世紀(jì)金榜二輪專(zhuān)題輔導(dǎo)與練習(xí)專(zhuān)題六第二講.ppt

第二講橢圓 雙曲線與拋物線 一 主干知識(shí)1 圓錐曲線的定義 2 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 y2 2px x2 2py 二 重要性質(zhì)1 橢圓 雙曲線中a b c之間的關(guān)系 1 在橢圓中 離心率為 2 在雙曲線中 離心率為 a2 b2 c2 c2 b2 a2 2 雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo) 1 雙曲線 a 0 b 0 的漸近線方程為 焦點(diǎn)F1 F2 2 雙曲線 a 0 b 0 的漸近線方程為 焦點(diǎn)坐標(biāo)F1 F2 c 0 c 0 0 c 0 c 3 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程 1 拋物線y2 2px p 0 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 準(zhǔn)線方程為 2 拋物線x2 2py p 0 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 準(zhǔn)線方程為 2013 廣東高考改編 已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F 1 0 離心率等于則C的方程是 解析 設(shè)C的方程為 a b 0 則c 1 C的方程是答案 2 2012 湖南高考改編 已知雙曲線C 的焦距為10 點(diǎn)P 2 1 在C的漸近線上 則C的方程為 解析 由焦距為10 知2c 10 c 5 將P 2 1 代入得a 2b a2 b2 c2 5b2 25 b2 5 a2 4b2 20 所以方程為答案 3 2013 濟(jì)南模擬 拋物線y2 12x的準(zhǔn)線與雙曲線的兩漸近線圍成的三角形的面積為 解析 拋物線y2 12x的準(zhǔn)線為x 3 雙曲線的兩漸近線為和令x 3 分別解得所以三角形的底為高為3 所以三角形的面積為答案 4 2013 江蘇高考 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 a 0 b 0 右焦點(diǎn)為F 右準(zhǔn)線為l 短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B 設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d1 F到l的距離為d2 若則橢圓C的離心率為 解析 由原點(diǎn)到直線BF的距離為d1得因F到l的距離為d2故又所以又解得答案 5 2013 宿遷模擬 已知雙曲線 a 0 b 0 的一條漸近線的斜率為且右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合 則該雙曲線的方程為 解析 因?yàn)榈慕裹c(diǎn)為所以a2 b2 3 所以雙曲線方程為答案 熱點(diǎn)考向1圓錐曲線的定義 標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 典例1 1 2013 天津模擬 已知拋物線y2 2px p 0 上一點(diǎn)M 1 m m 0 到其焦點(diǎn)F的距離為5 則以M為圓心且與y軸相切的圓的方程為 2 2013 北京模擬 已知雙曲線的中心在原點(diǎn) 一個(gè)焦點(diǎn)為點(diǎn)P在雙曲線上 且線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為 0 2 則此雙曲線的方程是 3 2013 長(zhǎng)沙模擬 橢圓C a b 0 的左 右焦點(diǎn)分別為F1 F2 若橢圓C上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P 使得 F1F2P為等腰三角形 則橢圓C的離心率的取值范圍是 解題探究 1 圓M方程的求解思路 據(jù)點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離為5 由拋物線的定義得p 根據(jù)點(diǎn)M 1 m m 0 在拋物線y2 2px上 得點(diǎn)M 根據(jù)圓M與y軸相切得圓M的半徑為r 8 1 4 1 2 根據(jù)線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為 0 2 能得到什么 提示 得P點(diǎn)坐標(biāo) 4 且P與另一焦點(diǎn)連線垂直于x軸 從而求得PF1 PF2的值 進(jìn)而據(jù)定義得2a 3 求橢圓C離心率的關(guān)鍵是什么 提示 關(guān)鍵是據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于a c的不等式 進(jìn)而得到關(guān)于e的不等式求解 解析 1 由拋物線的定義得解得p 8 所以拋物線的方程為y2 16x 