2.平面幾何解題的基本方法——分析法.doc

數(shù)學(xué)2012級(jí) 初等幾何研究 第一章 中學(xué)幾何證明第一節(jié) 分析法與綜合法 在邏輯學(xué)中，所謂分析，就是把思維對(duì)象分解為各個(gè)組成部分、方面和要素，分別加以研究的思維方法它在思維方式上的特點(diǎn)，在于它從事物的整體上深入地認(rèn)識(shí)事物的各個(gè)組成部分，從而認(rèn)識(shí)事物的內(nèi)在本質(zhì)或整體規(guī)律；所謂綜合，是在思維中把對(duì)象的各個(gè)組成部分、方面、要素聯(lián)結(jié)和統(tǒng)一起來進(jìn)行考察的方法它在思維方式方面的特點(diǎn)是在分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行科學(xué)的概括，把對(duì)各個(gè)部分、各種要素的認(rèn)識(shí)統(tǒng)一為對(duì)事物整體的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到從總體上把握事物的本質(zhì)和規(guī)律的目的 在數(shù)學(xué)研究及學(xué)習(xí)中，把分析與綜合的思維方法運(yùn)用到幾何的邏輯證明或推導(dǎo)中，就形成了求解幾何問題的分析法與綜合法 分析法是由命題的結(jié)論入手，承認(rèn)它是正確的，執(zhí)果索因，尋求在什么情況下結(jié)論才是正確的這樣一步一步逆而推之，直到與題設(shè)會(huì)合，于是就得出了由題設(shè)通往結(jié)論的思維過程 綜合法則是由命題的題設(shè)人手，通過一系列正確推理，逐步靠近目標(biāo)，最終獲得結(jié)論。 無論是分析法還是綜合法，都要經(jīng)歷一段認(rèn)真思考的過程分析法先認(rèn)定結(jié)論為真，倒推而上，容易啟發(fā)思考，每一步推理都有較明確的目的，知道推理的依據(jù)，了解思維的過程；綜合法由題設(shè)推演，支路較多，可以應(yīng)用的定理也較多，往往不知應(yīng)如何邁步，這是它的缺點(diǎn)，而優(yōu)點(diǎn)在于敘述簡(jiǎn)明，容易使人理解解題的步驟1 分析法在由結(jié)論向已知條件的尋求追溯過程中，由于題設(shè)條件的不同，或已知條件之間關(guān)系的隱蔽程度的不同等，尋求追溯的形式、程度有差異，因而分析法常分為選擇型分析法、可逆型分析法、構(gòu)造型分析法、設(shè)想型分析法等幾種類型1.1 選擇型分析法選擇型分析法解題，就是從要求解的結(jié)論B出發(fā)，希望能一步步把問題轉(zhuǎn)化但又難以互逆轉(zhuǎn)化，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為分析要得到結(jié)論B需要什么樣(充分)的條件，并為此在探求的“三岔口”作方向猜想和方向擇優(yōu)假設(shè)有條件C就有結(jié)論B，即C就為選擇找到的使B成立的(充分)條件(CB)；同樣地，再分析在什么樣的條件下能選擇得到C，即DC，最終追溯至此結(jié)論成立或原命題的某一充分條件(或充分條件組)恰好是已知條件或已知結(jié)論A為止在運(yùn)用選擇型分析法解題時(shí)，常使用一系列短語：“只需即可”來刻畫。具體來說，若可找到DB，而題目欲證“A B”，則只需證“AD”即可例1 如圖1，四邊形ABCD的一條對(duì)角線BD平行于兩對(duì)對(duì)邊之交點(diǎn)的連線EF，求證：AC平分BD. 分析 欲證的是線段等量關(guān)系，可試運(yùn)用成比例線段轉(zhuǎn)化為探討，但又不易直接證(若作輔助線證另當(dāng)別論)，從而運(yùn)用分析法來求解證明：設(shè)AC交BD于M，交EF于N，則要證明BM=MD，作為方向猜測(cè)，只須證明EN=NF或即可.但是這并不容易，調(diào)整方向：欲證BM=MD，只須證明BM2=MD2或即可.而，從而，從而只須證明即可.這又只須證明即可，而EF，故結(jié)論獲證.