exp3_求代數(shù)方程的近似根

實(shí)驗(yàn)三求代數(shù)方程的近似根（解）一、問題背景和實(shí)驗(yàn)?zāi)康那蟠鷶?shù)方程的根是最常見的數(shù)學(xué)問題之一（這里稱為代數(shù)方程，主要是想和后面的微分方程區(qū)別開為簡明起見，在本實(shí)驗(yàn)的以下敘述中，把代數(shù)方程簡稱為方程），當(dāng)是一次多項(xiàng)式時(shí)，稱為線性方程，否則稱之為非線性方程當(dāng)是非線性方程時(shí)，由于的多樣性，尚無一般的解析解法可使用，但如果對任意的精度要求，能求出方程的近似根，則可以認(rèn)為求根的計(jì)算問題已經(jīng)解決，至少能滿足實(shí)際要求本實(shí)驗(yàn)介紹一些求方程實(shí)根的近似值的有效方法，要求在使用這些方法前先確定求根區(qū)間，或給出某根的近似值在實(shí)際問題抽象出的數(shù)學(xué)模型中，可以根據(jù)物理背景確定；也可根據(jù)的草圖等方法確定，還可用對分法、迭代法以及牛頓切線法大致確定根的分布情況通過本實(shí)驗(yàn)希望你能：1. 了解對分法、迭代法、牛頓切線法求方程近似根的基本過程；2. 求代數(shù)方程（組）的解二、 相關(guān)函數(shù)（命令）及簡介1abs( )：求絕對值函數(shù)2diff(f)：對獨(dú)立變量求微分，f 為符號表達(dá)式diff(f, a)：對變量a求微分，f 為符號表達(dá)式diff(f, a, n)：對變量 a 求 n 次微分，f 為符號表達(dá)式例如：syms x tdiff(sin(x2)*t6, t, 6)ans= 720*sin(x2)3roots(c(1), c(2), , c(n+1)：求解多項(xiàng)式的所有根例如：求解：p = 1 -6 -72 -27;r = roots(p)r = 12.1229 -5.7345 -0.38844solve(表達(dá)式)：求表達(dá)式的解solve(2*sin(x)=1)ans = 1/6*pi5linsolve(A, b)：求線性方程組 A*x=b 的解 例如：A= 9 0; -1 8; b=1; 2;linsolve(A, b)ans= 1/919/726fzero(fun, x0)：在x0附近求fun 的解其中fun為一個(gè)定義的函數(shù)，用“函數(shù)名”方式進(jìn)行調(diào)用例如：fzero(sin, 3)ans= 3.14167subs(f, x , a)：將 a 的值賦給符號表達(dá)式 f 中的 x，并計(jì)算出值例如：subs(x2 , x , 2)ans = 4三、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容首先，我們介紹幾種與求根有關(guān)的方法：1 對分法對分法思想：將區(qū)域不斷對分，判斷根在某個(gè)分段內(nèi)，再對該段對分，依此類推，直到滿足精度為止對分法適用于求有根區(qū)間內(nèi)的單實(shí)根或奇重實(shí)根設(shè)在上連續(xù)，即 ，或，則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，在內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使下面的方法可以求出該根：(1) 令，計(jì)算；(2) 若，則是的根，停止計(jì)算，輸出結(jié)果若 ，則令，若，則令，；，有、以及相應(yīng)的(3) 若 (為預(yù)先給定的精度要求)，退出計(jì)算，輸出結(jié)果；反之，返回(1)，重復(fù)(1)，(2)，(3)以上方法可得到每次縮小一半的區(qū)間序列，在中含有方程的根當(dāng)區(qū)間長很小時(shí)，取其中點(diǎn)為根的近似值，顯然有以上公式可用于估計(jì)對分次數(shù)分析以上過程不難知道，對分法的收斂速度與公比為的等比級數(shù)相同由于，可知大約對分10次，近似根的精度可提高三位小數(shù)對分法的收斂速度較慢，它常用來試探實(shí)根的分布區(qū)間，或求根的近似值2. 