微積分在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用.doc

目 錄 摘要I ABSTRACTII第一章 緒論11.1 引言11.2 研究經(jīng)濟(jì)問題常采用的方法11.3數(shù)學(xué)思想在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用1第二章 微分在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用32.1 需求函數(shù)與供給函數(shù)32.2 總成本函數(shù)、總收入函數(shù)和總利潤(rùn)函數(shù)42.3 一元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際函數(shù)52.4 多元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際函數(shù)8第三章 彈 性9第四章 積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用11第五章 微積分在經(jīng)濟(jì)管理中的一些其他應(yīng)用135.1 最小平均成本135.2最大利潤(rùn)問題145.3 生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的最大利潤(rùn)155.4 根據(jù)最大利潤(rùn)原則確定商品價(jià)格17第五章 結(jié) 論18參考文獻(xiàn)19致謝20 微積分在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用 I 第一章 緒論1.1 引言現(xiàn)代化經(jīng)濟(jì)理論已經(jīng)從過去的經(jīng)濟(jì)定性分析發(fā)展成為量性分析和定性分析相結(jié)合。因而高等數(shù)學(xué)的一些方法如函數(shù)理論微積分、矩陣、概率統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)等知識(shí)在經(jīng)濟(jì)管理中都有了廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)是一門高度抽象的理論性學(xué)科,又是一門應(yīng)用廣泛的工具性學(xué)科,如何將抽象的數(shù)學(xué)理論應(yīng)用到具體的實(shí)踐中去,以使數(shù)學(xué)這門古老、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻的經(jīng)典科學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論找到嶄新的應(yīng)用市場(chǎng)，這在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程以及經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究過程中,都是至關(guān)重要的。實(shí)踐證明,用數(shù)學(xué)方法對(duì)經(jīng)濟(jì)問題所作的定性分析和定量分析是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、慎密?可信的。1.2 研究經(jīng)濟(jì)問題常采用的方法隨著經(jīng)濟(jì)問題的多樣化和數(shù)學(xué)手段的豐富,研究經(jīng)濟(jì)問題的方法、方式也各有不同。在定量的描述、研究經(jīng)濟(jì)關(guān)系和經(jīng)濟(jì)規(guī)律的方法中,一種簡(jiǎn)單的流程圖為:經(jīng)濟(jì)理論模型數(shù)學(xué)型估計(jì)模型、確定模型的未知量經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)分析經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)政策評(píng)價(jià)、調(diào)整。其中,結(jié)構(gòu)分析包括:研究分析經(jīng)濟(jì)變量之間的內(nèi)在聯(lián)系和檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)理論。