全國(guó)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題五解析幾何第3講圓錐曲線的綜合問(wèn)題學(xué)案理.docx

第3講圓錐曲線的綜合問(wèn)題考情考向分析1.圓錐曲線的綜合問(wèn)題一般以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，考查范圍、最值問(wèn)題，定點(diǎn)、定值問(wèn)題，探索性問(wèn)題.2.試題解答往往要綜合應(yīng)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等多種思想方法，對(duì)計(jì)算能力也有較高要求，難度較大熱點(diǎn)一范圍、最值問(wèn)題圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題(以所求式子或參數(shù)為函數(shù)值)，或者利用式子的幾何意義求解例1已知N為圓C1：(x2)2y224上一動(dòng)點(diǎn)，圓心C1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C2，點(diǎn)M，P分別是線段C1N，C2N上的點(diǎn)，且0，2.(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)直線l：ykxm與點(diǎn)M的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第二象限，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與l垂直的直線l與圓x2y28相交于A，B兩點(diǎn)，求PAB面積的取值范圍解(1)連接MC2，因?yàn)?，所以P為C2N的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)M在C2N的垂直平分線上，所以|MN|MC2|，因?yàn)閨MN|MC1|MC2|MC1|24，所以點(diǎn)M在以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓上，因?yàn)閍，c2，所以b22，所以點(diǎn)M的軌跡方程為1.(2)由得(3k21)x26kmx3m260，因?yàn)橹本€l：ykxm與橢圓相切于點(diǎn)P，所以(6km)24(3k21) (3m26)12(6k22m2)0，即m26k22，解得x，y，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限，所以k0，m0，所以m，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)直線l與l垂直交于點(diǎn)Q，則|PQ|是點(diǎn)P到直線l的距離，且直線l的方程為yx，所以|PQ|，當(dāng)且僅當(dāng)3k2，即k2時(shí)，|PQ|有最大值，所以SPAB4|PQ|44，即PAB面積的取值范圍為.思維升華解決范圍問(wèn)題的常用方法(1)數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后，利用數(shù)形結(jié)合法求解(2)構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解(3)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域跟蹤演練1(2018衡水金卷信息卷)已知橢圓C：1(ab0)的一條切線方程為y2x2，且離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：ykxm與橢圓C交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，且3，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)由題意知，離心率e，ca，ba，1，將y2x2代入，得8x28x8a20，由12832(8a2)0，得a24，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.(2)根據(jù)已知，得M(0，m)，設(shè)A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由得(k24)x22mkxm240，且4m2k24(k24)(m24)0，即k2m240，且x1x2，x1x2，由3，得x13x2，即x13x2，3(x1x2)24x1x20，0，即m2k2m2k240，當(dāng)m21時(shí)，m2k2m2k240不成立，k2，k2m240，m240，即0，1m24，解得2m1或1m0，解得k0或0k0)的焦點(diǎn)F，與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|8.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(12,8)的兩條直線l1，l2分別交拋物線于點(diǎn)C，D和E，F(xiàn)，線段CD和EF的中點(diǎn)分別為M，N.如果直線l1與l2的傾斜角互余，求證：直線MN經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)(1)解由題意可設(shè)直線AB的方程為yx，由消去y整理得x23px0，9p248p20，令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x23p，由拋物線的定義得|AB|x1x2p4p8，p2.拋物線的方程為y24x.(2)證明設(shè)直線l1，l2的傾斜角分別為，由題意知，.直線l1的斜率為k，則ktan .直線l1與l2的傾斜角互余，tan tan，直線l2的斜率為.直線CD的方程為y8k(x12)，即yk(x12)8.由消去x整理得ky24y3248k0，設(shè)C(xC，yC)，D(xD，yD)，yCyD，xCxD24，點(diǎn)M的坐標(biāo)為.以代替點(diǎn)M坐標(biāo)中的k，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(122k28k,2k)，kMN.直線MN的方程為y2kx(122k28k)，即yx10，顯然當(dāng)x10時(shí)，y0，故直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(10，0).熱點(diǎn)三探索性問(wèn)題1解析幾何中的探索性問(wèn)題，從類(lèi)型上看，主要是存在類(lèi)型的相關(guān)題型，解決這類(lèi)問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明確化其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在2反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問(wèn)題常用的方法例3(2018河南名校聯(lián)考)已知橢圓C：1(ab0)的上、下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上焦點(diǎn)F1到直線4x3y120的距離為3，橢圓C的離心率e.