3李雅普諾夫穩(wěn)定性與正實(shí)函數(shù).ppt

1 5 3李雅普諾夫穩(wěn)定性與正實(shí)函數(shù) 針對(duì)用梯度法設(shè)計(jì)模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性得不到保證的問(wèn)題 有人提出基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)模型參考自適應(yīng)控制系統(tǒng) 如Butchart 1965 Parks 1966 所以有必要回顧動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念和定理 以作為后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的準(zhǔn)備知識(shí) 5 3 1李雅普諾夫穩(wěn)定性理論概要響應(yīng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性可分為基于輸入 輸出描述的外部穩(wěn)定性和基于狀態(tài)空間描述的內(nèi)部穩(wěn)定性 外部穩(wěn)定性是一種零初始條件下的有界輸入 有界輸出 Bounded input Bounded output 穩(wěn)定性 內(nèi)部穩(wěn)定性是零輸入條件下自治系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性 它等同于李雅普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定性 外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性之間有十分緊密的聯(lián)系 一般說(shuō)來(lái) 內(nèi)部穩(wěn)定性決定外部穩(wěn)定性 1892年 李雅普諾夫 A M Lyapunov 提出了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般理論 2 即穩(wěn)定性分析的第一方法和第二方法 第一方法將非線性自治系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程在足夠小的鄰域內(nèi)進(jìn)行泰勒展開(kāi) 導(dǎo)出一次近似線性化系統(tǒng) 再根據(jù)線性系統(tǒng)特征值在復(fù)平面上的分布推斷非線性系統(tǒng)在鄰域內(nèi)的穩(wěn)定性 第二方法引入具有廣義能量屬性的李雅普諾夫函數(shù) 并分析其函數(shù)的定號(hào)性 建立判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的相應(yīng)結(jié)論 它在1960年前后被引入控制理論界 并很快成為研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的主要工具 本節(jié)介紹李雅普諾夫第二方法 設(shè)自治系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為 式中 為系統(tǒng)初始條件 為初始時(shí)刻 為狀態(tài)向量 如果系統(tǒng)某一狀態(tài)對(duì)所有時(shí)刻均滿足 5 30 則稱(chēng)狀態(tài)為式 5 30 所示系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 3 定義5 3 1如果對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù) 均對(duì)應(yīng)存在另一依賴于 和的實(shí)數(shù) 使?jié)M足以下不等式的任一初始狀態(tài)出發(fā)的所有解都滿足則稱(chēng)式 5 30 表示的系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在時(shí)刻為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定 如果與無(wú)關(guān) 則稱(chēng)為李雅普諾夫意義下一致穩(wěn)定 幾何意義 初始狀態(tài)不越出平衡狀態(tài)的鄰域 相應(yīng)解不越出平衡狀態(tài)的 鄰域 那么是穩(wěn)定的 如圖5 4所示 定義5 3 2若式 5 30 所示系統(tǒng)的平衡狀態(tài)滿足 1 在時(shí)刻為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定 2 存在 使?jié)M足 的初始狀態(tài)出發(fā)的所有解均有 4 則稱(chēng)平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的 假若與無(wú)關(guān) 則稱(chēng)其為李雅普諾夫意義下一致漸近穩(wěn)定 幾何意義 的領(lǐng)域內(nèi)出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌線最終均趨于平衡狀態(tài)如圖5 5所示 圖5 4圖5 5圖5 6 定義5 3 3式 5 30 表示的系統(tǒng)的平衡狀態(tài)對(duì)于任一位于狀態(tài)空間的初始狀態(tài) 若滿足 5 1 為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定 2 則稱(chēng)平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下全局 或大范圍 漸近穩(wěn)定 定義5 3 4如果不論取實(shí)數(shù)為多大 均不存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使得滿足不等式的任意初始狀態(tài)出發(fā)的解滿足不等式 則稱(chēng)式 5 30 表示的平衡狀態(tài)在時(shí)刻為不穩(wěn)定 其幾何意義如圖5 6所示 實(shí)質(zhì)上 李雅普諾夫意義下漸近穩(wěn)定與工程意義下的穩(wěn)定是等價(jià)的 李雅普諾夫意義下不穩(wěn)定等同于工程意義下的發(fā)散不穩(wěn)定 有了李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定概念之后 