“數(shù)學(xué)建模”在中考題中的應(yīng)用.doc

“數(shù)學(xué)建?！痹谥锌碱}中的應(yīng)用寧波市翠柏中學(xué) 陳波（郵編：315016）數(shù)學(xué)建模(MathematicalModelling)，就是把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來(lái)解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，我們把數(shù)學(xué)知識(shí)的這一應(yīng)用過(guò)程稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)滲透順應(yīng)了當(dāng)前素質(zhì)教育和新課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)改革的需要。二期課改中指出：要讓學(xué)生“在實(shí)踐應(yīng)用中逐步積累發(fā)現(xiàn)、敘述、總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，知道一些基本的數(shù)學(xué)模型，初步形成數(shù)學(xué)建模能力，能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”。 這一點(diǎn)說(shuō)明，“數(shù)學(xué)生活化”是新一輪數(shù)學(xué)課程改革中的一個(gè)重要理念，它強(qiáng)調(diào)“從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程”。在初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的建模方法有：對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的等量關(guān)系（不等關(guān)系），建立方程模型（不等式模型）；對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的變量關(guān)系，建立函數(shù)模型；涉及對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理、分析，建立統(tǒng)計(jì)模型；涉及圖形的，建立幾何模型本文將結(jié)合中考題談?wù)劷Ｋ枷朐谥锌碱}中的應(yīng)用。一、建立方程模型方程應(yīng)用題可以與現(xiàn)實(shí)世界的許多問(wèn)題發(fā)生聯(lián)系，是初中階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模方法的最好課例。在建立方程模型時(shí)，應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生如何學(xué)會(huì)尋找問(wèn)題中的已知量、未知量之間的等量關(guān)系建立方程。近年來(lái)各省市的中考題中出現(xiàn)了一類別出心裁的中考閱讀題，它主要以對(duì)話、圖案、圖表、污損文字等形式呈現(xiàn)題干內(nèi)容，要求學(xué)生能閱讀、理解給出的材料，能運(yùn)用與方程有關(guān)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確地加以表達(dá)，解決此類題的關(guān)鍵是要對(duì)試題的信息進(jìn)行觀察、比較、歸類、識(shí)別、提取、篩選，從而找出最佳方法，準(zhǔn)確、快捷地解題例 仔細(xì)觀察下圖，認(rèn)真閱讀對(duì)話：根據(jù)對(duì)話的內(nèi)容，試求出餅干和牛奶的標(biāo)價(jià)各是多少元？解：設(shè)餅干的標(biāo)價(jià)為每盒元，牛奶的標(biāo)價(jià)為每袋元，則有：解得，又是整數(shù)，答：一盒餅干標(biāo)價(jià)為元，一袋牛奶標(biāo)價(jià)為元二、建立函數(shù)模型函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題涉及的知識(shí)層面豐富，解法靈活多變，是考試命題的熱點(diǎn)問(wèn)題。解答此類問(wèn)題，一般都是從建立函數(shù)關(guān)系入手，將實(shí)際問(wèn)題模型化或結(jié)合函數(shù)圖象來(lái)挖掘解題思路。例2、如圖1(甲)，為迎接新世紀(jì)的到來(lái)，某市制作了一種煙花，已知這種煙花高0.55米，燃放時(shí)需把煙花安放在為它特制的高0.7米的支架上，煙火從煙花的頂部噴出，各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線落下，根據(jù)設(shè)計(jì)，要求噴出的煙火在距離煙花1米處達(dá)到最大高度2.25米。(1)按圖1(乙)建立的平面直角坐標(biāo)系，求煙花的煙火劃出的一條拋物線的解析式(其中x軸為地面所在直線，y軸為煙花所在直線，OA表示煙花與支架的高，B為煙火的最高點(diǎn)，C為煙火落地點(diǎn))。(2)若觀看者環(huán)繞在煙花的四周，在不考慮其他因素的情況下，問(wèn)至少要離開(kāi)燃放點(diǎn)多遠(yuǎn)？解：(1)由題意得，A(0，1.25)，頂點(diǎn)B(1，2.25)。設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)2+2.25把點(diǎn)A坐標(biāo)代入，解得a=-1。y=-(x-1)2+2.25(2)由題意，知C點(diǎn)為拋物線與x軸的交點(diǎn)，當(dāng)y=0時(shí)，由-(x-1)2+2.25=0，解得x1=2.5，x2=-0.5(不合題意，舍去)。觀看者至少要離開(kāi)燃放點(diǎn)2.5米遠(yuǎn)。