經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)包括:借助于科學(xué)的數(shù)學(xué)方法和技術(shù)手段,對(duì)未來的發(fā)展和狀況進(jìn)行描述、分析,形成科學(xué)的假設(shè)和判斷。政策評(píng)價(jià)是指決策者從眾多的決策中選擇一種最優(yōu)的政策來執(zhí)行。其中用到彈性函數(shù)、乘數(shù)、生產(chǎn)技術(shù)系數(shù)、邊際效益等數(shù)學(xué)概念。1.3數(shù)學(xué)思想在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中生產(chǎn)者與消費(fèi)者通過市場(chǎng)交換商品, 消費(fèi)者購(gòu)買商品是為了得到它的效用, 生產(chǎn)者提供商品為了獲取利潤(rùn), 而市場(chǎng)就是生產(chǎn)者和消費(fèi)者之間的橋梁我們知道某種商品的市場(chǎng)需求量是商品價(jià)格的函數(shù), 一般說來將隨著價(jià)格的上漲而減少, 即需求量是市場(chǎng)價(jià)格的單調(diào)減少函數(shù), 與需求函數(shù)相反, 供給函數(shù)是隨著市場(chǎng)價(jià)格的上漲而增加。收入是生產(chǎn)者生產(chǎn)的商品售出后的收入, 生產(chǎn)者銷售某種商品的總收入取決于該商品的銷售和價(jià)格,成本函數(shù)固定成本廠房設(shè)備管理者的固定工資等和變動(dòng)成本原材料勞動(dòng)者的工資等, 利潤(rùn)是生產(chǎn)者扣除成本的剩余部分它也是產(chǎn)量的函數(shù)。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些問題與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系極為密切,涉及到的有邊際成本、邊際收益、邊際利潤(rùn)、邊際需求等.邊際問題，邊際成本、邊際收益、邊際利潤(rùn)、邊際需求在數(shù)學(xué)上可以表達(dá)為自總函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 積分是微分的逆運(yùn)算，因此，用積分的方法可以由邊際函數(shù)求出總函數(shù)。為了研究經(jīng)濟(jì)變量之間的聯(lián)系及其內(nèi)在規(guī)律常需要建立某一經(jīng)濟(jì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)和積分所滿足的關(guān)系式,并由此確定所研究函數(shù)形式,從而根據(jù)一些已知的條件來確定該函數(shù)的表達(dá)式.從數(shù)學(xué)上講就是建立微分方程并求解微分方程. 利用微分方程可以分析商品的市場(chǎng)價(jià)格與需求量(供給量) 之間的函數(shù)關(guān)系、預(yù)測(cè)可再生資源的產(chǎn)量,預(yù)測(cè)商品的銷售量、分析關(guān)于國(guó)民收入、儲(chǔ)蓄與投資的關(guān)系問題等。 經(jīng)濟(jì)管理是研究人們?nèi)绾畏峙溆邢拶Y源來滿足人們需要的一種方法，它的主要作用在于如何用已有的數(shù)學(xué)方法結(jié)合經(jīng)濟(jì)中的各種要素來使得人們利用最有限的資源獲得最大的 利益或者是風(fēng)險(xiǎn)最小的利益。以期滿足人們?nèi)找嬖鲩L(zhǎng)的物質(zhì)文化需要。應(yīng)該用什么合理的方法來解決影響經(jīng)濟(jì)管理的各種要素？在經(jīng)濟(jì)管理中我們主要需要知道需求和供給與價(jià)格的關(guān)系。從經(jīng)濟(jì)學(xué)中知道，需求是消費(fèi)者在某一特定時(shí)期內(nèi)在不同的價(jià)格水平上愿意并且能夠買到的商品量。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的需求定理指當(dāng)某種商品的價(jià)格下降時(shí)，買者對(duì)這種商品愿意而且能夠購(gòu)買的數(shù)量就會(huì)增加；反之，當(dāng)某種商品的價(jià)格上漲時(shí)，買者對(duì)這種商品愿意而且能夠購(gòu)買到的數(shù)量就會(huì)減少。