廣東省連州市高三數(shù)學(xué) 《空間角（10班）》課件 新人教A版.ppt

空間角 1 異面直線所成的角 2 范圍 1 定義 設(shè)a b是異面直線 過(guò)空間任一點(diǎn)o引 則所成的銳角 或直角 叫做異面直線a b所成的角 3 求法 平移法 向量法 設(shè)直線ab和cd所成的角為 則 2 直線與平面所成的角 3 范圍 1 定義 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角 叫這條斜線和這個(gè)平面所成的角 2 若直線l 平面 則l與 所成角為直角若直線l 平面 或直線l 平面 則l與 所成角為0 定義法的具體步驟如下 找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線 連結(jié)垂足和斜足 得出斜線在平面的射影 確定出所求的角 把該角置于三角形中計(jì)算 4 求法 定義法 向量法 設(shè)是平面的一個(gè)法向量 直線ab與平面所成的角為 則 例 如圖 在矩形abcd中 ab 4 ad 2 e為cd的中點(diǎn) 將 ade沿ae折起 使平面ade 平面abce 得到幾何體d abce 1 求證 be 平面ade 并求ab與平面ade所成的角的大小 2 求bd與平面cde所成角的正弦值 1 在矩形abcd中 連接be 因?yàn)閍b 2ad e為cd的中點(diǎn) 所以ad de eab 45 從而 eba 45 故ae eb 過(guò)d作do ae于o 因?yàn)槠矫鎍de 平面abce 所以do 平面abce 所以do be 又ae do o 所以be 平面ade 可知ae為ab在平面ade上的射影 從而 bae為ab與平面ade所成的角 大小為45 2 由 1 可知 do 平面abce be ae 過(guò)o作of be 以o為原點(diǎn) oa of od分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則d 0 0 e 0 0 b 2 2 0 c 2 2 0 設(shè)平面cde的法向量n x y z 又 2 2 0 n 2x y z 0z xn x y 0y x 取x 1 得n 1 1 1 又 2 cos n 則bd與平面cde所成角的正弦值為 則 得 本例的求解策略說(shuō)明 若方便獲知直線在平面內(nèi)的射影 則可用傳統(tǒng)的構(gòu)造法求直線與平面所成的角 若找直線在平面內(nèi)的射影較難 則可用向量法求直線和平面所成的角 二面角的定義 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的圖形叫做二面角 復(fù)習(xí) 二面角 以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn) 在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線 這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角 向量法 二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角與二面角的大小相等或互補(bǔ) 06 安徽 p是邊長(zhǎng)為1的正六邊形abcdef所在平面外一點(diǎn) pa 1 p在平面abc內(nèi)的射影為bf的中點(diǎn)o 證明pa bf 求面apb與面dpb所成二面角的大小 a b c d e f o p 四 教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)與實(shí)施 總結(jié)出利用法向量求二面角大小的一般步驟 1 建立坐標(biāo)系 寫(xiě)出點(diǎn)與向量的坐標(biāo) 2 求出平面的法向量 進(jìn)行向量運(yùn)算求出法向量的夾角 3 通過(guò)圖形特征或已知要求 確定二面角是銳角或鈍角 得出問(wèn)題的結(jié)果 08 天津 3 在四棱錐p abcd中 底面abcd是矩形 已知 證明ad 平面pab 求二面角p bd a的正切值 05 廣東16 在四面體p abc中 已知pa bc 6 pc ab 10 ac 8 f是線段pb上一點(diǎn) 點(diǎn)e在線段ab上 且ef pb 證明 pb 平面cef 求二面角b ce f的正切值 用向量法但不用建系 11 湖南理19 如圖 在圓錐po中 已知po d為ac的中點(diǎn) 證明 平面pod 求二面角b pa c的余弦值 o的直徑ab 2 c是ab弧的中點(diǎn) 平面pac 10 廣東 3 是半徑為a的半圓 ac為直徑 e點(diǎn)為的中點(diǎn) 點(diǎn)b和點(diǎn)c為線段ad的三等分點(diǎn) 平面aec外一點(diǎn)f滿(mǎn)足 1 證明 eb fd 2 已知q r為線段fe fb上的點(diǎn) 求平面bed與平面rqd所成二面角的正弦值 無(wú)棱二面角 求二面角的常用方法 幾何法 1 定義法 amb為二面角a l b的平面角 m是l上任意一點(diǎn) 在a內(nèi)作射線ma l 在b內(nèi)作射線mb l 06 廣東 3 如圖所示 af de分別是 o o1的直徑 ad與兩圓所在的平面均垂直 ad 8 bc是 o的直徑 ab ac 6 oe ad 