迭代法1) 迭代法的基本思想：由方程構(gòu)造一個(gè)等價(jià)方程從某個(gè)近似根出發(fā)，令，可得序列，這種方法稱為迭代法若 收斂，即，只要連續(xù)，有即可知，的極限是的根，也就是的根當(dāng)然，若發(fā)散，迭代法就失敗以下給出迭代過程收斂的一些判別方法：定義：如果根的某個(gè)鄰域中，使對任意的，迭代過程，收斂，則稱迭代過程在附近局部收斂定理1： 設(shè)，在的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，并且，則對任何，由迭代決定的序列收斂于定理2：條件同定理 1，則定理3：已知方程，且(1) 對任意的，有(2) 對任意的，有，則對任意的，迭代生成的序列收斂于的根，且 以上給出的收斂定理中的條件要嚴(yán)格驗(yàn)證都較困難，實(shí)用時(shí)常用以下不嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)：當(dāng)根區(qū)間較小，且對某一，明顯小于1時(shí)，則迭代收斂 (參見附錄3)2) 迭代法的加速：a) 松弛法：若與同是的近似值，則是兩個(gè)近似值的加權(quán)平均，其中稱為權(quán)重，現(xiàn)通過確定看能否得到加速迭代方程是：其中，令，試確定：當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)，時(shí)，可望獲得較好的加速效果，于是有松弛法：，松弛法的加速效果是明顯的 (見附錄4)，甚至不收斂的迭代函數(shù)經(jīng)加速后也能獲得收斂b) Altken方法：松弛法要先計(jì)算，在使用中有時(shí)不方便，為此發(fā)展出以下的 Altken 公式：，是它的根，是其近似根設(shè)，因?yàn)?，用差商近似代替，?，解出，得由此得出公式 ；，這就是Altken 公式，它的加速效果也是十分明顯的，它同樣可使不收斂的迭代格式獲得收斂(見附錄5)3. 牛頓(Newton)法（牛頓切線法）1) 牛頓法的基本思想：是非線性方程，一般較難解決，多采用線性化方法記：是一次多項(xiàng)式，用作為的近似方程的解為 記為，一般地，記 即為牛頓法公式.2) 牛頓法的收斂速度：對牛頓法，迭代形式為：注意分子上的，所以當(dāng)時(shí)，牛頓法至少是二階收斂的，而在重根附近，牛頓法是線性收斂的牛頓法的缺點(diǎn)是：(1)對重根收斂很慢；(2)對初值要求較嚴(yán)，要求相當(dāng)接近真值因此，常用其他方法確定初值，再用牛頓法提高精度4. 求方程根(解)的其它方法(1) solve(x3-3*x+1=0)(2) roots(1 0 -3 1)(3) fzero(x3-3*x+1, -2)(4) fzero(x3-3*x+1, 0.5)(5) fzero(x3-3*x+1, 1.4)(6) linsolve(1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 0, 1, 2, 3)體會一下，(2)(5) 用了上述 13 中的哪一種方法？以下是本實(shí)驗(yàn)中的幾個(gè)具體的實(shí)驗(yàn)，詳細(xì)的程序清單參見附錄具體實(shí)驗(yàn)1：對分法先作圖觀察方程：的實(shí)根的分布區(qū)間，再利用對分法在這些區(qū)間上分別求出根的近似值輸入以下命令，可得的圖象：f=x3-3*x+1; g=0; ezplot(f, -4, 4); hold on; ezplot(g, -4, 4); %目的是畫出直線 y=0，即 x 軸grid on; axis(-4 4 -5 5); hold off請?zhí)顚懴卤恚簩?shí)根的分布區(qū)間 該區(qū)間上根的近似值在某區(qū)間上求根的近似值的對分法程序參見附錄1具體實(shí)驗(yàn)2：普通迭代法采用迭代過程：求方程在 0.5 附近的根，精確到第 4 位小數(shù)構(gòu)造等價(jià)方程：用迭代公式： ，用 Matlab 編寫的程序參見附錄2請利用上述程序填寫下表：分析：將附錄2第4行中的分別改為以及，問運(yùn)行的結(jié)果是什么？你能分析得到其中的原因嗎？看看下面的“具體實(shí)驗(yàn)3”是想向你表達(dá)一個(gè)什么意思用 Matlab 編寫的程序參見附錄3具體實(shí)驗(yàn)3：收斂/發(fā)散判斷設(shè)方程的三個(gè)根近似地取，和，這些近似值可以用上面的對分法求得迭代形式一：收斂 (很可能收斂，下同)不收斂 (很可能不收斂，下同) 不收斂迭代形式二： 收斂 不收斂 不收斂迭代形式三： 不收斂收斂收斂具體實(shí)驗(yàn)4：迭代法的加速1松弛迭代法，迭代公式為 程序參見附錄4具體實(shí)驗(yàn)5：迭代法的加速2Altken迭代法迭代公式為：，程序參見附錄5具體實(shí)驗(yàn)6：牛頓法用牛頓法計(jì)算方程在-2到2之間的三個(gè)根提示：，迭代公式：程序參見附錄6 （牛頓法程序）具體實(shí)驗(yàn)7：其他方法求下列代數(shù)方程（組）的解：（1）命令：solve(x5-x+1=0)（2）命令：x, y=solve(2*x+3*y=0, 4*x2+3*y=1)(3) 求線性方程組的解，已知，命令：for i=1:5for j=1:5m(i, j)=i+j-1;endendm(5, 5)=0;b=1:5linsolve(m, b)思考：若 ，或是類似的但階數(shù)更大的稀疏方陣，則應(yīng)如何得到？四、自己動手1對分法可以用來求偶重根附近的近似解嗎? 