福建省長泰縣第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題01 思想方法 函數(shù)與方程的思想方法課件.ppt

高考復(fù)習(xí)系列課件91 數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 01 思想方法 函數(shù)與方程的思想方法 91 思想方法 函數(shù)與方程的思想方法 考題剖析 規(guī)律總結(jié) 知識概要 03 07 17 函數(shù)與方程的思想方法 函數(shù)與方程是兩個不同的概念 但它們之間有著密切的聯(lián)系 方程f x 0的解就是函數(shù)y f x 的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 函數(shù)y f x 也可以看作二元方程f x y 0 通過方程進(jìn)行研究 就中學(xué)數(shù)學(xué)而言 函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面 一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì) 解有關(guān)求值 解 證 不等式 解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題 二是在問題的研究中 通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù) 把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 達(dá)到化難為易 化繁為簡的目的 許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決 反之 許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決 函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想 也是歷年高考的重點(diǎn) 知識概要 返回目錄 函數(shù)與方程的思想方法 1 函數(shù)的思想 是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn) 分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系 建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù) 運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題 轉(zhuǎn)化問題 從而使問題獲得解決 函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識 用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點(diǎn)觀察 分析和解決問題 2 方程的思想 就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系 建立方程或方程組 或者構(gòu)造方程 通過解方程或方程組 或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析 轉(zhuǎn)化問題 使問題獲得解決 方程的思想是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識 用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問題 方程思想是動中求靜 研究運(yùn)動中的等量關(guān)系 知識概要 函數(shù)與方程的思想方法 返回目錄 3 1 函數(shù)和方程是密切相關(guān)的 對于函數(shù)y f x 當(dāng)y 0時 就轉(zhuǎn)化為方程f x 0 也可以把函數(shù)式y(tǒng) f x 看做二元方程y f x 0 函數(shù)問題 例如求反函數(shù) 求函數(shù)的值域等 可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解 方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解 如解方程f x 0 就是求函數(shù)y f x 的零點(diǎn) 2 函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化 對于函數(shù)y f x 當(dāng)y 0時 就轉(zhuǎn)化為不等式f x 0 借助于函數(shù)圖象與性質(zhì)解決有關(guān)問題 而研究函數(shù)的性質(zhì) 也離不開解不等式 3 數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù) 用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題十分重要 知識概要 函數(shù)與方程的思想方法 返回目錄 4 函數(shù)f x ax b n n n 與二項(xiàng)式定理是密切相關(guān)的 利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)式定理的問題 5 解析幾何中的許多問題 例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題 需要通過解二元方程組才能解決 涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論 6 立體幾何中有關(guān)線段 角 面積 體積的計(jì)算 經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決 知識概要 函數(shù)與方程的思想方法 返回目錄 考題剖析 返回目錄 解析 依題意有x2 a 4 x 4 2a 0恒成立 即 x 2 a x2 4x 4 0恒成立 令g a x 2 a x2 4x 4 把g a 看作是關(guān)于主元a的函數(shù) 則g a 是一次函數(shù) x 2 或是常數(shù)函數(shù) x 2 因?yàn)閍 1 1 要g a 0恒成立 只需 解得x 1或x 3 故選b 1 對任意a 1 1 函數(shù)f x x2 a 4 x 4 2a的值總大于零 則x的取值范圍是 a 1 x 3b x 1或x 3c 1 x 2d x 1或x 2 b 點(diǎn)評 本題中 體現(xiàn)了主元的思想 對于多個字母恒成立的問題 這是一種基本方法 考題剖析 函數(shù)與方程的思想方法 返回目錄 2 已知 1 a b c r 則有 a b2 4acb b2 4acc b2 4acd b2 4ac 解析 解法1 依題意有a 5 b c 0 是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2 