微分方程PPT課件.ppt

1 6 1微分方程的基本概念 定義 例 偏微分方程 常微分方程 2 微分方程的階 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱之為微分方程的階 一階微分方程 高階微分方程 注意 注意 3 線性與非線性微分方程 4 微分方程的解 等式的函數(shù)稱之為微分方程的解 代入微分方程能使方程成為恒 5 微分方程的解的分類 1 通解 微分方程的解中含有任意常數(shù) 且獨(dú)立任 意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同 2 特解 不包含任何任意常數(shù)的解 6 初值問題 求微分方程滿足初始條件的解的問題 過定點(diǎn)的積分曲線 一階 二階 過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線 初始條件 用來確定任意常數(shù)的條件 通解的圖象 微分方程的積分曲線族 解的圖象 微分方程的積分曲線 7 解 8 所求特解為 9 注意 10 思考題解答 中不含任意常數(shù) 故為微分方程的特解 思考題 11 6 2一階微分方程 12 一 可分離變量的微分方程 則稱原微分方程為可分離變量的微分方程 可分離變量的微分方程 13 解法 14 例1求微分方程 解 分離變量 兩端積分 15 例2 解 16 二 齊次方程 定義 的微分方程稱為齊次方程 17 解法 令 代入原方程 得 可分離變量的微分方程 18 例3求解微分方程 微分方程的解為 解 19 例4求解微分方程 解 微分方程的解為 20 三 一階線性微分方程 一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 1 稱為齊次方程 1 稱為非齊次方程 例如 線性的 非線性的 21 1 先求線性齊次方程的通解 一階線性微分方程的解法 齊次方程的通解為 用分離變量法 22 2 再求線性非齊次方程的通解 討論 非齊次方程通解形式 23 只要在齊次方程的通解中 積分得 24 故一階線性非齊次微分方程的通解為 稱為常數(shù)變易法 把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法 25 解 例1 26 解 兩邊求導(dǎo)得 27 代入方程 得 故所求曲線為 28 伯努里 Bernoulli 方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 方程為線性微分方程 方程為非線性微分方程 解法 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程 四 伯努里方程 Bernoulli 1654 1705 瑞士 29 代入上式 得 30 解 例3 31 例4用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程 解 代入原方程 得 故原方程的通解為 32 解 所求通解為 33 1 分離變量法步驟 1 分離變量 2 兩端積分 隱式通解 小結(jié) 2 齊次方程 3 線性非齊次方程 4 伯努里方程 34 6 3可降階的二階微分方程 35 解 36 37 解 38 39 例3 解1 40 解2 41 2020 2 5 42 例4 解1 解2 故通解為 43 解3 兩邊積分 得 故通解為 44 6 4二階線性微分方程 二階線性微分方程的一般形式 方程為齊次方程 方程為非齊次方程 n階線性微分方程 45 一 二階線性微分方程解的性質(zhì)與通解的結(jié)構(gòu) 問題 1 二階齊次方程解的結(jié)構(gòu) 定理1 齊次方程解的疊加原理 46 證 證畢 47 定義 例如 線性無關(guān) 線性相關(guān) 48 定理2 證明略 推論 例如 線性無關(guān) 線性無關(guān) 線性無關(guān) 49 定理3 齊次線性方程通解結(jié)構(gòu) 證 50 2 二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu) 定理4 非齊次線性方程通解的結(jié)構(gòu) 證 51 52 定理5 非齊次方程解的疊加原理 證明略 53 二 二階常系數(shù)線性齊次方程的解法 二階常系數(shù)線性齊次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 54 特征根法 55 1 特征方程有兩個不相等的實(shí)根 56 2 特征方程有兩個相等的實(shí)根 此時 只得到方程 1 的一個特解 0 0 57 3 特征方程有一對共軛復(fù)根 58 59 60 解 特征方程為 解得特征根 故所求通解為 例1 解 特征方程為 解得特征根 故所求通解為 例2 61 解 62 二階常系數(shù)線性非齊次方程 對應(yīng)齊次方程 非齊次方程通解結(jié)構(gòu) 關(guān)鍵 方法 待定系數(shù)法 三 二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法 63 代入原方程得 64 綜上所述 65 解 對應(yīng)齊次方程通解 特征方程 特征根 代入原方程 得 故原方程通解為 例1 66 作輔助方程 67 68 注意 69 解 作輔助方程 代入 得 例2 對應(yīng)齊次方程的通解 取虛部 原方程的特解為 原方程通解為 70 例3 解1 對應(yīng)齊次方程的通解 作輔助方程 代入輔助方程 得 71 原方程的特解為 原方程通解為 取實(shí)部 72 解2 對應(yīng)齊次方程的