數(shù)列極限的幾種計(jì)算方.doc

資料收集于網(wǎng)絡(luò) 如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站 刪除 謝謝 數(shù)列極限的幾種計(jì)算方法數(shù)學(xué)的應(yīng)用，在我們的生活中隨處可見(jiàn)，而數(shù)學(xué)分析中的數(shù)列極限是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是貫穿于整個(gè)微積分教學(xué)的主線,它描述了變量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化趨勢(shì)，是從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限,從近似認(rèn)識(shí)精確，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變的必備推理工具.同時(shí)，數(shù)列極限又是極限的基礎(chǔ)，它的計(jì)算是微積分教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，所以本文通過(guò)典型實(shí)例，對(duì)數(shù)列極限的計(jì)算方法做了一些規(guī)律性的分析和總結(jié).二 計(jì)算方法1 定義法設(shè)為數(shù)列，為任一常數(shù)，若對(duì)任給的,總存在,使得當(dāng)時(shí),有,則稱(chēng)數(shù)列收斂于,或稱(chēng)數(shù)列以為極限. 注1 一般來(lái)說(shuō)，用定義求數(shù)列極限局限性很大，它更多地被應(yīng)用于有關(guān)極限值的相關(guān)證明，對(duì)于如何用數(shù)列極限定義證明數(shù)列極限問(wèn)題，常用的基本方法有:適當(dāng)放大法，條件放大法.例題1 用定義法證明數(shù)列極限分析 由于 （1）因此，對(duì)任給的只要便有即當(dāng)左邊的式子成立.又由于（1）式是在的條件下成立的，故應(yīng)取 證明 任給取根據(jù)分析，當(dāng)時(shí)有 成立.于是此題得證.2 利用數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則計(jì)算數(shù)列極限設(shè)極限與均存在，則 注2 數(shù)列極限的四則運(yùn)算只能推廣到有限個(gè)數(shù)列的情況，而不能推廣到無(wú)限個(gè)數(shù)列或不定個(gè)數(shù)的數(shù)列上去.例題2 求極限 分析 由于，所以有，.于是給分子分母同時(shí)除以，再利用數(shù)列極限四則運(yùn)算法計(jì)算即可.解 .3 利用數(shù)列的一些特征計(jì)算數(shù)列極限注3 此種方法也就是直接將數(shù)列進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而計(jì)算出數(shù)列極限.方法只適用于一些特殊的數(shù)列，不具有一般性.例題3 計(jì)算極限分析 觀察數(shù)列，可以看出數(shù)列極限為，通項(xiàng)，由，所以括號(hào)中的式子可用裂項(xiàng)相消法計(jì)算，以此可以解出數(shù)列極限.解 4 利用夾逼準(zhǔn)則計(jì)算數(shù)列極限設(shè)均存在，且，若數(shù)列滿足，則有注4 利用夾逼準(zhǔn)則求極限的關(guān)鍵是:將原數(shù)列適當(dāng)?shù)胤糯蠛涂s小， 使得放大后和縮小后的兩個(gè)新數(shù)列的極限值相等，則原數(shù)列的極限值存在且等于新數(shù)列的極限值.例題4 計(jì)算數(shù)列極限分析 括號(hào)里的數(shù)列極限不能用上面的方法，但是，數(shù)列可以放大和縮小，所以關(guān)鍵是找到極限值相等的數(shù)列與，進(jìn)而可以用夾逼準(zhǔn)則來(lái)計(jì)算數(shù)列極限.解 5 利用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”準(zhǔn)則求解數(shù)列極限(a)如果數(shù)列單調(diào)增加且有上界，即存在數(shù)M,使得那么存在且不大于M.(b)如果數(shù)列單調(diào)遞減且下界，即存在數(shù)m,使得那么存在且不小于m.注5 遞推數(shù)列極限的計(jì)算是數(shù)列極限計(jì)算中的一大類(lèi)問(wèn)題.而“單調(diào)有界準(zhǔn)則”是判別遞推數(shù)列極限是否存在最常用的一種方法，它不用借助其它數(shù)列而是直接利用所給數(shù)列自身的單調(diào)性和有界性來(lái)判別極限的存在性.例題5 計(jì)算數(shù)列極限分析 (1)通過(guò)觀察可以看出即數(shù)列單調(diào)增加；（2）即數(shù)列有上界.所以，由單調(diào)有界準(zhǔn)則知，數(shù)列極限存在，設(shè)，然后計(jì)算出常數(shù)即為數(shù)列極限.解 由單調(diào)有界準(zhǔn)則知，數(shù)列極限存在，設(shè)所以給等式兩邊取極限得 例題6 設(shè)，證明數(shù)列，收斂，且有相同的極限.分析 因數(shù)列與數(shù)列之間有大小關(guān)系，所以只要明確兩者之間的關(guān)系，利用夾逼準(zhǔn)則，就可證明兩個(gè)數(shù)列極限均存在，進(jìn)而證明兩個(gè)極限相等.