高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件 3.3 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 理 新人教版.ppt

1 設(shè)函數(shù)f x 在點(diǎn)x0附近有定義 如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn) 都有 我們就說f x0 是函數(shù)f x 的一個(gè)極大值 如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn) 都有 我們就說f x0 是函數(shù)f x 的一個(gè)極小值 極大值與極小值統(tǒng)稱極值 2 一般地 求函數(shù)y f x 的極值的方法如下 解方程f x 0 當(dāng)f x0 0時(shí) f x f x0 f x f x0 1 如果在x0附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 那么f x0 是 值 2 如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么f x0 是極小值 3 一般地 求f x 在 a b 上的最大值與最小值的步驟如下 1 求函數(shù)y f x 在 內(nèi)的極值 2 將函數(shù)y f x 的 與端點(diǎn)處的函數(shù)值f a f b 比較 其中最大的一個(gè)是 最小的一個(gè)是 極大 f x 0 f x 0 a b 各個(gè)極值 最大值 最小值 1 下列命題中 正確的是 a 導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)b 如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 那么f x0 是極大值c 如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 那么f x0 是極小值d 如果在點(diǎn)x0附近的右側(cè)f x 0 左側(cè)f x 0 那么f x0 是極大值解析 根據(jù)極值的定義可知b正確 答案 b 2 下列函數(shù)存在極值的是 答案b 3 函數(shù)f x 的定義域?yàn)?a b 導(dǎo)函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)的圖象如圖 則函數(shù)f x 在開區(qū)間 a b 內(nèi)有極小值點(diǎn) a 1個(gè)b 2個(gè)c 3個(gè)d 4個(gè) 解析 設(shè)導(dǎo)數(shù)f x 的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 除原點(diǎn) 從左到右分別為x1 x2 x3 從圖象知 在 a x1 x2 0 0 x3 上f x 0 在 x1 x2 x3 b 上f x 0 即在 a x1 上f x 遞增 在 x1 x2 上遞減 在 x2 x3 上遞增 在 x3 b 上遞減 函數(shù)f x 在開區(qū)間 a b 內(nèi)有極小值點(diǎn)只有一點(diǎn)x2 答案 a 4 函數(shù)y xe x的極大值為 解析 y e x xe x 1 x e x 當(dāng)x 1時(shí)函數(shù)遞增 當(dāng)x 1時(shí)函數(shù)遞減 所以x 1時(shí) 函數(shù)取極大值 從以下幾點(diǎn)正確理解函數(shù)極值的概念 1 函數(shù)f x 在點(diǎn)x0及其附近有定義是指在點(diǎn)x0及其左右區(qū)域都有意義 2 極值點(diǎn)是函數(shù)f x 定義域中的內(nèi)點(diǎn) 因而端點(diǎn)絕不是函數(shù)的極值點(diǎn) 3 極值是一個(gè)局部概念 是僅對(duì)某一點(diǎn)的左右兩側(cè)區(qū)域而言的 4 連續(xù)函數(shù)f x 在其定義域上的極值點(diǎn)可能不止一個(gè) 也可能沒有極值點(diǎn) 函數(shù)的極大值與極小值沒有必然的大小聯(lián)系 函數(shù)的一個(gè)極小值也不一定比它的一個(gè)極大值小 5 函數(shù)f x 在極值點(diǎn)處不一定存在導(dǎo)數(shù) 例如函數(shù)y x x 0是函數(shù)的極小值點(diǎn) 但在x 0處不存在導(dǎo)數(shù) 6 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是使它的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn) 反之使函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn) 不一定是該函數(shù)的極值點(diǎn) 因此使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)僅是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件 其充分條件是這個(gè)點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào) 7 函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題 是一個(gè)局部概念 函數(shù)的最值是對(duì)整個(gè)定義域而言 是在整體范圍內(nèi)討論問題 是一個(gè)整體性的概念 8 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值 開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值 若有唯一的極值 則此極值必是函數(shù)的最值 9 函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值 最小值最多各有一個(gè) 而函數(shù)的極值則可能不止一個(gè) 也可能沒有極值 10 如果函數(shù)不在閉區(qū)間 a b 上可導(dǎo) 則確定函數(shù)的最值時(shí) 不僅比較使該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與端點(diǎn)處的值 還要比較函數(shù)在定義域內(nèi)各不可導(dǎo)的點(diǎn)處的值 11 在解決實(shí)際應(yīng)用問題時(shí) 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn) 那么要根據(jù)實(shí)際意義判斷是最大值還是最小值即可 不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較 考點(diǎn)一函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 即時(shí)鞏固詳解為教師用書獨(dú)有 關(guān)鍵提示 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 再由x 1是導(dǎo)函數(shù)等于零的根求得a的值 答案 3 即時(shí)鞏固1 已知函數(shù)f x x3 3ax2 2bx在x 1處有極小值 1 試確定a b的值 并求f x 的單調(diào)區(qū)間 考點(diǎn)二函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 案例2 設(shè)函數(shù)f x ln 2x 3 x2 1 討論f x 的單調(diào)性 1 求a b c的值 2 求y f x 在 3 1 上的最大值和最小值 解 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 當(dāng)x 1時(shí) 切線l的斜率為3 可得2a b 0 4a 3b 4 0 由 解得a 2 b 4 因?yàn)閘上切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x 1 所以f 1 4 所以1 a b c 4 所以c 5 2 由 1 可得f x x3 2x2 4x 5 所以f x 3x2 4x 4 考點(diǎn)三創(chuàng)新應(yīng)用 案例3 已知函數(shù)f x x3 mx2 nx 2的圖象過點(diǎn) 1 6 且函數(shù)g x f x 6x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 1 求m n的值及函數(shù)y f x 的單調(diào)區(qū)間 2 若a 0 求函數(shù)y f x 在區(qū)間 a 1 a 1 內(nèi)的極值 關(guān)鍵提示 結(jié)合圖象進(jìn)行討論 解 1 由函數(shù)f x 的圖象過點(diǎn) 1 6 得m n 3 由f x x3 mx2 nx 2 得f x 3x2 2mx n 則g x f x 6x 3x2 2m 6 x n 所以m 3 代入 得n 0 于是f x 3x2 6x 3x x 2 由f x 0得x 2或x 0 由f x 0得0 x 2 故f x 的單調(diào)增區(qū)間是 0 和 2 f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 0 2 2 由 1 得f x 3x x 2 令f x 0得x 0或x 2 當(dāng)x變化時(shí) f x f x 的變化情況如下表 由此可得 當(dāng)0 a 1時(shí) f x 在 a 1 a 1 內(nèi)有極大值f 0 2 無極小值 當(dāng)a 1時(shí) f x 在 a 1 a 1 內(nèi)無極值 當(dāng)1 a 3時(shí) f x 在 a 1 a 1 內(nèi)有極小值f 2 6 無極大值 當(dāng)a 3時(shí) f x 在 a 1 a 1 內(nèi)無極值 綜上得 當(dāng)0 a 1時(shí) f x 有極大值 2 無極小值 當(dāng)1 a 3時(shí) f x 有極小值 6 無極大值 當(dāng)a 1或a 3時(shí) f x 無極值 即時(shí)鞏固3 已知函數(shù)f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間 2 若f x 在x 1處取得極值 直線y m與y f x 的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn) 求m的取值范圍 解 1 f x 3x2 3a 3 x2 a 當(dāng)a 0時(shí) 對(duì)任意的x r 有f x 0 所以當(dāng)a 0時(shí) f x 的單調(diào)增區(qū)間為 2 因?yàn)閒 x 在x 1處取得極值 所以f 1 3