注：在尋找追溯中間環(huán)節(jié)的充分條件時(shí)，若某一環(huán)節(jié)的充分條件不止一個(gè)，常表明這道題的證法不止一種.例2 如圖2，已知ACE=CDE=90，點(diǎn)B在CE上，CA=CB=CD，過A，C，D三點(diǎn)的圓交AB于F. 求證：F為CDE的內(nèi)心. 分析 要證F為CDE的內(nèi)心，只需要證（1）DF平分CDE；（2）CF平分DCB.對(duì)于（1）比較容易：由于A，C，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓，則CDF=A，而題設(shè)知A=45，即可得證；對(duì)于（2）只須證明DCF=FCB，要證明這兩個(gè)角相等，你有幾種思路？1） 只需證明DCFBCF即可.因?yàn)镃D=CB，F(xiàn)DC=FBC=45，還需證明DF=BF.BDF=DBFBDC=DBCCB=CD是已知的. 故結(jié)論獲證.2）只需證明DCF=DCB即可. 而DCF=180CDFCFD=135CFD，即CFD=135DCF，只需證明CFD=135DCB即可.由于A，C，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓，有CFD=180CAD=180（90ACD）=90+ACD=90+（90DCF）=135DCF. 故結(jié)論得證.3）設(shè)BC交圓于M，則只需證明弧DF=弧FM即可. 這又只需證明DF=FM即可，而又只需證明FM=FB，且DF=FB即可.由1）已證得DF=BF. 要證明FM=FB，只需證明FMB=FBM=45即可，因?yàn)镕MB=MCF+MFC=MAF+MAC=45=FBM，所以結(jié)論得證.4）由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理的逆定理，只需證明（其中G為CD與AB的交點(diǎn)）即可.而由ACGDGF，有，則只需證明AC=AB，且BF=DF這些或已知，或已證.故結(jié)論獲證.1.2 可逆分析法如果在從結(jié)論向已知條件追溯的過程中，每一步都是推求的等價(jià)（充分必要）條件，那么這種分析法又叫做可逆分析法. 因而，可逆分析法是選擇型分析法的特殊情形，運(yùn)用可逆分析法證明的命題運(yùn)用選擇型分析法一定能證明，反之用選擇型分析法證明的命題，用可逆型分析法則不一定能證明.可逆型分析法的證明中，常用符號(hào)“”來表示，或用一系列“則需證”來表示，并最后指出“上述每步可逆，故命題成立”.例3 直角ABC中，a，b為直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng). 求證：.證明：由于.欲證不等式（1）而在直角ABC中，則（1）這最后的不等式顯然成立，故命題得證.例4 凸四邊形的四邊邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，兩對(duì)角線長(zhǎng)為e，f，則四邊形的面積為.證明：欲證，則需證.注意計(jì)算四邊形的另一種形式的面積公式（由三角形面積公式推導(dǎo)而來）兩對(duì)角線夾角為時(shí)，則需證明.即 .再注意到三角形中的余弦定理，對(duì)于圖6有，則 .當(dāng)兩對(duì)角線夾角為的補(bǔ)角時(shí)， .注：此例的結(jié)論稱為布瑞須萊德爾公式.1.3 構(gòu)造型分析法如果在從結(jié)論向已知條件追溯的過程中，在尋找新的充分條件的轉(zhuǎn)化“三岔口”處，需采取相應(yīng)的構(gòu)造型措施：如構(gòu)造一些條件，作某些輔助圖形等，進(jìn)行探討、推導(dǎo)，才能追溯到原命題的已知條件（或稍作變形處理）的分析法又叫做構(gòu)造分析法.例5 如圖7，AD是ABC的中線，任意引直線CF交AB于F，交AD于E，求證：.分析：注意到題設(shè)中有中點(diǎn)，而求證式是一個(gè)比較特殊的比例式，需要轉(zhuǎn)化來求解.證法1 欲證，只需證明即可. 