江蘇省邳州市高中數(shù)學 2.4 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)課件 蘇教版必修2.ppt

要點梳理1 指數(shù)冪的概念 1 根式一般地 如果一個數(shù)的n次方等于a n 1且n n 那么這個數(shù)叫做a的n次方根 也就是 若xn a 則x叫做 其中n 1且n n 式子叫做 這里n叫做 a叫做 a的n次方根 根式 根指數(shù) 被開方數(shù) 2 4指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 基礎知識自主學習 2 根式的性質(zhì) 當n為奇數(shù)時 正數(shù)的n次方根是一個正數(shù) 負數(shù)的n次方根是一個負數(shù) 這時 a的n次方根用符號 表示 當n為偶數(shù)時 正數(shù)的n次方根有兩個 它們互為相反數(shù) 這時 正數(shù)的正的n次方根用符號 表示 負的n次方根用符號 表示 正負兩個n次方根可以合寫為 a 0 a 當n為奇數(shù)時 當n為偶數(shù)時 負數(shù)沒有偶次方根 零的任何次方根都是零 3 分數(shù)指數(shù)冪的意義 a 0 m n n 且n 1 a 0 m n n 且n 1 a 思考分數(shù)指數(shù)冪與根式有何關(guān)系 分數(shù)指數(shù)冪是根式的另一種寫法 因此分數(shù)指數(shù)冪與根式之間可以相互轉(zhuǎn)化 在分數(shù)指數(shù)冪的定義中 我們只對正數(shù)和零的分數(shù)指數(shù)冪進行了定義 但事實上 負數(shù)也有分數(shù)指數(shù)冪 但必須保證相應的根式有意義 2 有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) asat a 0 t q s q as at a 0 t q s q as t a 0 t q s q ab t a 0 b 0 t q as t ast atbt 提示 as t 2 指數(shù)函數(shù) 1 指數(shù)函數(shù)的定義 一般地 函數(shù)y ax a 0且a 1 叫做指數(shù)函數(shù) 其中x是自變量 2 指數(shù)函數(shù)y ax a 0且a 1 的圖象及性質(zhì)如下表所示 基礎自測1 化簡的結(jié)果是 解析原式 4 5 1 2 2010 淮安模擬 設y1 40 9 y2 80 44 y3 則y1 y2 y3的大小關(guān)系為 解析 y1 40 9 21 8 y2 80 44 21 32 y1 y3 y2 y1 y3 y2 1 3 若a 0 a 1 則函數(shù)y ax 1的圖象一定過點 解析由函數(shù)y ax的圖象過點 0 1 可知函數(shù)y ax 1的圖象過點 1 1 4 當x 0 2 時 函數(shù)y 3x 1 2的值域是 解析 y 3x 1是增函數(shù) 當x 0 2 時 3 3x 1 33 1 3x 1 2 25 1 1 1 25 例1 2010 鎮(zhèn)江模擬 化簡與計算 1 2 3 有理指數(shù)冪的運算 注意將小數(shù)化成分數(shù) 根式化成分數(shù)指數(shù)冪 典型例題深度剖析 分析 解 跟蹤練習1已知a b是方程x2 6x 4 0的兩根 a b 求 1 a3 b3 2 解 1 a b是方程的兩根且a b a b 6 ab 4 a b均為正數(shù) a3 b3 a b a2 ab b2 a b a b 2 3ab 代入a b 6 ab 4得a3 b3 6 62 3 4 6 24 144 2 a b 0 代入a b 6 ab 4 例2 已知函數(shù) 1 作出圖象 2 由圖象指出其單調(diào)區(qū)間 3 由圖象指出 當x取什么值時有最值 先化去絕對值符號 將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式 再作出其圖象 然后根據(jù)圖象判斷其單調(diào)性 最值 解 1 由函數(shù)解析式可得其圖象分成兩部分 分析 一部分是 x 2 的圖象 由下列變換可得到另一部分y 2x 2 x 2 的圖象 由下列變換可得到y(tǒng) 2xy 2x 2 如圖為函數(shù)的圖象 2 由圖象觀察知函數(shù)在 2 上是增函數(shù) 在 2 上是減函數(shù) 3 由圖象觀察知 