求二面角b ad f的大小 求直線bd與ef所成的角的余弦值 45 m 例1 06年江西卷 如圖 在三棱錐a bcd中 側(cè)面abd acd是全等的直角三角形 ad是公共的斜邊 且ad bd cd 1 另一個(gè)側(cè)面是正三角形 求二面角b ac d的余弦值 n b 2 求二面角p ad b的余弦值 08 北京 2 如圖 在三棱錐p abc中 ac bc 2 acb 90 ap bp ab pc ac 求證 pc ab 求二面角b ap c的大小 06 重慶 四棱錐p abcd中 pa 底面abcd dab為直角 ab cd ad cd 2ab e f分別為pc cd的中點(diǎn) 試證 cd 平面bef 設(shè)pa k ab 且二面角e bd c的平面角大于30 求k的取值范圍 綜合訓(xùn)練 11湖北18 如圖 已知正三棱柱 的各棱長(zhǎng)都是4 e是bc的中點(diǎn) 動(dòng)點(diǎn)f在側(cè)棱cc1上 且不與點(diǎn)c重合 當(dāng)cf 1時(shí) 求證 設(shè)二面角 的大小為 求 的最小值 2009 廣州一模理 如下圖 在三棱錐p abc中 pa 平面abc ab ac d e f分別是棱pa pb pc的中點(diǎn) 連接de df ef 1 求證 平面def 平面abc 2 若pa bc 2 當(dāng)三棱錐p abc的體積最大時(shí) 求二面角a ef d的平面角的余弦值 1 求證 平面def 平面abc 1 證明 d e分別是棱pa pb的中點(diǎn) de是 pab的中位線 de ab de 平面abc ab 平面abc de 平面abc 同理可證df 平面abc de df d de 平面def df 平面def 平面def 平面abc 2 由已知pa 平面abc ac ab pa bc 2 ab2 ac2 bc2 4 2 若pa bc 2 當(dāng)三棱錐p abc的體積最大時(shí) 求二面角a ef d的平面角的余弦值 當(dāng)且僅當(dāng)ab ac時(shí)等號(hào)成立 v取得最大值 其值為 解法一 作dg ef 垂足為g 連接ag pa 平面abc 平面abc 平面def pa 平面def ef 平面def pa ef dg pa d ef 平面pag ag 平面pag ef ag 解法二 分別以ab ac ap所在直線為x軸 y軸 z軸 建立如右圖的空間直角坐標(biāo)系a xyz 則a 0 0 0 d 0 0 1 二面角a ef d的平面角的余弦值為 四 教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)與實(shí)施 總結(jié)出利用法向量求二面角大小的一般步驟 1 建立坐標(biāo)系 寫(xiě)出點(diǎn)與向量的坐標(biāo) 2 求出平面的法向量 進(jìn)行向量運(yùn)算求出法向量的夾角 3 通過(guò)圖形特征或已知要求 確定二面角是銳角或鈍角 得出問(wèn)題的結(jié)果 2008 山東卷 如圖 已知四棱錐p abcd中 底面abcd為菱形 pa 平面abcd abc 60 e f分別是bc pc的中點(diǎn) 1 證明 ae pd 2 若h為pd上的動(dòng)點(diǎn) eh與平面pad所成最大角的正切值為 求二面角e af c的余弦值 1 證明 由四邊形abcd為菱形 abc 60 可得 abc為正三角形 因?yàn)閑為bc的中點(diǎn) 所以ae bc 又bc ad 因此ae ad 因?yàn)閜a 平面abcd ae 平面abcd 所以pa ae 而pa 平面pad ad 平面pad 且pa ad a 所以ae 平面pad 又pd 平面pad 所以ae pd 2 設(shè)ab 2 h為pd上任意一點(diǎn) 連接ah eh 由 1 知 ae 平面pad 則 eha為eh與平面pad所成的角 在rt eah中 ae 所以當(dāng)ah最短時(shí) eha最大 即當(dāng)ah pd時(shí) eha最大 此時(shí)tan eha 因此ah 又ad 2 所以 adh 45 所以pa 2 方法一 因?yàn)閜a 平面abcd pa 平面pac 所以平面pac 平面abcd 過(guò)e作eo ac于o 則eo 平面pac 過(guò)o作os af于s 連接es 則 eso為二面角e af c的平面角 在rt aoe中 eo ae sin30 ao ae cos30 在rt aso中 so ao sin45 因?yàn)閟e 所以在rt eso中 cos eso 即所求二面角的余弦值為 方法二 由 1 知ae ad ap兩兩垂直 以a為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 又e f分別為bc pc的中點(diǎn) 所以有a 0 0 0 b 1 0 c 1 0 d 0 2 0 p 0 0 2 e 0 0 f 12 1 所以 0 0 1 設(shè)平面aef的一法向量為m x1 y1 z1 m 0 x1 0m 0 x1 y1 z1 0 取z1 1 則m 0 2 1 因?yàn)閎d ac bd pa pa ac a 所以bd 平面afc 故為平面afc的一法向量 又 3 0 所以cos m 因?yàn)槎娼莈 af c為銳角 所以所求二面角的余弦值為 則 因此 1 空間角包括 兩異面直線所成的角 直線與平面所成的角