三、建立統(tǒng)計(jì)模型涉及對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理、分析，建立統(tǒng)計(jì)模型。例3 某人承包水庫(kù)養(yǎng)魚(yú)1萬(wàn)條，為了了解魚(yú)的和生長(zhǎng)情況，第一次網(wǎng)出25條，平均每條重2.2千克；第二次網(wǎng)出40條，平均每條重2.4千克；第三次網(wǎng)出35條，平均每條重2.6千克。問(wèn)：（1）該水庫(kù)中魚(yú)的總重量約是多少千克？（2）若不論大小，全部按每千克7.5元出售，他能收入多少元？（3）若把魚(yú)分類出售，大魚(yú)每千克10元，小魚(yú)每千克6元，則水庫(kù)中大魚(yú)總重量不低于多少時(shí)，承包人賣魚(yú)所得收入才能不低于按每千克7.5元出售所得收入？分析：本題是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)生活中的問(wèn)題進(jìn)行觀察、評(píng)估與決策，生活氣息濃。本題主要檢查學(xué)生對(duì)加權(quán)平均數(shù)公式。 的意義的理解和應(yīng)用。有利于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。其具體的思路是：（1）由于已知水庫(kù)中有1萬(wàn)條魚(yú)，要想知道這些魚(yú)的總重量，只要知道平均每條魚(yú)的重量即可。因此，可以運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法，通過(guò)抽查水庫(kù)中部分魚(yú)的重量，來(lái)估計(jì)水庫(kù)中每條魚(yú)的重量。所以水庫(kù)中魚(yú)的總重量平均每條魚(yú)的重量魚(yú)的條數(shù)，即： 也就是： （2）用水庫(kù)中魚(yú)的總重量乘售魚(yú)單價(jià)。（3）思路一：把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“水庫(kù)中大魚(yú)總重量為多少時(shí)，承包人賣魚(yú)所得收入與按每千克7.5元出售所得收入相等”。通過(guò)列方程解決問(wèn)題。思路二：先列出承包人收入與水庫(kù)中大魚(yú)總重量之間的函數(shù)關(guān)系式，列出不等式來(lái)解。解：（1） （千克）答：該水庫(kù)中魚(yú)的總重量約為24200千克。（2） （元）。答：不論大小，全部按每千克7.5元出售，水庫(kù)承包人能收入181500元。（3）解法一：設(shè)水庫(kù)中大魚(yú)質(zhì)量為x千克時(shí)，承包人分類售魚(yú)收入與（2）中收入相同，根據(jù)題意，得 解這個(gè)方程，得 。答：水庫(kù)中大魚(yú)總重量不低于9075千克時(shí)，承包人分類售魚(yú)收入才能不低于按每千克7.5元出售的收入。解法二：設(shè)水庫(kù)中大魚(yú)重量為q千克，承包人售魚(yú)收入為y元，則有 要使承包人分類售魚(yú)收入不低于（2）中收入，必須有 解這個(gè)不等式，得 答：水庫(kù)中大魚(yú)總重量不低于9075千克時(shí)，承包人賣魚(yú)收入才能不低于每千克7.5元出售的收入。四、建立幾何模型幾何應(yīng)用題內(nèi)容豐富，諸如測(cè)量、取料、剪裁、方案設(shè)計(jì)、美化設(shè)計(jì)等等。解答此類問(wèn)題的一般方法是認(rèn)真分析題意，把實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解。例4. 據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，一強(qiáng)臺(tái)風(fēng)的中心位于寧波（指城區(qū)，下同）東南方向千米的海面上，目前臺(tái)風(fēng)中心正以20千米/小時(shí)的速度向北偏向60的方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心50千米的圓形區(qū)域均會(huì)受到襲擊。已知寧海位于寧波正南方向72千米處，象山位于寧海北偏東60方向56千米處。請(qǐng)問(wèn)：寧波、寧海、象山是否會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)襲擊？如果會(huì)，請(qǐng)求出受強(qiáng)襲擊的時(shí)間；如果不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由。（為解決問(wèn)題，須畫(huà)出示意圖，現(xiàn)已畫(huà)出其中一部分，請(qǐng)根據(jù)需要，把圖形畫(huà)完整。）分析：該題由2003年高考試題改編。優(yōu)秀解法：如圖過(guò)P作東西方向直線與AB（南北）延長(zhǎng)線交于O，先求得OP=36+108，則BO=36+36，再求得BPO=30,從而證明臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，所以臺(tái)風(fēng)中心必過(guò)寧海，時(shí)間為5時(shí)；通過(guò)簡(jiǎn)易運(yùn)算可說(shuō)明臺(tái)風(fēng)會(huì)襲擊象山，受襲時(shí)間約為1小時(shí)13分，寧波不會(huì)遭到臺(tái)風(fēng)的強(qiáng)襲擊。數(shù)學(xué)的生命力在于它能有效地解決現(xiàn)實(shí)世界向我們提出的各種問(wèn)題，而數(shù)學(xué)模型正是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。如何將現(xiàn)實(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，這是對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性地解決