x 2時 函數(shù)有最大值 最大值為1 沒有最小值 向左平移2個單位 向左平移2個單位 跟蹤練習2 1 函數(shù)的定義域 值域分別是 2 若直線y 2a與函數(shù)y ax 1 a 0且a 1 的圖象有兩個公共點 則a的取值范圍是 解析 1 方法一函數(shù)的定義域是r 因為當x 0時 0 1 當x 0時 0 2x 1 所以函數(shù)的值域是 0 1 方法二利用圖象變換作出的圖象 由圖可知值域為 0 1 2 畫y 2a與函數(shù)y ax 1 a 0且a 1 圖象 當a 1時 不可能有兩個公共點 當0 a 1時 如右圖 由圖象可知0 2a 1 0 a 答案 1 r 0 1 例3 求下列函數(shù)的定義域 值域及其單調(diào)區(qū)間 1 定義域是使函數(shù)有意義的x的取值范圍 單調(diào)區(qū)間利用復合函數(shù)的單調(diào)性求解 2 利用換元法 同時利用復合函數(shù)單調(diào)性判斷方法進而求得值域 解 1 依題意x2 5x 4 0 解得x 4或x 1 f x 的定義域是 1 4 分析 x 1 4 函數(shù)f x 的值域是 1 當x 1 時 u是減函數(shù) 當x 4 時 u是增函數(shù) 而3 1 由復合函數(shù)的單調(diào)性可知 在 1 上是減函數(shù) 在 4 上是增函數(shù) 故f x 的增區(qū)間是 4 減區(qū)間是 1 函數(shù)的定義域為r 令t t 0 g t t2 4t 5 t 2 2 9 t 0 g t t 2 2 9 9 等號成立的條件是t 2 即g x 9 等號成立的條件是 2 即x 1 g x 的值域是 9 由g t t 2 2 9 t 0 而t 是減函數(shù) 要求g x 的增區(qū)間實際上是求g t 的減區(qū)間 求g x 的減區(qū)間實際上是求g t 的增區(qū)間 g t 在 0 2 上遞增 在 2 上遞減 由0 t 2 可得x 1 由t 2 可得x 1 g x 在 1 上遞減 在 1 上遞增 故g x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 1 單調(diào)遞減區(qū)間是 1 跟蹤練習3 2010 南通模擬 已知函數(shù)f x a2x 2ax 1 a 0 且a 1 在區(qū)間 1 1 上的最大值為14 求實數(shù)a的值 指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復合函數(shù)的性質(zhì)的討論 可用換元法 同時要注意底數(shù)a對函數(shù)y ax單調(diào)性的影響 解令y a2x 2ax 1 ax 1 2 2 由x 1 1 知 當a 1時 顯然當ax a 即x 1時 ymax a 1 2 2 a 1 2 2 14 即a 3 a 5舍去 分析 當0 a 1時 則由x 1 1 得ax 綜上所述 a 或a 3 例4 14分 已知定義在r上的奇函數(shù)f x 有最小正周期2 且當x 0 1 時 f x 1 求f x 在 1 1 上的解析式 2 證明 f x 在 0 1 上是減函數(shù) 3 當 為何值時 方程f x 在 1 1 上有實數(shù)解 解題示范 1 解當x 1 0 時 x 0 1 f x 是奇函數(shù) 由f 0 f 0 f 0 且f 1 f 2 1 f 1 f 1 得f 0 f 1 f 1 0 在區(qū)間 1 1 上 有 2 證明當x 0 1 時 f x 設0 x1 x2 1 00 即f x1 f x2 故f x 在 0 1 上單調(diào)遞減 10分 3 解因為當x 0 1 時 f x 是減函數(shù) 所以f x 同理x 1 0 時 f x 又f 1 f 0 f 1 0 f x 在 1 1 上有實數(shù)解 14分 跟蹤練習4設a 0 是r上的偶函數(shù) 1 求a的值 2 求證 f x 在 0 上是增函數(shù) 1 解 f x 是r上的偶函數(shù) f x f x 2 證明在 0 上任取x1 x2 且x1 x2 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故f x 在 0 上是增函數(shù) 本節(jié)內(nèi)容在高考中占有重要地位 以基本概念 基本運算 數(shù)值的大小比較及以指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)為載體考查不等式問題 