為什么?2對照具體實(shí)驗(yàn)2、4、5，你可以得出什么結(jié)論?3選擇適當(dāng)?shù)牡^程，分別使用：（1）普通迭代法；（2）與之相應(yīng)的松弛迭代法和 Altken 迭代法求解方程 在 1.4 附近的根，精確到4位小數(shù)，請注意迭代次數(shù)的變化4分別用對分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代法、牛頓切法線等5種方法，求方程 的正的近似根，(建議取 時(shí)間許可的話，可進(jìn)一步考慮 的情況)五、附錄附錄1：對分法程序（fulu1.m）syms x fx;a=0;b=1;fx=x3-3*x+1;x=(a+b)/2;k=0;ffx=subs(fx, x, x);if ffx=0; disp(the root is:, num2str(x)else disp(k ak bk f(xk)while abs(ffx)0.0001 & ab; disp(num2str(k), , num2str(a), , num2str(b), , num2str(ffx) fa=subs(fx, x, a);ffx=subs(fx, x, x);if fa*ffx0.0001; disp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(ffx); x=subs(gx, x, x);ffx=subs(fx, x, x);k=k+1;enddisp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(ffx)附錄3：收斂/發(fā)散判斷（fulu3.m）syms x g1 g2 g3 dg1 dg2 dg3;x1=0.347;x2=1.53;x3=-1.88;g1=(x3+1)/3;dg1=diff(g1, x);g2=1/(3-x2);dg2=diff(g2, x);g3=(3*x-1)(1/3);dg3=diff(g3, x);disp(1 , num2str(abs(subs(dg1, x, x1), , . num2str(abs(subs(dg1, x, x2), , num2str(abs(subs(dg1, x, x3)disp(2 , num2str(abs(subs(dg2, x, x1), , . num2str(abs(subs(dg2, x, x2), , num2str(abs(subs(dg2, x, x3)disp(3 , num2str(abs(subs(dg3, x, x1), , . num2str(abs(subs(dg3, x, x2), , num2str(abs(subs(dg3, x, x3)附錄4：松弛迭代法（fulu4.m）syms fx gx x dgx;gx=(x3+1)/3;fx=x3-3*x+1;dgx=diff(gx, x);x=0.5;k=0;ggx=subs(gx, x, x);ffx=subs(fx, x, x);dgxx=subs(dgx, x, x);disp(k x w)while abs(ffx)0.0001; w=1/(1-dgxx); disp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(w) x=(1-w)*x+w*ggx;k=k+1; ggx=subs(gx, x, x);ffx=subs(fx, x, x);dgxx=subs(dgx, x, x);end disp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(w)附錄5： Altken 迭代法（fulu5.m） syms x fx gx;gx=(x3+1)/3;fx=x3-3*x+1;disp(k x x1 x2)x=0.5;k=0;ffx=subs(fx, x, x);while abs(ffx)0.0001;u=subs(gx, x, x);v=subs(gx, x, u); disp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(u), , num2str(v)x=v-(v-u)2/(v-2*u+x);k=k+1;ffx=subs(fx, x, x);enddisp(num2str(k), , num2str(x), , num2str(u), , num2str(v)附錄6：牛頓法（fulu6.m）syms x fx gx;fx=x3-3*x+1;gx=diff(fx, x);x1=-2;x2=0.5;x3=1.4;k=0;disp(k x1 x2 x3)fx1=subs(fx, x, x1);fx2=subs(fx, x, x2);fx3=subs(fx, x, x3);gx1=subs(gx, x, x1);gx2=subs(gx, x, x2);gx3=subs(gx, x, x3);while abs(fx1)0.0001|abs(fx2)0.0001|abs(fx3)0.0001;disp(num2str(k), ,