解 且有，.所以 數(shù)列單調(diào)遞減有下界，數(shù)列單調(diào)增加有上界；由單調(diào)有界準(zhǔn)則知 兩個(gè)數(shù)列的極限均存在.設(shè)于是有 求出即兩個(gè)數(shù)列有相等的極限.6 利用多項(xiàng)式型極限性質(zhì)求得數(shù)列極限多項(xiàng)式型極限：例題7 求極限解 由上面的性質(zhì)可知此題的極限屬于型所以7 利用數(shù)列與子列的關(guān)系計(jì)算數(shù)列極限定理 若數(shù)列收斂于，則它的任何子列也收斂于,即 注6 此定理經(jīng)常被用來(lái)判斷一個(gè)數(shù)列的發(fā)散,即若數(shù)列有兩個(gè)子列極限 不相等,則數(shù)列必定發(fā)散. 例題8 證明數(shù)列發(fā)散.證明 取則子列收斂于0，而子列收斂于1，所以 由上面定理及注意的可知數(shù)列發(fā)散.8 利用柯西收斂原理計(jì)算數(shù)列極限定義 數(shù)列,若對(duì)任意給的,存在,使得當(dāng)時(shí),成立,則稱(chēng)數(shù)列是一個(gè)基本數(shù)列.柯西收斂原理 數(shù)列收斂的充分必要條件是：數(shù)列是基本數(shù)列.例題9 證明數(shù)列收斂 .證明 對(duì),當(dāng)時(shí),有所以,取，則由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則知，數(shù)列是收斂的.9 利用壓縮性條件計(jì)算數(shù)列極限定理 數(shù)列滿足條件：則數(shù)列收斂.例題10 已知數(shù)列，證明數(shù)列極限存在,并求此極限.解 由假設(shè)知且易證,于是即數(shù)列滿足壓縮性條件，所以數(shù)列極限存在.假設(shè)極限為，即，則由遞推公式得 ，解之，得到或(舍去)，所以.10 利用兩個(gè)重要極限計(jì)算數(shù)列極限(a) (b) 注7 使用此種方法，關(guān)鍵是將數(shù)列經(jīng)過(guò)變形化成必要的形式,而且此種方法使用的很普遍,特別是第二個(gè)極限要著重掌握并靈活運(yùn)用.例題11 求極限分析 由于原式中出現(xiàn)，立刻想到用重要極限，但是首先要對(duì)原式進(jìn)行變形，得到我們需要的形式，再進(jìn)行求解.解 因?yàn)?利用重要極限得原式=0.例題8 求極限分析 利用重要極限，關(guān)鍵是要極限符合型.解 =11 應(yīng)用函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系求極限 函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系是:若，則.例題9 求數(shù)列極限分析 這是數(shù)列極限，利用函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，要先得找到數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)，再求函數(shù)極限，進(jìn)而得到數(shù)列極限.解 數(shù)列極限對(duì)應(yīng)的函數(shù)極限為,對(duì),用公式得 而 于是12 利用等價(jià)無(wú)窮小替換法求極限注8 應(yīng)用這個(gè)關(guān)系可以用求函數(shù)極限的方法求某些函數(shù)的極限， 其關(guān)鍵是找相應(yīng)的函數(shù). 常見(jiàn)的一些等價(jià)無(wú)窮小量：當(dāng)時(shí)，定理 設(shè)函數(shù)在上有定義，且有 (1) 若則(2) 若則例題10 求極限 分析 先將數(shù)列極限轉(zhuǎn)換成函數(shù)極限，然后再利用上面的等價(jià)變換求解.解 令原極限中的，則數(shù)列極限所對(duì)應(yīng)的函數(shù)極限為于是=,進(jìn)而特別的 在利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限時(shí)，只有對(duì)所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)代換，而對(duì)極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代.例題11 求極限 分析 對(duì)這道題，如果用當(dāng)時(shí)，則會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果0.解 事實(shí)上當(dāng)時(shí)，所以 13 利用定積分定義求數(shù)列極限應(yīng)用定積分定義求數(shù)列的極限就是把數(shù)列的通項(xiàng)看作是某個(gè)連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的積分和， 然后通過(guò)計(jì)算定積分的值來(lái)求解數(shù)列的極限.關(guān)鍵是利用例題12 設(shè)求極限分析 可將數(shù)列化為，于是利用定積分定義，在區(qū)間中加入個(gè)分點(diǎn)，將區(qū)間分割成等分，令且，其中區(qū)間長(zhǎng)度；然后數(shù)列求極限就是黎曼和求極限，而黎曼和求極限就是用到定積分定義，所以可將極限轉(zhuǎn)換成定積分進(jìn)行計(jì)算.