供給是指廠商在某一特定時(shí)期內(nèi)、在不同價(jià)格水平上愿意而且能夠提供出售的商品量，供給定理是：當(dāng)某種商品的價(jià)格上漲時(shí)，賣者對(duì)這種商品愿意并且能夠提供的數(shù)量就會(huì)增加；反之，當(dāng)某種商品的價(jià)格下降時(shí)，賣者對(duì)這種商品愿意并且能夠提供的數(shù)量就會(huì)減少。第二章 微分在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用2.1 需求函數(shù)與供給函數(shù)2.1.1 需求函數(shù)需求量是指在特定時(shí)間內(nèi)，消費(fèi)者打算并能夠購(gòu)買的某種商品的數(shù)量，用表示，它與商品價(jià)格密切相關(guān)，通常降低商品價(jià)格使需求量增加；提高商品價(jià)格會(huì)使需求量減少。如果不考慮其它因素的影響（或其它因素不變），則是的函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作它通常是一個(gè)單調(diào)減少函數(shù)。常見的需求函數(shù)有以下幾種類型：（1）線性需求函數(shù) （2.1）（2）二次需求函數(shù) （2.2）（3）指數(shù)需求函數(shù) （2.3）有時(shí)也把的反函數(shù)也稱為需求函數(shù)。2.1.1 供給函數(shù)供給量是指在特定時(shí)間內(nèi)，廠商愿意并能夠出售的某種商品的數(shù)量，用表示，假設(shè)除了商品的價(jià)格外影響供給的其它因素均不變，則是的函數(shù),它通常是一個(gè)單調(diào)增函數(shù)。常見的供給函數(shù)有以下幾種類型：（1）線性供給函數(shù) （2.4）（2）指數(shù)供給函數(shù) （2.5）當(dāng)時(shí)，市場(chǎng)的供需處于平衡狀態(tài)，此時(shí)的價(jià)格稱為均衡價(jià)格，需求（或供給）量稱為均衡數(shù)量.當(dāng)商品由某廠商獨(dú)家生產(chǎn)時(shí)，廠商是價(jià)格的制定者，它自然會(huì)考慮消費(fèi)者對(duì)價(jià)格的反應(yīng),并依需求規(guī)律組織生產(chǎn)，其產(chǎn)量即需求量，價(jià)格與產(chǎn)量（需求量）的關(guān)系由需求函數(shù)確定，稱該商品市場(chǎng)為完全壟斷市場(chǎng)；當(dāng)商品由眾多互不占優(yōu)勢(shì)的廠商共同生產(chǎn)時(shí)，各廠商之間、消費(fèi)者之間展開競(jìng)爭(zhēng)并最終使市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)，此時(shí)商品價(jià)格即為均衡價(jià)格,單一廠商或消費(fèi)者的行為（改變產(chǎn)量或需求量）不再影響市場(chǎng)均衡，稱該商品市場(chǎng)為完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)。例 1 當(dāng)雞蛋收購(gòu)價(jià)為每公斤4.5元時(shí)，某收購(gòu)站每月能收購(gòu)5000公斤。若收購(gòu)價(jià)每公斤提高0.1元，則收購(gòu)時(shí)可增加400 公斤，求雞蛋的線性供給函數(shù)。解 設(shè)雞蛋的線性供給函數(shù)為 （2.6）由題意有 （2.7） （2.8）解得，所求供給函數(shù)為2.2 總成本函數(shù)、總收入函數(shù)和總利潤(rùn)函數(shù)在生產(chǎn)和經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中,如果投入的各要素價(jià)格不變,則成本是產(chǎn)量或銷售量的函數(shù),稱為總成本函數(shù)。一般地,總成本由固定成本和可變成本兩部分組成 （2.9）其中固定成本與產(chǎn)量無關(guān),如廠房、設(shè)備的折舊費(fèi)、企業(yè)管理費(fèi)等,可變成本隨產(chǎn)量的增加而增加,如原材料、動(dòng)力、工人的工資等。常見的成本函數(shù)有 （2.10）以總成本除以產(chǎn)量,得平均成本函數(shù)其中與分別稱為平均固定成本與平均可變成本。廠商銷售單位的商品所得收入為,稱為總收入(益)函數(shù).