有時也與函數(shù)性質(zhì) 二次函數(shù) 方程 不等式等內(nèi)容結(jié)合 以綜合題的形式考查 1 單調(diào)性是指數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì) 特別是函數(shù)圖象的無限伸展性 x軸是函數(shù)圖象的漸近線 當01 x 時 y 0 當a 1時 a的值越大 圖象越靠近y軸 遞增的速度越快 思想方法感悟提高 高考動態(tài)展望 方法規(guī)律總結(jié) 當0 a 1時 a的值越小 圖象越靠近y軸 遞減的速度越快 2 畫指數(shù)函數(shù)y ax的圖象 應抓住三個關(guān)鍵點 1 a 0 1 3 熟記指數(shù)函數(shù)y 10 x y 2x y y 在同一坐標系中圖象的相對位置 由此掌握指數(shù)函數(shù)圖象的位置與底數(shù)大小的關(guān)系 4 在有關(guān)根式 分數(shù)指數(shù)冪的變形 求值過程中 要注意運用方程的觀點處理問題 通過解方程 組 來求值 或用換元法轉(zhuǎn)化為方程來求解 一 填空題1 2010 鎮(zhèn)江模擬 若0 x 1 則2x 2 x 0 2x的大小關(guān)系是 解析 2x 2 x 0 2x 定時檢測 2 2011 江蘇 已知a 函數(shù)f x ax 若實數(shù)m n滿足f m f n 則m n的大小關(guān)系為 解析 0f n m n 3 2011 山東煙臺模擬 函數(shù)y 2 x 的單調(diào)增區(qū)間是 解析畫出函數(shù)的圖象 如圖 m n 0 4 2010 泰州月考 設函數(shù)若f x 是奇函數(shù) 則g 2 解析 f 2 2 2 f 2 f 2 又 f 2 g 2 g 2 5 2010 揚州調(diào)研 若函數(shù)y 4x 3 2x 3的定義域為集合a 值域為 1 7 集合b 0 1 2 則集合a與集合b的關(guān)系為 解析因為y 4x 3 2x 3的值域為 1 7 所以1 2x 2 3 2x 3 7 所以x 0或1 x 2 6 2010 南京調(diào)研 若f x x2 2ax與g x a 1 1 x在區(qū)間 1 2 上都是減函數(shù) 則a的取值范圍是 解析f x x2 2ax與g x a 1 1 x在區(qū)間 1 2 上都是減函數(shù) 即故0 a 1 a b 0 1 7 2010 錦州模擬 函數(shù)y ax a 0 且a 1 在 1 2 上的最大值比最小值大 則a的值是 解析當a 1時 y ax在 1 2 上單調(diào)遞增 當0 a 1時 y ax在 1 2 上單調(diào)遞減 8 2010 鹽城模擬 函數(shù)f x x2 bx c滿足f 1 x f 1 x 且f 0 3 則f bx f cx 用 f 2x f 3x f 2x 9 2011 湖北黃岡四市聯(lián)考 設函數(shù)f x 2x 1 的定義域和值域都是 a b b a 則a b 解析因為f x 2x 1 的值域為 a b 所以b a 0 而函數(shù)f x 2x 1 在 0 上是單調(diào)遞增函數(shù) 因此應有所以有a b 1 1 二 解答題10 2011 廣東韶關(guān)一模 要使函數(shù)y 1 2x 4xa在x 1 上y 0恒成立 求a的取值范圍 解由題意得1 2x 4xa 0在x 1 上恒成立 11 2011 江蘇蘇北四市期末 設f x ax b同時滿足條件f 0 2和對任意x r都有f x 1 2f x 1成立 1 求f x 的解析式 2 設函數(shù)g x 的定義域為 2 2 且在定義域內(nèi)g x f x 且函數(shù)h x 的圖象與g x 的圖象關(guān)于直線y x對稱 求h x 3 求函數(shù)y g x h x 的值域 解 1 由f 0 2 得b 1 由f x 1 2f x 1 得ax a 2 0 由ax 0得a 2 所以f x 2x 1 2 由題意知 當x 2 2 時 g x f x 2x 1 設點p x y 是函數(shù)h x 的圖象上任意一點 它關(guān)于直線y x對稱的點為p y x 依題意點p y x 應該在函數(shù)g x 的圖象上 即x 2y 1 所以y log2 x 1 即h x log2 x 1 3 由已知得 y log2 x 1 2x 1 且兩個函數(shù)的公