 b a 證明因?yàn)?b a a b g x 2dx a b 12dx a b g x 2dx a b g x dx 2 g b g a 2 故 a b g x 2dx g b g a 2 b a 3其他方法 3 1利用泰勒公式 這種方法適合于題設(shè)中含有函數(shù)的一階 二階 及二階以上的導(dǎo)數(shù)且最高階導(dǎo)數(shù)的大小或上 下界 可知的命題 運(yùn)用這種方法時(shí) 首先寫出比最高階 導(dǎo)數(shù)低一階的函數(shù)的泰勒公式 然后根據(jù)題設(shè)對(duì)展 開式的余項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s 導(dǎo)出所證不等式 例 7已知 lim x 0 f x x 1 且 f x 0 求證 f x x 證明由 lim x 0 f x x 1 及 f x 0 知 lim x 0f x f 0 0 f 0 limx 0 f x x 1 則 f x f 0 f 0 x f 2 x2 x f 2 x2 0 x 因?yàn)?f 0 故 f x x 3 2利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式 當(dāng)不等式中含有幾個(gè)常見(jiàn)的初等函數(shù)如 ex sinx cosx 1 1 x等時(shí) 可利用冪級(jí)數(shù)展開式來(lái)證明此 不等式 例 8當(dāng) x 0 1 證明1 x 1 x e2x 證明 1 x 1 x 1 n 1 2xn e2x n 0 2n n xn 因當(dāng) n 3 時(shí) 2 2n n 所以1 x 1 x e2x 3 3利用二次型的正定性 當(dāng)遇到有關(guān) n 元二次齊次式的 下轉(zhuǎn)第 31 頁(yè) 91 進(jìn)行懷疑 績(jī)效考核中 有些企業(yè)會(huì)加大上級(jí)對(duì)下 級(jí)考核評(píng)價(jià)的權(quán)重 考核中一旦出現(xiàn)徇私舞弊 濫 用職權(quán) 那將失去公正性 其次 績(jī)效考核中會(huì)不可避免地出現(xiàn)主客觀偏 差 主觀方面 某些員工印象管理能力較強(qiáng) 讓主管 印象較好而獲得高分 諸如暈輪效應(yīng) 首因效應(yīng)等 會(huì)影響考核者評(píng)判的公正性 績(jī)效考核應(yīng)著重考核 員工的工作業(yè)績(jī) 而有些實(shí)際業(yè)績(jī)較好的員工由于 不注重印象管理 反而得不到認(rèn)可 客觀原因出在 績(jī)效考核體系自身完備性缺失上 即便績(jī)效考核內(nèi) 容是量化的 也會(huì)由于考評(píng)者無(wú)法真正領(lǐng)悟考核指 標(biāo)含義 無(wú)法準(zhǔn)確把握打分等級(jí)與績(jī)效水平之間對(duì) 應(yīng)關(guān)系等原因 在實(shí)際操作中失去量化的意義 3 互動(dòng)公正原則 企業(yè)內(nèi)部缺乏有效的溝通 這一點(diǎn)大致體現(xiàn)在兩個(gè)階段 第一階段 在考核 準(zhǔn)備中 考核指標(biāo)的設(shè)計(jì)沒(méi)有經(jīng)過(guò)員工的討論 導(dǎo)致 與實(shí)際脫節(jié) 第二階段 在考核進(jìn)行中 考評(píng)者之間缺 乏有效溝通 考核對(duì)象對(duì)績(jī)效考核的重要意義沒(méi)有充 分認(rèn)識(shí) 而人力資源部對(duì)待一些認(rèn)真反饋考核意見(jiàn) 員工的投訴也僅僅是勸說(shuō)開導(dǎo) 最后不了了之 五 結(jié)論與建議 通過(guò)前文的研究 得出以下結(jié)論 1 績(jī)效考核的公正性是影響員工工作積極性的 重要因素 公正感程度高 員工工作積極性則高 不 公正感程度高 員工則消極怠工 2 不公正感對(duì)員工工作積極性的消極影響要大 于公正感對(duì)員工工作積極性的積極影響 3 有針對(duì)性地調(diào)整績(jī)效考核方法 4 嚴(yán)肅企業(yè)內(nèi)外部風(fēng)氣 力求杜絕政治因素對(duì) 績(jī)效考核的影響 績(jī)效考核是人力資源管理中的一把雙刃劍 公 正科學(xué)地運(yùn)用績(jī)效考核 能夠使組織形成一種積極 的良性競(jìng)爭(zhēng)模式 充分調(diào)動(dòng)員工工作的積極性 以實(shí) 現(xiàn)組織與員工的共同進(jìn)步 參考文獻(xiàn) 1 王潤(rùn)生 西方功利主義倫理學(xué) M 北京 中國(guó)社會(huì)科學(xué) 出版社 1986 2 李曄 龍立榮 組織公平感研究對(duì)人力資源管理的啟示 J 外國(guó)經(jīng)濟(jì)與管理 2003 2 16 17 3 王丹 周曙 360 度考核的應(yīng)用探析 J 商業(yè)研究 2003 6 22 24 責(zé)任編輯 趙偉 櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏櫏 上接第 19 頁(yè) 不等式 我們可考慮用實(shí)二次型的半正定或矩陣的 半正定性給予證明 例 9 3 設(shè) ABC 的三條邊分別為 a b c 其面 積為 求證 a2 b2 c2 槡 4 3 證明原不等式可化為 2a2 2b2 2abcosC 槡 2 3absinC 0 它是一個(gè)關(guān)于 a b 的一個(gè)二元齊次式 令 f a b 2a2 2b2 4absin 6 C 其矩陣為 A 2 2sin 6 C 2sin 6 C 2 因?yàn)?2 0 A 4 1 sin2 6 C 0 所以 f a b 半正定 從而 f a b 0 所以 a2 b2 c2 槡 4 3 3 4利用概率論 當(dāng)不等式出現(xiàn)的數(shù)的范圍均在 0 與 1 之間時(shí) 便可利用概率論來(lái)證明不等式 利用概率論證明不 等式 其基本的思路是將不等式中的數(shù)轉(zhuǎn)化為若干 個(gè)相互獨(dú)立的事件的概率 從而將實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算 轉(zhuǎn)化為概率的運(yùn)算 利用概率的有關(guān)計(jì)算公式及性 質(zhì) 便可證得結(jié)論 例 10若 0 a 1 0 b 1 證明 0 a b ab 1 證明令 A B 是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件 且使 P A a P B b 容易證得 0 a b ab 1 以上從微分學(xué) 積分學(xué) 線性代數(shù) 概率率等角 度將高等數(shù)學(xué)常用來(lái)證明不等式的方法作了研究總 結(jié) 但我們遇到具體問(wèn)題還應(yīng)該具體分析 有的不等 式的證明用到不止一種方法 證明方法的選擇也是 一種技巧 要想熟練掌握其中的技巧 我們要多思 考 多總結(jié)