(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓E：1，設(shè)過(guò)點(diǎn)M(0,1)，斜率存在且不為0的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由解(1)由已知橢圓C的方程為1(ab0)，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)F1(0，c)，由F1到直線4x3y120的距離為3，得3，又橢圓C的離心率e，所以，又a2b2c2，求得a24，b23.橢圓C的方程為1.(2)存在理由如下：由(1)得橢圓E：1，設(shè)直線AB的方程為ykx1(k0)，聯(lián)立消去y并整理得(4k21)x28kx120，(8k)24(4k21)12256k2480.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.假設(shè)存在點(diǎn)P(0，t)滿足條件，由于，所以PM平分APB.所以直線PA與直線PB的傾斜角互補(bǔ)，所以kPAkPB0.即0，即x2(y1t)x1(y2t)0.(*)將y1kx11，y2kx21代入(*)式，整理得2kx1x2(1t)(x1x2)0，所以2k0，整理得3kk(1t)0，即k(4t)0，因?yàn)閗0，所以t4.所以存在點(diǎn)P(0,4)，使得.思維升華解決探索性問(wèn)題的注意事項(xiàng)存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)，要分類(lèi)討論(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開(kāi)放，采取另外的途徑跟蹤演練3(2018山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)模擬)已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓1(ab0)過(guò)點(diǎn)P，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)(1)求橢圓方程；(2)在x軸上是否存在定點(diǎn)D，使得過(guò)D的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)設(shè)點(diǎn)E為點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，且A，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線？若存在，求D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由解(1) 2a4， a2，將點(diǎn)P代入1，得b23.橢圓方程為1.(2)存在定點(diǎn)D滿足條件設(shè)D(t,0)，直線l方程為xmyt(m0)，聯(lián)立消去x，得(3m24)y26mty3t2120，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則E(x2，y2)，且0.由A，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，可得(x21)y1(x11)y20，即2my1y2(t1)(y1y2)0， 2m(t1)0，解得t4，此時(shí)由0得m24.存在定點(diǎn)D(4,0)滿足條件，且m滿足m24.真題體驗(yàn)1(2017全國(guó)改編)已知F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|DE|的最小值為_(kāi)答案16解析因?yàn)镕為y24x的焦點(diǎn)，所以F(1,0)由題意知，直線l1，l2的斜率均存在且不為0，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為，故直線l1，l2的方程分別為yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20，16k2160.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)48484216，當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k1時(shí)，取得等號(hào)2(2017山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：1(ab0)的離心率為，焦距為2.(1)求橢圓E的方程；(2)如圖，動(dòng)直線l：yk1x交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，C是橢圓E上一點(diǎn)，直線OC的斜率為k2，且k1k2.M是線段OC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且|MC|AB|23，M的半徑為|MC|，OS，OT是M的兩條切線，切點(diǎn)分別為S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值時(shí)直線l的斜率解(1)由題意知，e，2c2，所以c1，所以a，b1，所以橢圓E的方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程消去y，得(4k2)x24k1x10.由題意知，0，且x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2|.由題意可知，圓M的半徑r為r|AB|.由題設(shè)知k1k2，所以k2，因此直線OC的方程為yx.聯(lián)立方程得x2，y2，因此|OC|.由題意可知，sin.而，令t12k，則t1，(0,1)，因此1，當(dāng)且僅當(dāng)，即t2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)k1，所以sin ，因此，所以SOT的最大值為.綜上所述，SOT的最大值為，取得最大值時(shí)直線l的斜率為k1.押題預(yù)測(cè)已知橢圓C1：1(a0)與拋物線C2：y22ax相交于A，B兩點(diǎn)，且兩曲線的焦點(diǎn)F重合(1)求C1，C2的方程；(2)若過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與橢圓分別交于M，Q兩點(diǎn)，與拋物線分別交于P，N兩點(diǎn)，是否存在斜率為k(k0)的直線l，使得2？