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文檔簡介

數(shù)學(xué)2012級(jí) 初等幾何研究 第一章 中學(xué)幾何證明第一節(jié) 分析法與綜合法 在邏輯學(xué)中,所謂分析,就是把思維對(duì)象分解為各個(gè)組成部分、方面和要素,分別加以研究的思維方法它在思維方式上的特點(diǎn),在于它從事物的整體上深入地認(rèn)識(shí)事物的各個(gè)組成部分,從而認(rèn)識(shí)事物的內(nèi)在本質(zhì)或整體規(guī)律;所謂綜合,是在思維中把對(duì)象的各個(gè)組成部分、方面、要素聯(lián)結(jié)和統(tǒng)一起來進(jìn)行考察的方法它在思維方式方面的特點(diǎn)是在分析的基礎(chǔ)上,進(jìn)行科學(xué)的概括,把對(duì)各個(gè)部分、各種要素的認(rèn)識(shí)統(tǒng)一為對(duì)事物整體的認(rèn)識(shí),從而達(dá)到從總體上把握事物的本質(zhì)和規(guī)律的目的 在數(shù)學(xué)研究及學(xué)習(xí)中,把分析與綜合的思維方法運(yùn)用到幾何的邏輯證明或推導(dǎo)中,就形成了求解幾何問題的分析法與綜合法 分析法是由命題的結(jié)論入手,承認(rèn)它是正確的,執(zhí)果索因,尋求在什么情況下結(jié)論才是正確的這樣一步一步逆而推之,直到與題設(shè)會(huì)合,于是就得出了由題設(shè)通往結(jié)論的思維過程 綜合法則是由命題的題設(shè)人手,通過一系列正確推理,逐步靠近目標(biāo),最終獲得結(jié)論。 無論是分析法還是綜合法,都要經(jīng)歷一段認(rèn)真思考的過程分析法先認(rèn)定結(jié)論為真,倒推而上,容易啟發(fā)思考,每一步推理都有較明確的目的,知道推理的依據(jù),了解思維的過程;綜合法由題設(shè)推演,支路較多,可以應(yīng)用的定理也較多,往往不知應(yīng)如何邁步,這是它的缺點(diǎn),而優(yōu)點(diǎn)在于敘述簡明,容易使人理解解題的步驟1 分析法在由結(jié)論向已知條件的尋求追溯過程中,由于題設(shè)條件的不同,或已知條件之間關(guān)系的隱蔽程度的不同等,尋求追溯的形式、程度有差異,因而分析法常分為選擇型分析法、可逆型分析法、構(gòu)造型分析法、設(shè)想型分析法等幾種類型1.1 選擇型分析法選擇型分析法解題,就是從要求解的結(jié)論B出發(fā),希望能一步步把問題轉(zhuǎn)化但又難以互逆轉(zhuǎn)化,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為分析要得到結(jié)論B需要什么樣(充分)的條件,并為此在探求的“三岔口”作方向猜想和方向擇優(yōu)假設(shè)有條件C就有結(jié)論B,即C就為選擇找到的使B成立的(充分)條件(CB);同樣地,再分析在什么樣的條件下能選擇得到C,即DC,最終追溯至此結(jié)論成立或原命題的某一充分條件(或充分條件組)恰好是已知條件或已知結(jié)論A為止在運(yùn)用選擇型分析法解題時(shí),常使用一系列短語:“只需即可”來刻畫。具體來說,若可找到DB,而題目欲證“A B”,則只需證“AD”即可例1 如圖1,四邊形ABCD的一條對(duì)角線BD平行于兩對(duì)對(duì)邊之交點(diǎn)的連線EF,求證:AC平分BD. 分析 欲證的是線段等量關(guān)系,可試運(yùn)用成比例線段轉(zhuǎn)化為探討,但又不易直接證(若作輔助線證另當(dāng)別論),從而運(yùn)用分析法來求解證明:設(shè)AC交BD于M,交EF于N,則要證明BM=MD,作為方向猜測(cè),只須證明EN=NF或即可.但是這并不容易,調(diào)整方向:欲證BM=MD,只須證明BM2=MD2或即可.