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2020 2 5 線性代數(shù)課件 線性代數(shù) 2020 2 5 線性代數(shù)課件 第五章相似矩陣及二次型 2020 2 5 線性代數(shù)課件 一 拉格朗日配方法的具體步驟 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 其特點(diǎn)是保持幾何形狀不變 問題有沒有其它方法 也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 問題的回答是肯定的 下面介紹一種行之有效的方法 拉格朗日配方法 2020 2 5 線性代數(shù)課件 1 若二次型含有的平方項(xiàng) 則先把含有的乘積項(xiàng)集中 然后配方 再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行 直到都配成平方項(xiàng)為止 經(jīng)過非退化線性變換 就得到標(biāo)準(zhǔn)形 拉格朗日配方法的步驟 2 若二次型中不含有平方項(xiàng) 但是則先作可逆線性變換 化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型 然后再按1中方法配方 2020 2 5 線性代數(shù)課件 解 例1 2020 2 5 線性代數(shù)課件 2020 2 5 線性代數(shù)課件 所用變換矩陣為 2020 2 5 線性代數(shù)課件 解 例2 由于所給二次型中無平方項(xiàng) 所以 2020 2 5 線性代數(shù)課件 再配方 得 2020 2 5 線性代數(shù)課件 所用變換矩陣為 2020 2 5 線性代數(shù)課件 二 小結(jié) 將一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 可以用正交變換法 也可以用拉格朗日配方法 或者其它方法 這取決于問題的要求 如果要求找出一個(gè)正交矩陣 無疑應(yīng)使用正交變換法 如果只需要找出一個(gè)可逆的線性變換 那么各種方法都可以使用 正交變換法的好處是有固定的步驟 可以按部就班一步一步地求解 但計(jì)算量通常較大 如果二次型中變量個(gè)數(shù)較少 使用拉格朗日配方法反而比較簡(jiǎn)單 需要注意的是 使用不同的方法 所得到的標(biāo)準(zhǔn)形可能不相同 但標(biāo)準(zhǔn)形中含有的項(xiàng)數(shù)必定相同 項(xiàng)數(shù)等于所給二次型的秩 2020 2 5 線性代數(shù)課件 思考題

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