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由押題依據(jù)本題將橢圓和拋物線聯(lián)合起來(lái)設(shè)置命題，體現(xiàn)了對(duì)直線和圓錐曲線位置關(guān)系的綜合考查關(guān)注知識(shí)交匯，突出綜合應(yīng)用是高考的特色解(1)因?yàn)镃1，C2的焦點(diǎn)重合，所以，所以a24.又a0，所以a2.于是橢圓C1的方程為1，拋物線C2的方程為y24x.(2)假設(shè)存在直線l使得2，當(dāng)lx軸時(shí)，|MQ|3，|PN|4，不符合題意，直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)由可得k2x2(2k24)xk20，則x1x4，x1x41，且16k2160，所以|PN|.由可得(34k2)x28k2x4k2120，則x2x3，x2x3，且144k21440，所以|MQ|.若2，則2，解得k.故存在斜率為k的直線l，使得2.A組專(zhuān)題通關(guān)1已知橢圓1(ab0)的離心率e，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且F2與拋物線y24x的焦點(diǎn)重合(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)F1的直線交橢圓于B，D兩點(diǎn)，過(guò)F2的直線交橢圓于A，C兩點(diǎn)，且ACBD，求|AC|BD|的最小值解(1)拋物線y24x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以c1，又因?yàn)閑，所以a，所以b22，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)當(dāng)直線BD的斜率k存在且k0時(shí)，直線BD的方程為yk(x1)，代入橢圓方程1，并化簡(jiǎn)得(3k22)x26k2x3k260.36k44(3k22)(3k26)48(k21)0恒成立設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|BD|x1x2|.由題意知AC的斜率為，所以|AC|.|AC|BD|4.當(dāng)且僅當(dāng)3k222k23，即k1時(shí)，上式取等號(hào)，故|AC|BD|的最小值為.當(dāng)直線BD的斜率不存在或等于零時(shí)，可得|AC|BD|.綜上，|AC|BD|的最小值為.2已知橢圓 C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1F2的面積的最大值為2.(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線l：ykx2(k0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，若在x軸上存在點(diǎn)G，使得|GM|GN|，求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍解(1)由已知得解得a29，b28，c21，橢圓C的方程為1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為E(x0，y0)，點(diǎn)G(m，0)，使得|GM|GN|，則GEMN.由得x236kx360，由0，得kR且k0.x1x2，x0，y0kx02.GEMN，kGE，即，m.當(dāng)k0時(shí)，9k212，m0；當(dāng)k0時(shí)，9k12，00)(1)證明：k；(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且0.證明：|，|，|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差(1)證明設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.兩式相減，并由k，得k0.由題設(shè)知1，m，于是k.由題設(shè)得0m，故k.(2)解由題意得F(1,0)設(shè)P(x3，y3)，則(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及題設(shè)得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2mb0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該橢圓的左、右焦點(diǎn)，且|F1F2|2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，B是橢圓C上與坐標(biāo)原點(diǎn)O不共線的兩點(diǎn)，直線OA，OB，AB的斜率分別為k1，k2，k，且k1k2k2.試探究|OA|2|OB|2是否為定值？若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由解(1)由題意知，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)，根據(jù)橢圓定義可知|MF1|MF2|2a，所以2a 4，所以a24，b2a2c21，所以橢圓C：y21.(2)設(shè)直線AB：ykxm(km0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(14k2)x28kmx4m240，(8km)216(m21)(4k21)0，x1x2，x1x2，因?yàn)閗1k2k2，所以k2，即km(x1x2)m20(m0)，解得k2.|OA|2|OB|2xxyy(x1x2)22x1x25，所以|OA|2|OB|25.B組能力提高5(2018衡水模擬)已知橢圓C：1(ab0)的上頂點(diǎn)為點(diǎn)D，右焦點(diǎn)為F2(1,0)，延長(zhǎng)DF2交橢圓C于點(diǎn)E，且滿足|DF2|3|F2E|.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)F2作與x軸不重合的直線l和橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為點(diǎn)H，且直線HA，HB分別與直線x3交于M，N兩點(diǎn)，記直線F2M，F(xiàn)2N的斜率分別為k1，k2，則k1與k2之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)橢圓C的上頂點(diǎn)為D(0，b)，右焦點(diǎn)F2(1,0)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x，y)|DF2|3|F2E|，可得3，又(1，b)，(x1，y)，代入1，可得1，又a2b21，解得a22，b21，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，H，M，N.由題意可設(shè)直線AB的方程為xm