而,從而,從而只須證明即可.這又只須證明即可,而EF,故結(jié)論獲證.注:在尋找追溯中間環(huán)節(jié)的充分條件時(shí),若某一環(huán)節(jié)的充分條件不止一個(gè),常表明這道題的證法不止一種.例2 如圖2,已知ACE=CDE=90,點(diǎn)B在CE上,CA=CB=CD,過A,C,D三點(diǎn)的圓交AB于F. 求證:F為CDE的內(nèi)心. 分析 要證F為CDE的內(nèi)心,只需要證(1)DF平分CDE;(2)CF平分DCB.對(duì)于(1)比較容易:由于A,C,F(xiàn),D四點(diǎn)共圓,則CDF=A,而題設(shè)知A=45,即可得證;對(duì)于(2)只須證明DCF=FCB,要證明這兩個(gè)角相等,你有幾種思路?1) 只需證明DCFBCF即可.因?yàn)镃D=CB,F(xiàn)DC=FBC=45,還需證明DF=BF.BDF=DBFBDC=DBCCB=CD是已知的. 故結(jié)論獲證.2)只需證明DCF=DCB即可. 而DCF=180CDFCFD=135CFD,即CFD=135DCF,只需證明CFD=135DCB即可.由于A,C,F(xiàn),D四點(diǎn)共圓,有CFD=180CAD=180(90ACD)=90+ACD=90+(90DCF)=135DCF. 故結(jié)論得證.3)設(shè)BC交圓于M,則只需證明弧DF=弧FM即可. 這又只需證明DF=FM即可,而又只需證明FM=FB,且DF=FB即可.由1)已證得DF=BF. 要證明FM=FB,只需證明FMB=FBM=45即可,因?yàn)镕MB=MCF+MFC=MAF+MAC=45=FBM,所以結(jié)論得證.4)由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理的逆定理,只需證明(其中G為CD與AB的交點(diǎn))即可.而由ACGDGF,有,則只需證明AC=AB,且BF=DF這些或已知,或已證.故結(jié)論獲證.1.2 可逆分析法如果在從結(jié)論向已知條件追溯的過程中,每一步都是推求的等價(jià)(充分必要)條件,那么這種分析法又叫做可逆分析法. 因而,可逆分析法是選擇型分析法的特殊情形,運(yùn)用可逆分析法證明的命題運(yùn)用選擇型分析法一定能證明,反之用選擇型分析法證明的命題,用可逆型分析法則不一定能證明.可逆型分析法的證明中,常用符號(hào)“”來表示,或用一系列“則需證”來表示,并最后指出“上述每步可逆,故命題成立”.例3 直角ABC中,a,b為直角邊長,c為斜邊長. 求證:.證明:由于.欲證不等式(1)而在直角ABC中,則(1)這最后的不等式顯然成立,故命題得證.例4 凸四邊形的四邊邊長分別為a,b,c,d,兩對(duì)角線長為e,f,則四邊形的面積為.證明:欲證,則需證.注意計(jì)算四邊形的另一種形式的面積公式(由三角形面積公式推導(dǎo)而來)兩對(duì)角線夾角為時(shí),則需證明.即 .再注意到三角形中的余弦定理,對(duì)于圖6有,則 .當(dāng)兩對(duì)角線夾角為的補(bǔ)角時(shí), .注:此例的結(jié)論稱為布瑞須萊德爾公式.1.3 構(gòu)造型分析法如果在從結(jié)論向已知條件追溯的過程中,在尋找新的充分條件的轉(zhuǎn)化“三岔口”處,需采取相應(yīng)的構(gòu)造型措施:如構(gòu)造一些條件,作某些輔助圖形等,進(jìn)行探討、推導(dǎo),才能追溯到原命題的已知條件(或稍作變形處理)的分析法又叫做構(gòu)造分析法.例5 如圖7,AD是ABC的中線,任意引直線CF交AB于F,交AD于E,求證:.分析:注意到題設(shè)中有中點(diǎn),而求證式是一個(gè)比較特殊的比例式,需要轉(zhuǎn)化來求解.證法1 欲證,只需證明即可. 若延長ED至H使得DH=ED,則只須證明FEBH.而由題設(shè)可知BC與EH互相平分,所以BHEC,即BHFE. 