設(shè)商品的價(jià)格為,則總收入函數(shù)為 （2.11）若商品的需求函數(shù)為,且產(chǎn)銷均衡,則總收入函數(shù)為 （2.12） 總利潤(rùn)是總收入與總成本之差, 故總利潤(rùn)函數(shù)為例2 生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為1萬元,可變成本與產(chǎn)量(單位:噸)的立方成正比,已知產(chǎn)量為20噸時(shí),總成本為1.004萬元.求總成本函數(shù)和平均成本函數(shù)。 解 總成本函數(shù) 將C(20)=1.004代入上式,得k =,則總成本函數(shù)為 平均成本函數(shù)為 2.3 一元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)上將函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際函數(shù).以總成本函數(shù)為例,其導(dǎo)數(shù)稱為邊際成本函數(shù),也記為MC,顯然。為在到產(chǎn)量間隔內(nèi)的平均成本,當(dāng)很小時(shí)取(經(jīng)濟(jì)學(xué)上通常認(rèn)為1個(gè)單位已經(jīng)相當(dāng)小了),則說明在產(chǎn)量為時(shí),生產(chǎn)最后一個(gè)單位的產(chǎn)品花費(fèi)的成本約為,或者說在產(chǎn)量為時(shí), 再生產(chǎn)一個(gè)單位的產(chǎn)品花費(fèi)的成本約為。下面討論邊際成本與平均成本的關(guān)系.平均成本函數(shù)為 由于產(chǎn)量,則當(dāng)時(shí),此時(shí)增加產(chǎn)量將使平均成本減少；當(dāng)時(shí),故增加產(chǎn)量將使平均成本增加。例如 某電視機(jī)廠生產(chǎn)5萬臺(tái)電視機(jī)，在成本為6000萬元，平均成本為每臺(tái)1200元。當(dāng)它生產(chǎn)第50001臺(tái)時(shí)，如其成本(即邊際成本)也是1200元，則平均成本不變；若此臺(tái)電視機(jī)的成本為1150元，即邊際成本小于平均成本，則多生產(chǎn)此臺(tái)電視機(jī)使平均成本下降；若此臺(tái)電視機(jī)的成本為1250元，即邊際成本大于平均成本，則多生產(chǎn)此臺(tái)電視機(jī)使平均成本增加?？偸杖牒瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收入函數(shù)，也記為，是企業(yè)在產(chǎn)量為時(shí)，再生產(chǎn)一個(gè)單位的產(chǎn)品增加的收入的近似值，也是銷售最后一個(gè)單位的產(chǎn)品所得到的收入的近似值，即最后哪個(gè)單位產(chǎn)品的售價(jià)?？偫麧?rùn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤(rùn)函數(shù)，是企業(yè)銷售最后一個(gè)單位的產(chǎn)品所得到的利潤(rùn)的近似值，或多銷售一個(gè)單位的產(chǎn)品所得到的利潤(rùn)的近似值。由于，則有即邊際利潤(rùn)等于邊際收入與邊際成本之差。效用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際效用函數(shù)，記作，表示消費(fèi)者消費(fèi)第單位的商品所獲得的效用，效用函數(shù)為為增函數(shù)，則。邊際效用為單調(diào)減函數(shù)，稱為邊際效用遞減規(guī)律。若的二階導(dǎo)數(shù)存在，則。設(shè)消費(fèi)函數(shù)與儲(chǔ)蓄函數(shù)分別為與，稱為邊際消費(fèi)傾向，記為，表示收入增加一單位時(shí)消費(fèi)相應(yīng)的增加量，即這一單位收入中被用來消費(fèi)的部分稱為邊際儲(chǔ)蓄傾向，記為,表示收入增加一單位時(shí)儲(chǔ)蓄的增加量,由變量的實(shí)際含義及三者之間的關(guān)系不難得到 且例3 某商品由一企業(yè)壟斷生產(chǎn)，產(chǎn)品的需求函數(shù)為。 (1)計(jì)算需求的變化速度并說明其意義； (2)計(jì)算時(shí)，企業(yè)的邊際收入。 解 (1)需求的變化速度為常數(shù)，說明價(jià)格每上漲1單位，需求量將減少0.5單位。 (2)總收入函數(shù)為，邊際收入。當(dāng)時(shí)，邊際收入分別為，時(shí)，此時(shí)增加產(chǎn)量將使總收入增加，時(shí)，此時(shí)增加產(chǎn)量總收入反而減少，由此可見，在時(shí)，總收入最大，此時(shí)價(jià)格為。