又點(diǎn)M 1 m 在此拋物線上 所以有m2 16 且m 0 得m 4 即M 1 4 又圓M與y軸相切 故其半徑為r 1 所以圓的方程為 x 1 2 y 4 2 1 答案 x 1 2 y 4 2 1 2 由雙曲線的焦點(diǎn)可知c 線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為 0 2 所以設(shè)右焦點(diǎn)為F2 則有PF2 x軸 且PF2 4 點(diǎn)P在雙曲線右支上 所以所以PF1 PF2 6 4 2 2a 所以a 1 b2 c2 a2 4 所以雙曲線的方程為答案 3 當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的兩個(gè)短軸端點(diǎn)時(shí) F1F2P為等腰三角形 此時(shí)有2個(gè) 若點(diǎn)P不在短軸的端點(diǎn)時(shí) 要使 F1F2P為等腰三角形 則有PF1 F1F2 2c 或PF2 F1F2 2c 此時(shí)PF2 2a 2c 所以有PF1 F1F2 PF2 即2c 2c 2a 2c 所以3c a 即 又此時(shí)點(diǎn)P不在短軸上 所以PF1 BF1 即2c a 所以所以橢圓的離心率滿足答案 方法總結(jié) 1 圓錐曲線定義的應(yīng)用 1 已知橢圓 雙曲線上一點(diǎn)及焦點(diǎn) 首先要考慮使用橢圓 雙曲線的定義求解 2 靈活應(yīng)用拋物線的定義 將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化 2 求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法 1 定義法 2 待定系數(shù)法 頂點(diǎn)在原點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的拋物線 可設(shè)為y2 2ax或x2 2ay a 0 避開(kāi)對(duì)焦點(diǎn)在哪個(gè)半軸上的分類(lèi)討論 此時(shí)a不具有p的幾何意義 中心在坐標(biāo)原點(diǎn) 焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上 橢圓方程可設(shè)為雙曲線方程可設(shè)為這樣可以避免討論和煩瑣的計(jì)算 3 求橢圓 雙曲線離心率的思路根據(jù)已知條件先確定a b c的等量關(guān)系 然后把b用a c代換 得到關(guān)于的齊次方程 再求的值 在雙曲線中由于故雙曲線的漸近線的斜率與離心率密切相關(guān) 4 雙曲線的漸近線 1 求法 令雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的左邊為零 分解因式可得 2 用法 可得的值 利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程 變式訓(xùn)練 2013 四川高考改編 從橢圓 a b 0 上一點(diǎn)P向x軸作垂線 垂足恰為左焦點(diǎn)F1 A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn) B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn) 且AB OP O是坐標(biāo)原點(diǎn) 則該橢圓的離心率為 解題提示 解題時(shí)要注意兩個(gè)條件的應(yīng)用 一是PF1與x軸垂直 二是AB OP 解析 根據(jù)題意可知點(diǎn)P c y0 代入橢圓的方程可得根據(jù)AB OP 可知解得答案 熱點(diǎn)考向2圓錐曲線中點(diǎn) 線 參數(shù)等的存在性問(wèn)題 典例2 2013 棗莊模擬 已知橢圓C O x2 y2 b2 點(diǎn)A F分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn) 點(diǎn)P是 O上的動(dòng)點(diǎn) 1 若P 1 PA是 O的切線 求橢圓C的方程 2 是否存在這樣的橢圓C 使得恒為常數(shù) 如果存在 求出這個(gè)數(shù)及C的離心率e 如果不存在 說(shuō)明理由 解題探究 1 求橢圓C的方程的思路 由點(diǎn)P 1 在 O上得b2 由PA是 O的切線 那么kPA 得a 2 求解存在性問(wèn)題的三個(gè)步驟 列式 先假設(shè)存在 根據(jù)題設(shè)條件由點(diǎn)P在x軸上的特殊位置得 求解 解此方程 方程中含有絕對(duì)值 此時(shí)正確的處理方式為 結(jié)論 得出橢圓C 填 存在 不存在 4 4 分類(lèi)討論 存在 解析 1 由P 1 在 O x2 y2 b2上 得b2 1 3 4 直線PA的斜率kPA 而直線PA的斜率所以解得a 4 所以a2 16 橢圓C的方程為 2 假設(shè)存在橢圓C 使得恒為常數(shù) 橢圓C的半焦距為c 當(dāng)P b 0 時(shí) 則有當(dāng)P b 0 時(shí) 依假設(shè)有 當(dāng)c b 