故命題得證.證法2 欲證,只需證明即可. 若取FB的中點(diǎn)N,則只需證明DNEF.因?yàn)镈是BC的中點(diǎn),所以DNCF,即DNEF. 故命題得證.例6 設(shè)凸四邊形ABCD的邊長分別為a,b,c,d,兩條對(duì)角線長為e,f.求證:.分析:欲證 ,只需證明.與例4類似,這種形式符合三角形中的余弦定理的形式,只是需要對(duì)原圖形分析比較,在構(gòu)造出一個(gè)頂角大小為A+C的三角形,且這個(gè)角的兩夾邊應(yīng)等于,.而這只需作相似三角形即可. 如圖8,在BC,CD邊上向外作BECCDA,作CFDABC,則有FCE=A+C,且,于是,此時(shí),只需證明EF=BD即可. 這又只需證明DBEF是平行四邊形即可.而由BECCDA,CFDABC可得到另外還需證明BEDF,這又只需證明EBD+BDF=180即可.因?yàn)镋BD+BDF=EBC+CBD+BDC+CDF=ACD+ACB+CBD+BDC=BDC+CDB+CBD=180.故原命題得證.注:(1)此例是布瑞須萊德爾發(fā)現(xiàn)的“四邊形余弦定理”;(2)由此定理可得托勒密定理:在四邊形中,并且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓時(shí)成立.1.4 設(shè)想型分析法在向已知條件追溯的過程中,借助于有根據(jù)的設(shè)想、假定,形成“言之成理”的新構(gòu)想,再進(jìn)行“持之有據(jù)”的驗(yàn)證,逐步找出正確途徑的分析法又稱為設(shè)想型分析法.在求解一些關(guān)于位置關(guān)系、軌跡、作圖等問題時(shí),常采用這種方法. 例7 在一個(gè)已知銳角三角形的三邊上各找一點(diǎn),使以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形周長最小.分析:我們?cè)O(shè)想所求的三點(diǎn)組成的周長最小的DEF是一個(gè)特殊的三角形,即D,E,F(xiàn)是ABC三邊上的特殊點(diǎn),比如三邊的中點(diǎn),三高的垂足,三條角平分線與對(duì)邊的交點(diǎn)等. 又從題設(shè)條件ABC是銳角三角形,那么應(yīng)該是三高的垂足(因?yàn)槿叺闹悬c(diǎn)、三條角平分線與對(duì)邊的交點(diǎn)對(duì)于三角形沒有特殊的要求),因?yàn)橹挥袖J角三角形,才能保證三高的垂足在三邊上.(這種思路常常又稱為從特殊出發(fā))從而設(shè)想這DEF是一個(gè)ABC的垂足三角形. 事實(shí)上,當(dāng)EF固定,要使FD+ED最小,必須且只須FDB=EDC=(光行最速原理),同理DEC=FEA=,EFA=BFD=,則,從而.所以 ,從而可得,.于是 DBFDECAEFABC. 不難驗(yàn)證,只有當(dāng)D,E,F(xiàn)恰為三高的垂足時(shí)才能滿足條件.為此進(jìn)行下列驗(yàn)證:再設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,AF=z,BD=x,CE=y,由DBFABC,有;同理 ,再由余弦定理可得,同理可得 ,所以D,E,F(xiàn)確為ABC三邊上的高的垂足.例8 已知兩邊求作三角形,使這兩邊上的中線互相垂直.分析:假定符合要求的ABC已經(jīng)作出,如圖10所示,AB,AC為已知的兩條邊,BD與CE分別為AC與AB上的中線,且BDCE.現(xiàn)在我們來追溯這個(gè)三角形的成圖線索. 作出三角形的一條已知的邊,例如AC,這較容易,問題在于第三個(gè)頂點(diǎn)B的確定. 要確定B點(diǎn),只需先確定AB的中點(diǎn)E.

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