若延長(zhǎng)ED至H使得DH=ED，則只須證明FEBH.而由題設(shè)可知BC與EH互相平分，所以BHEC，即BHFE. 故命題得證.證法2 欲證，只需證明即可. 若取FB的中點(diǎn)N，則只需證明DNEF.因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以DNCF，即DNEF. 故命題得證.例6 設(shè)凸四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，兩條對(duì)角線長(zhǎng)為e，f.求證：.分析：欲證 ，只需證明.與例4類似，這種形式符合三角形中的余弦定理的形式，只是需要對(duì)原圖形分析比較，在構(gòu)造出一個(gè)頂角大小為A+C的三角形，且這個(gè)角的兩夾邊應(yīng)等于，.而這只需作相似三角形即可. 如圖8，在BC，CD邊上向外作BECCDA，作CFDABC，則有FCE=A+C，且，于是，此時(shí)，只需證明EF=BD即可. 這又只需證明DBEF是平行四邊形即可.而由BECCDA，CFDABC可得到另外還需證明BEDF，這又只需證明EBD+BDF=180即可.因?yàn)镋BD+BDF=EBC+CBD+BDC+CDF=ACD+ACB+CBD+BDC=BDC+CDB+CBD=180.故原命題得證.注：（1）此例是布瑞須萊德爾發(fā)現(xiàn)的“四邊形余弦定理”；（2）由此定理可得托勒密定理：在四邊形中，并且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓時(shí)成立.1.4 設(shè)想型分析法在向已知條件追溯的過程中，借助于有根據(jù)的設(shè)想、假定，形成“言之成理”的新構(gòu)想，再進(jìn)行“持之有據(jù)”的驗(yàn)證，逐步找出正確途徑的分析法又稱為設(shè)想型分析法.在求解一些關(guān)于位置關(guān)系、軌跡、作圖等問題時(shí)，常采用這種方法. 例7 在一個(gè)已知銳角三角形的三邊上各找一點(diǎn)，使以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)最小.分析：我們?cè)O(shè)想所求的三點(diǎn)組成的周長(zhǎng)最小的DEF是一個(gè)特殊的三角形，即D，E，F(xiàn)是ABC三邊上的特殊點(diǎn)，比如三邊的中點(diǎn)，三高的垂足，三條角平分線與對(duì)邊的交點(diǎn)等. 又從題設(shè)條件ABC是銳角三角形，那么應(yīng)該是三高的垂足（因?yàn)槿叺闹悬c(diǎn)、三條角平分線與對(duì)邊的交點(diǎn)對(duì)于三角形沒有特殊的要求），因?yàn)橹挥袖J角三角形，才能保證三高的垂足在三邊上.（這種思路常常又稱為從特殊出發(fā)）從而設(shè)想這DEF是一個(gè)ABC的垂足三角形. 事實(shí)上，當(dāng)EF固定，要使FD+ED最小，必須且只須FDB=EDC=（光行最速原理），同理DEC=FEA=，EFA=BFD=，則，從而.所以 ，從而可得，.于是 DBFDECAEFABC. 不難驗(yàn)證，只有當(dāng)D，E，F(xiàn)恰為三高的垂足時(shí)才能滿足條件.為此進(jìn)行下列驗(yàn)證：再設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，AF=z，BD=x，CE=y，由DBFABC，有；同理 ，再由余弦定理可得，同理可得 ，所以D，E，F(xiàn)確為ABC三邊上的高的垂足.例8 已知兩邊求作三角形，使這兩邊上的中線互相垂直.分析：假定符合要求的ABC已經(jīng)作出，如圖10所示，AB，AC為已知的兩條邊，BD與CE分別為AC與AB上的中線，且BDCE.現(xiàn)在我們來追溯這個(gè)三角形的成圖線索. 作出三角形的一條已知的邊，例如AC，這較容易，問題在于第三個(gè)頂點(diǎn)B的確定. 要確定B點(diǎn)，只需先確定AB的中點(diǎn)E.