解 令，由分析可得14 利用泰勒展式求解數(shù)列極限下面是一些常用函數(shù)的泰勒展式：其中，上面的是泰勒余項(xiàng),且例題13 求分析 這是的極限，可以用洛必達(dá)法則計(jì)算，但是計(jì)算量非常大；用泰勒展式可以大大減小計(jì)算量，不易出錯(cuò)，計(jì)算方便.解 利用泰勒公式 15 利用級(jí)數(shù)理論和級(jí)數(shù)收斂的必要條件求數(shù)列極限級(jí)數(shù)收斂的必要條件: 若級(jí)數(shù)收斂，則應(yīng)用這個(gè)結(jié)論求某些數(shù)列的極限方法是把給定的數(shù)列通項(xiàng)看作是某個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)， 然后用級(jí)數(shù)的斂散性判別法， 判定該級(jí)數(shù)收斂， 此時(shí)數(shù)列的極限必為零.級(jí)數(shù)是一個(gè)無(wú)窮序列和的形式，其部分和就是一個(gè)數(shù)列，有時(shí)為求方便可將數(shù)列極限看做某個(gè)級(jí)數(shù)的部分和，這樣可以使得計(jì)算更加簡(jiǎn)捷，更高效的得出結(jié)果.例題14 求分析 我們知道形如的數(shù)列極限值是歐拉常數(shù),有（c是歐拉常數(shù)）.所以此題可以利用這一結(jié)論進(jìn)行計(jì)算. 解 =由分析可知上式=16 用Stolz定理求解數(shù)列極限Stolz定理：設(shè)數(shù)列與數(shù)列，數(shù)列是單調(diào)增加的正無(wú)窮大量，且（可以是有限量，與），則 證明 首先考慮=0的情況.由,可知：由于數(shù)列是正無(wú)窮大量，顯然 可以要求,于是,因?yàn)?固定,又可以取到從而 當(dāng)是非零有限數(shù)時(shí),令于是從而由得到 對(duì)于的情況，首先于是也單調(diào)增加，且從可知是正無(wú)窮大量.將前面的結(jié)論應(yīng)用到,得到因而 對(duì)于的情況，證明方法和上面的類(lèi)同.例題15 設(shè)求極限解 令，由于是得到 例題16 求極限 （為自然數(shù)）.解 令,由 =得到 例題17 利用Stolz定理，證明證明 令,由 = =.特別地，（1）在Stolz 定理中,若,不能得出的結(jié)論.如取,但是，即極限不存在.（2）在Stolz定理中,若不存在，不能得出不存在的結(jié)論.如取,不存在，但是,即17 利用Stiring公式求極限Stiring公式：.例題18 計(jì)算解 adj.結(jié)實(shí)的；堅(jiān)固的；堅(jiān)定的于是其中為歐拉常數(shù).18 利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系求解極限（1）若，則（2）若且，則例題19 求下列極限（1） （2）解 （1）由，故.（2）由，故.19 變量替換法求解極限例題20 求極限 分析 當(dāng)時(shí)，分子分母都趨于，不能直接用法則，但是可注意到，所以作變量替換可以求解.解 令，則 原式=.20 利用拉格朗日中值定理求解極限定理 若函數(shù)滿足下面條件：（1）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則 在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.上式可變形為： 例題21 求解極限解 令，應(yīng)用拉格朗日中值定理即 因?yàn)檫B續(xù)，所以.從而有21 利用公式法求解數(shù)列極限已知極限：(1); (2); (3);(4); (5); (6);(7) ; (8) (歐拉常數(shù))；(9) 若,則；(10) 若,則；(11) 若,則.三 結(jié)束語(yǔ)本文討論了幾種求數(shù)列極限的方法 , 注意發(fā)現(xiàn)和利用數(shù)列的特性 ,選擇適當(dāng)?shù)姆椒?有時(shí)還要運(yùn)用一些技巧 ，進(jìn)行數(shù)列極限的求解。同時(shí)，在學(xué)習(xí)數(shù)列極限的理論時(shí) ,只有不斷總結(jié) , 不斷完善知識(shí)理論和結(jié)構(gòu) , 才能在解題思路中有所發(fā)現(xiàn) , 有所創(chuàng)新 . 本文列舉的十二種求數(shù)列極限的方法是有限的 , 還有更多更好的解題方法和思路 , 需要我們進(jìn)一步去總結(jié) .參考文獻(xiàn)1 數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）,第四版 . 北京： 高等教育出版社，2010.72 數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)），第四版 . 北京： 高等教育出版社，2010.73陳紀(jì)修 於崇華 金路.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）. 北京 ：高等教育出版社，1999.4陳紀(jì)修 於崇華 金路.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）. 北京 ：高等教育出版社，1999.5張?zhí)斓?孫書(shū)榮 數(shù)學(xué)分析輔導(dǎo)及習(xí)題精解（華東師大第四版 上冊(cè)）.延吉：延邊大學(xué)