由總收入函數(shù)的圖形亦可得相同結(jié)論。例4 某酸乳酪商行發(fā)現(xiàn)它的收入函數(shù)和成本函數(shù)分別為，的單位為千升，以千元計(jì)。邊際成本，它隨的增大而減少，即產(chǎn)量越高，單位產(chǎn)品成本越低.，表明在生產(chǎn)千升的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)升，約需成本1.5元(由可看出與實(shí)際值非常接近)，表明在生產(chǎn)4千升的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)升，只需成本0.75元。那么是否生產(chǎn)越多，賺錢就越多呢？解 邊際收入，說明在生產(chǎn)4千升的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)升，總收入幾乎無變化。到底生產(chǎn)多少賺錢最多?這要從邊際利潤(rùn)來討論。邊際利潤(rùn)。當(dāng)時(shí)，每多生產(chǎn)1升，總利潤(rùn)將增加；時(shí)，再多生產(chǎn)1升，總利潤(rùn)幾乎無變化；當(dāng)時(shí)，生產(chǎn)越多，總利潤(rùn)反而減少，這是由于產(chǎn)量增大導(dǎo)致價(jià)格下跌所至。由此可見,在生產(chǎn)3千升時(shí)，商行賺錢最多。如果經(jīng)濟(jì)量是時(shí)間的函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)表示時(shí)刻經(jīng)濟(jì)量的絕對(duì)變化速度，即單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)濟(jì)量變化值的近似值。2.4 多元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際函數(shù)與一元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際函數(shù)類似，多元經(jīng)濟(jì)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)有其相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)意義。設(shè)需求函數(shù)為，這里為商品的需求量，為該商品的價(jià)格，為與此商品有關(guān)的另一商品的價(jià)格,為消費(fèi)者的收入。偏導(dǎo)數(shù)分別稱為價(jià)格的邊際需求、相關(guān)價(jià)格的邊際需求和收入的邊際需求。在全微分中，令，即相關(guān)價(jià)格和收入不變，商品自身價(jià)格上漲1單位，則，即在相關(guān)價(jià)格和收入不變，商品自身價(jià)格上漲1單位時(shí)，需求量近似減少單位(因)，對(duì)有類似解釋。如果，說明兩商品是相互競(jìng)爭(zhēng)的(也稱相關(guān)商品為替代品),如果，說明兩商品是相輔的(也稱相關(guān)商品為互補(bǔ)品)。如果，說明需求量與收入同方向變化，商品為正常品，如果，說明需求量與收入反方向變化，收入增加后需求量反而減少，說明商品為劣質(zhì)品。若廠商生產(chǎn)兩種產(chǎn)品, 產(chǎn)量分別為?？偝杀竞瘮?shù)為，其偏導(dǎo)數(shù)分別稱為兩種產(chǎn)品的邊際成本，記作其中表示在原有生產(chǎn)規(guī)模下，產(chǎn)品的產(chǎn)量不變，多生產(chǎn)1單位的產(chǎn)品所增加的成本，有類似意義。稱總收入函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為兩種產(chǎn)品的邊際收入，記為分別表示在另一產(chǎn)品產(chǎn)量不變時(shí)，多生產(chǎn)一個(gè)單位的產(chǎn)品所引起的收入的改變量。生產(chǎn)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)分別稱為資本的邊際產(chǎn)量和勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量，分別記為與，表示在另一投入要素不變時(shí)，單位要素對(duì)產(chǎn)量的貢獻(xiàn)。