bx c 0的一個實(shí)根 b2 4ac 0 b2 4ac 故選b 解法2 去分母 移項(xiàng) 兩邊平方得 5b2 25a2 10ac c2 10ac 2 5ac 20ac b2 4ac b 點(diǎn)評 解法1通過簡單轉(zhuǎn)化 將其看作一個一元二次方程的解 敏銳地抓住了數(shù)與式的內(nèi)在特點(diǎn) 利用方程思想使問題迎刃而解 解法2轉(zhuǎn)化為b2關(guān)于a c的函數(shù) 可看作是二元函數(shù) 利用重要不等式求解 其求解的思想實(shí)質(zhì)是函數(shù)的思想方法 考題剖析 函數(shù)與方程的思想方法 返回目錄 3 不等式4x log3x x2 5的解集為 a rb r c x x 1 d x x 2 c 解析 考察函數(shù)f x 4x log3x x2 定義域?yàn)?0 在 0 上不難得知函數(shù)f x 為單調(diào)遞增的 當(dāng)x 1時 f x 5 故4x log3x x2 5的解集為 x x 1 點(diǎn)評 此題初一看上去 是一個含有指數(shù) 對數(shù)的不等式的題 感覺很難求解 但此題的解法卻是巧妙地構(gòu)造了函數(shù) 利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解 這也體現(xiàn)了函數(shù)的思想在解題中的應(yīng)用 考題剖析 函數(shù)與方程的思想方法 返回目錄 4 已知f t log2t t 8 對于函數(shù)f t 值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m 不等式x2 mx 4 2m 4x恒成立 求x的取值范圍 解析 t 8 f t 3 原題轉(zhuǎn)化為 m x 2 x 2 2 0恒成立 為m的一次函數(shù) 這里思維的轉(zhuǎn)化很重要 當(dāng)x 2時 不等式不成立 x 2 令g m m x 2 x 2 2 m 3 問題轉(zhuǎn)化為g m 在m 3 上恒大于0 則 解得 x 2或x 1 點(diǎn)評 首先明確本題是求x的取值范圍 這里注意另一個變量m 不等式的左邊恰是m的一次函數(shù) 因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決 在多個字母變量的問題中 選準(zhǔn) 主元 往往是解題的關(guān)鍵 考題剖析 函數(shù)與方程的思想方法 返回目錄 5 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 已知a3 12 s12 0 s13 0 1 求公差d的取值范圍 2 指出s1 s2 s3 s12中哪一個最大 并說明理由 解析 1 由a3 12得 a1 12 2d s12 12a1 66d 144 42d 0 s13 13a1 78d 156 52d 0 d 3 2 sn na1 d dn2 12 d n d 0 sn是關(guān)于n的二次函數(shù) 對稱軸方程為 x d 3 6 當(dāng)n 6時 sn最大 考題剖析 函數(shù)與方程的思想方法 返回目錄 點(diǎn)評 數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式實(shí)質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù) 因此可利用函數(shù)思想來分析或用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題 也可以利用方程的思想 設(shè)出未知的量 建立等式關(guān)系即方程 將問題進(jìn)行算式化 從而簡潔明快 由此可見 利用函數(shù)與方程的思想來解決問題 要求靈活地運(yùn)用 巧妙的結(jié)合 本題的另一種思路是尋求an 0 an 1a2 a13 由s13 13a70得a6 0 所以 在s1 s2 s12中 s6的值最大 考題剖析 函數(shù)與方程的思想方法 返回目錄 6 點(diǎn)a b分別是橢圓 1的長軸的左 右頂點(diǎn) 點(diǎn)f是橢圓的右焦點(diǎn) 點(diǎn)p在橢圓上 且位于x軸上方 pa pf 1 求p點(diǎn)的坐標(biāo) 2 設(shè)m是橢圓長軸ab上的一點(diǎn) m到直線ap的距離等于 mb 求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)m的距離d的最小值 解析 1 由已知可得點(diǎn)a 6 0 f 4 0 設(shè)點(diǎn)p x y 則 x 6 y x 4 y 由已知可得則2x2 9x 18 0 解得x 或x 6 由于y 0 只能x 于是y 點(diǎn)p的坐標(biāo)是 考題剖析 函數(shù)與方程的思想方法 返回目錄 2 直線ap的方程是x y 6 0 設(shè)點(diǎn)m m 0 則m到直線ap的距離是 于是 m 6 又 6 m 6 解得m 2 橢圓上的點(diǎn) x y 到點(diǎn)m的距離d有d2 x 2 2 y2 x2 4x 4 20 x2 x 2 15 由于 6 m 6 當(dāng)x 時 d取得最小值 點(diǎn)評 方程思想是處理直線與二次曲線有關(guān)問題的基本方法 考題剖析 函數(shù)與方程的思想方法 返回目錄 證明 由a3 a2 b3 b2a3 b3 a2 b2 a b a2 ab b2 a b a b 又a b 0 則可得 a b 2 ab a b 記a b t 則ab t2 t 可見a b是方程x2 tx t2 t 0的兩個不相等的正根 故有1 t 從而得1 a b 7 設(shè)a b 0 且a3 a2 b3 b2 求證 1 a b 點(diǎn)評 對于同時含有形如a b ab式子的問題?？梢昦 b為某一元二次方程的兩個根 從而可構(gòu)造出一個一元二次方程 用方程的有關(guān)理論求解 考題剖析 函數(shù)與方程的思想方法 返回目錄 規(guī)律總結(jié) 返回目錄 1 函數(shù)思想的應(yīng)用主要有 求變量的取值范圍 從而轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)的值域 構(gòu)造函數(shù)是函數(shù)思想的重要體現(xiàn) 運(yùn)用函數(shù)思想要抓住事物在運(yùn)動過程中保持不變的規(guī)律和性質(zhì) 從而更快更好地解決問題 運(yùn)用方程觀點(diǎn)解決問題主要有兩個方面 一是從分析問題的結(jié)構(gòu)入手 找主要矛盾 抓住某一關(guān)鍵變量 將等式看成關(guān)于這個主變量 常稱主元 的方程 然后具體研究這個方程 二是在中學(xué)中常見的如求曲線交點(diǎn) 求函數(shù)值域等問題 經(jīng)常轉(zhuǎn)化為方程問題去解決 規(guī)律總結(jié) 函數(shù)與方程的思想方法 返回目錄 2 在數(shù)學(xué)各分支中若遇到有關(guān)不等