0時(shí) 有所以 a b b c a b c b 化簡(jiǎn)整理得a c 這是不可能的 當(dāng)c b 0時(shí) 有所以 a b b c a b b c 化簡(jiǎn)整理得ac b2 0 所以c2 a2 ac 0 兩邊同除以a2 得e2 e 1 0 解得 0 1 舍去 可見(jiàn) 若存在橢圓C滿足題意 只可能離心率 設(shè)P x y 為 O x2 y2 b2上任意一點(diǎn) 則由上 c2 a2 ac 0 所以a2 c2 ac 所以從而代入 式得所以存在橢圓C 這個(gè)數(shù)為橢圓離心率為 方法總結(jié) 存在性問(wèn)題求解的思路及策略 1 思路 先假設(shè)存在 推證滿足條件的結(jié)論 若結(jié)論正確則存在 若結(jié)論不正確則不存在 2 策略 當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類(lèi)討論 當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí) 先假設(shè)成立 再推出條件 當(dāng)條件和結(jié)論都不知 按常規(guī)法解題很難時(shí) 可先由特殊情況探究 再推廣到一般情況 變式訓(xùn)練 2013 鹽城模擬 已知橢圓C1 a b 0 過(guò)點(diǎn) 2 且它的離心率直線l y kx t與橢圓C1交于M N兩點(diǎn) 1 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 當(dāng)時(shí) 求證 M N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為定值 3 若直線l與圓C2 x 1 2 y2 1相切 橢圓上一點(diǎn)P滿足 0 求實(shí)數(shù) 的取值范圍 解析 1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 a b 0 由已知得 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 設(shè)M x1 y1 N x2 y2 則為定值 3 因?yàn)橹本€l y kx t與圓 x 1 2 y2 1相切 所以把y kx t代入并整理得 3 4k2 x2 8ktx 4t2 24 0 設(shè)M x1 y1 N x2 y2 則有x1 x2 y1 y2 kx1 t kx2 t k x1 x2 2t 因?yàn)?x1 x2 y1 y2 所以 又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上 所以因?yàn)閠2 0 所以所以0 2 2 所以 的取值范圍為 熱點(diǎn)考向3與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題 典例3 2013 重慶模擬 已知橢圓的中心在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在x軸上 離心率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M 4 1 直線l y x m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A B 1 求橢圓的方程 2 求m的取值范圍 3 若直線l不過(guò)點(diǎn)M 求證 直線MA MB的斜率互為相反數(shù) 解題探究 1 設(shè)橢圓方程為 a b 0 由得 進(jìn)而由M 4 1 在橢圓上 得a2 b2 2 求m的取值范圍的關(guān)鍵是 3 要證該結(jié)論成立 只需證明直線MA MB的斜率的和為 即可 a2 4b2 20 5 直線與橢圓方程聯(lián)立消元所得 一元二次方程的判別式 0 0 解析 1 設(shè)橢圓的方程為 a b 0 因?yàn)樗詀2 4b2 又因?yàn)镸 4 1 在橢圓上 所以解得b2 5 a2 20 故橢圓方程為 2 將y x m代入并整理得5x2 8mx 4m2 20 0 8m 2 20 4m2 20 0 解得 5 m 5 3 設(shè)直線MA MB的斜率分別為k1和k2 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 則x1 x2 x1x2 k1 k2 上式分子 x1 m 1 x2 4 x2 m 1 x1 4 2x1x2 m 5 x1 x2 8 m 1 所以直線MA MB的斜率互為相反數(shù) 互動(dòng)探究 若直線l y x m與本例橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn) 則m的值如何 解析 由典例3 2 解析知 8m 2 20 4m2 20 0 解得m 5 方法總結(jié) 1 直線與圓錐曲線位置關(guān)系與 的關(guān)系將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立 消去一個(gè)變量 如y 得出方程Ax2 Bx C 0 1 若A 0 