效用函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)分別為兩商品的邊際效用,記為表示在另一商品的消費(fèi)量不變時(shí)，多消費(fèi)一個(gè)單位的商品所增加的效用，通常情況下。例5 生產(chǎn)函數(shù)為，求時(shí)資本和勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量。解 資本和勞動(dòng)的邊際產(chǎn)量分別為，在時(shí)第三章 彈 性商品價(jià)格的提高或降低會(huì)引起需求量的減少或增加，但價(jià)格變化以后，需求量所作出的反應(yīng)或增減變化程度，不同的商品時(shí)不同的，同一種商品在不同的價(jià)格水平上也是不同的。所以需求的彈性可以用來衡量?jī)r(jià)格變動(dòng)的比率所引起的需求量變動(dòng)的比率，也就是兩者之間的靈敏程度。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，彈性可以理解為：它是一個(gè)因變量的相對(duì)變動(dòng)和一個(gè)自變量的相對(duì)變動(dòng)之比，以E來表示彈性系數(shù)，即：如果設(shè)數(shù)量變動(dòng)的百分比為2，價(jià)格變動(dòng)的百分比為1，則彈性系數(shù)為 （3.1）函數(shù)稱為的彈性函數(shù)，在處的彈性為其彈性函數(shù)在處的函數(shù)值.在，時(shí)，。設(shè)需求函數(shù)為，定義需求價(jià)格彈性 （3.2）表示在價(jià)格為時(shí)，價(jià)格上漲(或下跌)1%需求量約減少(或增加)，表明需求與價(jià)格反方向變化。 若，表示需求量的相對(duì)變化率高于價(jià)格的相對(duì)變化率，需求對(duì)價(jià)格的反應(yīng)較強(qiáng)，價(jià)格變化，需求量的變化將超過，稱為彈性需求或富有彈性，一般高檔消費(fèi)品屬此類。若，表示需求量的相對(duì)變化率低于價(jià)格的相對(duì)變化率，需求對(duì)價(jià)格的反應(yīng)較弱，價(jià)格變化，需求量的變化將小于，稱為非彈性需求或缺乏彈性，一般生活必需品多屬此類。許多商品在不同的價(jià)位上，需求價(jià)格彈性的性態(tài)是不同的，一般當(dāng)價(jià)格較低時(shí)是非彈性需求，當(dāng)價(jià)格較高時(shí)是彈性需求。若，表示需求量的相對(duì)變化率與價(jià)格的相對(duì)變化率相同，需求對(duì)價(jià)格的反應(yīng)按相同比例反方面進(jìn)行，稱為單位彈性需求。時(shí)，價(jià)格的任何變動(dòng)都不會(huì)改變需求量，這樣的商品并不多見，時(shí)，價(jià)格的微小變化將會(huì)引起需求的巨大變化，這樣的商品也不多見。但在完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)上，單個(gè)廠商的價(jià)格變化，在其余廠商作出反應(yīng)之前，它面臨的需求曲線具有無窮大的彈性。對(duì)其余一元經(jīng)濟(jì)函數(shù)，可類似地定義其彈性，如供給彈性、成本彈性等。設(shè)某商品的需求函數(shù)為，這里為商品的需求量，為該商品的價(jià)格，若該商品是完全壟斷的，生產(chǎn)商的產(chǎn)銷均衡，則廠商的銷售收入為其中為需求價(jià)格彈性。當(dāng)時(shí)，此時(shí)漲(降)價(jià)會(huì)使總收入減少(增加)。當(dāng)時(shí)，此時(shí)漲(降)價(jià)會(huì)使總收入增加 (減少)。當(dāng)時(shí)，。此時(shí)漲(降)價(jià)，總收入幾乎無變化。由可導(dǎo)函數(shù)取極值的必要條件，在R(P)的駐點(diǎn)唯一時(shí)，單位彈性可使總收入最大。收入的價(jià)格彈性為在價(jià)格變化很小時(shí)邊際收入與彈性的關(guān)系為第四章 積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用積分是微分的逆運(yùn)算，因此，用積分的方法可以由邊際函數(shù)求出總函數(shù)。設(shè)總量函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，其邊際函數(shù)為，則總有函數(shù) （4.1）當(dāng)從變到時(shí)，的改變量為 （4.2）將改為產(chǎn)量，且時(shí)，將代之以總成本、總收入、總利潤(rùn)，可得 （4.3）其中即為固定成本，為可變成本某商品的邊際利潤(rùn)函數(shù)為，為該商品的銷售量，銷售此商品的盈虧平衡點(diǎn)為，求總利潤(rùn)函數(shù)。解 因商品的盈虧平衡點(diǎn)為，則，代入上式可得，故總利潤(rùn)函數(shù)為 設(shè)總量函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，其邊際函數(shù)為，則有總量函數(shù)當(dāng)從變到時(shí)，的改變量為將改為產(chǎn)量且時(shí)，將代之以總成本，總收入，總利潤(rùn)，可得其中即為固定成本，為可變成本.例 經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究一口新油井的原油生產(chǎn)速度R(t),并建議用以下模型： 這里t的單位為年,A是平均速度(常數(shù)),而B是“變率”系數(shù)(常數(shù)).求出開始N年內(nèi)生產(chǎn)的石油的總和(取N為整數(shù)); 解 設(shè)開始N年內(nèi)生產(chǎn)的石油的總和為,由于,則 其中 則因此有 第五章 微積分在經(jīng)濟(jì)管理中的一些其他應(yīng)用5.1 最小平均成本設(shè)成本函數(shù)為,求平均成本最小時(shí)的產(chǎn)量、邊際成本及最小平均成本。 解 平均成本函數(shù)為令得唯一駐點(diǎn)，又因?yàn)閯t在時(shí)，平均成本最小，最小平均成本為邊際成本函數(shù)為在時(shí)，。 一般地,若成本函數(shù)為，則平均成本函數(shù)為令得，故平均成本在處最小的必要條件為處的平均成本等于邊際成本又因?yàn)樵隈v點(diǎn)處，, 則,則等價(jià)于，從而平均成本在處最小的充分條件為為唯一正駐點(diǎn)且。5.2最大利潤(rùn)問題一玩具經(jīng)銷商獨(dú)家銷售某種玩具，經(jīng)銷商的的收入函數(shù)為其中為銷售量。成本函數(shù)為求該經(jīng)銷商的最佳銷售方案及最大利潤(rùn)。解 總利潤(rùn)函數(shù)令得唯一駐點(diǎn)。又因?yàn)閯t在銷售量為3000時(shí)，總利潤(rùn)最大。最大利潤(rùn)為。一般地,因?yàn)?，則在Q0處利潤(rùn)最大的必要條件為Q0處的邊際收入等于邊際成本 由邊際收入與需求價(jià)格彈性的關(guān)系可將上式改寫為其中為處的價(jià)格，為價(jià)格為時(shí)的需求彈性。這也是廠商確定商品價(jià)格的方法之一。由得在處利潤(rùn)最大的一個(gè)充分條件為5.3 生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的最大利潤(rùn)某工廠預(yù)備生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，當(dāng)產(chǎn)量分別為時(shí)，總成本為已知兩產(chǎn)品售價(jià)分別為10元和9元，問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時(shí),工廠可獲最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？解 總利潤(rùn)函數(shù)為 令解得駐點(diǎn).又且,則在兩產(chǎn)品分別生產(chǎn)120與80時(shí)，工廠可獲最大利潤(rùn).最大利潤(rùn)為. 當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品時(shí)，總收入函數(shù)與總成本函數(shù)分別為,則總利潤(rùn)函數(shù)為令得總利潤(rùn)最大的必要條件為即兩產(chǎn)品的邊際收入分別等于各自的邊際成本。若兩產(chǎn)品的市場(chǎng)都是完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，其價(jià)格分別為常數(shù)，則兩產(chǎn)品的邊際收入即為各自價(jià)格，從而總利潤(rùn)最大的必要條件為兩產(chǎn)品的邊際成本分別等于各自的價(jià)格此時(shí)則利潤(rùn)最大的充分條件為5.4 根據(jù)最大利潤(rùn)原則確定商品價(jià)格某商品進(jìn)價(jià)為(元/件)，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)銷售價(jià)為(元/件)時(shí)