則圓錐曲線可能為雙曲線或拋物線 此時(shí)直線與圓錐曲線只有一個(gè)交點(diǎn) 2 若A 0 則當(dāng) 0時(shí) 直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn) 相交 當(dāng) 0時(shí) 直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn) 相切 當(dāng) 0時(shí) 直線與圓錐曲線沒(méi)有交點(diǎn) 相離 注 當(dāng)曲線為開(kāi)口向上 下 的拋物線時(shí) 常用導(dǎo)數(shù)求解其切線問(wèn)題 2 證明與圓錐曲線有關(guān)問(wèn)題的思路將待證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與點(diǎn) 線 向量等幾何元素或斜率 長(zhǎng)度等與數(shù)量有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題求解 變式備選 2013 北京模擬 如圖 已知拋物線y2 4x的焦點(diǎn)為F 過(guò)點(diǎn)P 2 0 的直線交拋物線于A x1 y1 B x2 y2 兩點(diǎn) 直線AF BF分別與拋物線交于點(diǎn)M N 1 求y1y2的值 2 記直線MN的斜率為k1 直線AB的斜率為k2 證明 為定值 解析 1 依題意 設(shè)直線AB的方程為x my 2 將其代入y2 4x 消去x 整理得y2 4my 8 0 從而y1y2 8 2 設(shè)M x3 y3 N x4 y4 則設(shè)直線AM的方程為x ny 1 將其代入y2 4x 消去x 整理得y2 4ny 4 0 所以y1y3 4 同理可得y2y4 4 故由 1 得為定值 分類(lèi)討論思想 解決圓錐曲線中的含參問(wèn)題 思想詮釋 1 主要類(lèi)型 1 含有參數(shù)二元二次方程表示曲線類(lèi)型的討論 2 含有參數(shù)的方程 不等式的求解 如求離心率 漸近線方程中焦點(diǎn)位置的討論 或求解過(guò)程中分母是否等于0的討論等 3 含參數(shù)的直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題的求解 如對(duì)直線斜率存在與否的討論 消元后二次項(xiàng)系數(shù)是否為0的討論 判別式與0的大小關(guān)系的討論 2 解題思路 常常結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的影響 全面分析參數(shù)取值引起結(jié)論的變化情況分類(lèi)討論求解 3 注意事項(xiàng) 1 搞清分類(lèi)的原因 準(zhǔn)確確定分類(lèi)的對(duì)象和分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn) 要不重不漏 符合最簡(jiǎn)原則 2 最后要將各類(lèi)情況進(jìn)行總結(jié) 整合 典例 16分 2013 青島模擬 設(shè)F1 F2分別是橢圓D a b 0 的左 右焦點(diǎn) 過(guò)F2作傾斜角為的直線交橢圓D于A B兩點(diǎn) F1到直線AB的距離為3 連結(jié)橢圓D的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4 1 求橢圓D的方程 2 作直線l與橢圓D交于不同的兩點(diǎn)P Q 其中P點(diǎn)的坐標(biāo)為 a 0 若點(diǎn)N 0 t 是線段PQ垂直平分線的一點(diǎn) 且滿足求實(shí)數(shù)t的值 審題 分析信息 形成思路 1 切入點(diǎn) 根據(jù)待定系數(shù)法求解 關(guān)注點(diǎn) 由 距離 為3 面積為4構(gòu)建關(guān)于a b c的方程組求解 2 切入點(diǎn) 分別將用t表示 再根據(jù)構(gòu)建關(guān)于t的方程求解 關(guān)注點(diǎn) 直線l的斜率不定 需對(duì)斜率取值情況分類(lèi)討論 解題 規(guī)范步驟 水到渠成 1 設(shè)F1 F2的坐標(biāo)分別為 c 0 c 0 其中c 0 由題意得AB的方程為 y x c 因F1到直線AB的距離為3 所以有解得c 3分所以有a2 b2 c2 3 由題意知 2a 2b 4 即ab 2 聯(lián)立 解得 a 2 b 1 所求橢圓D的方程為 5分 2 由 1 知 P 2 0 設(shè)Q x1 y1 當(dāng)直線l斜率不存在時(shí) 由已知顯然不合要求 7分當(dāng)直線l的斜率存在時(shí) 設(shè)直線斜率為k 則直線l的方程為y k x 2 把它代入橢圓D的方程 消去y 整理得 1 4k2 x2 16k2x 16k2 4 0 由根與系數(shù)的關(guān)系得 2 x1 則所以線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為 9分 當(dāng)k 0時(shí) 則有Q 2 0 線段PQ垂直平分線為y軸 于是 2 t 2 t 由