余下的問(wèn)題是如何判定一個(gè)系統(tǒng)在 6 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 李雅普諾夫第二方法主要定理是判定的主要工具 它借助能量的特性來(lái)研究系統(tǒng)穩(wěn)定性 即系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)總是隨能量變化的 如果系統(tǒng)能量變化始終為負(fù) 運(yùn)動(dòng)中單調(diào)減小 那么系統(tǒng)受擾運(yùn)動(dòng)最后回到平衡狀態(tài) 下面不加證明地給出系統(tǒng)穩(wěn)定性判定定理 定理5 3 1對(duì)式 5 30 所表示的系統(tǒng) 若可構(gòu)造一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 且對(duì)狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)點(diǎn)滿足以下條件 1 是正定的 即 2 是非正定的 即 則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的 除了以上條件外 如果亦滿足 則是全局穩(wěn)定的 定理5 3 2對(duì)式 5 30 所示的系統(tǒng) 若可構(gòu)造一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 且對(duì) 7 狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)點(diǎn)滿足以下條件 1 是正定的 2 是負(fù)定的 則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的 除了以上條件外 如果亦滿足 則是全局漸近穩(wěn)定的 定理5 3 3對(duì)式 5 30 描述的系統(tǒng) 若可構(gòu)造一個(gè)對(duì)時(shí)間具有連續(xù)一階偏導(dǎo)的標(biāo)量函數(shù) 以及圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個(gè)吸引區(qū) 使對(duì)狀態(tài)有 1 正定 2 非正定 3 在任意起于的運(yùn)動(dòng)軌線上 使所有不恒為零 則該系統(tǒng)是平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的 如果滿足則是全局漸近穩(wěn)定的 8 定理5 3 4設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為式中 x為維狀態(tài)向量 A為非奇異矩陣 其平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的充分必要條件為 對(duì)任意給定的正定對(duì)稱(chēng)矩陣Q 存在一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)矩陣P 并滿足下列李雅普諾夫矩陣方程 定理5 3 5設(shè)非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為 5 32 5 33 式中 e為n維向量 r為維向量 A B和 分別為 和滿秩矩陣 R P分別為 正定對(duì)稱(chēng)矩陣 假若正定對(duì)稱(chēng)矩陣Q和P滿足下列方程則該系統(tǒng)平衡點(diǎn) 是穩(wěn)定的 若r是個(gè)或更多不同頻率的分量組成 9 那么平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的 證明 選取李雅普諾夫函數(shù)為式中 tr x 是矩陣 x 的跡 trace 它表示矩陣對(duì)角元之和 R P為正定對(duì)稱(chēng)矩陣 5 34 將式 5 32 代入并整理 有根據(jù)矩陣跡的性質(zhì) 和 有以及 10 將式 5 33 代入上式變?yōu)橛啥ɡ? 3 1知 平衡點(diǎn) 是穩(wěn)定的 考察沿運(yùn)動(dòng)軌線上的情況 令 由式 5 35 知代入式 5 32 有 由于B為滿秩 從而應(yīng)有 若r是由個(gè)不同頻率的分量構(gòu)成的 則各分量是線性無(wú)關(guān)的 這里從而由式 5 36 應(yīng)有即只有在平衡點(diǎn) 處 才有 由定理5 3 3知 系統(tǒng)在平衡點(diǎn) 5 35 5 36 11 處漸近穩(wěn)定 Barbalat定理 若為一致連續(xù)函數(shù) 并且 有界 則有推論 如果 有界 并且 即平方可積 則有證明 令 由于 則是一致連續(xù)的 又由于 所以 由Barbalat定理有該定理及其推論的意義 依據(jù)函數(shù)或信號(hào)本身的特征來(lái)判斷其終值的收斂性 而不用構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)并驗(yàn)證其導(dǎo)數(shù)的負(fù)定性 由于下一章將涉及李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的離散形式 所以在此也將離散時(shí)間系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定定理和判據(jù)不加證明地給出 以方便討論 12 設(shè)有離散時(shí)間非線性時(shí)不變系統(tǒng) 自治狀態(tài)方程為式中 為n維狀態(tài) 表示狀態(tài)空間原點(diǎn)為系統(tǒng)平衡狀態(tài) 離散時(shí)間系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定判據(jù) 對(duì)離散時(shí)間非線性時(shí)不變自治系統(tǒng)式 5 37 若存在一個(gè)相對(duì)于離散狀態(tài)的標(biāo)量函數(shù) 使對(duì)任意滿足 1 為正定 2 為負(fù)定 3 時(shí) 有 則原點(diǎn)平衡狀態(tài)為全局漸進(jìn)穩(wěn)定 如果上述第 2 條為負(fù)半定 其他條件不變 則加上下面一條后 原點(diǎn)平衡狀態(tài)為全局漸進(jìn)穩(wěn)定 對(duì)由任意非零初始狀態(tài)確定的所有自由運(yùn)動(dòng) 即式 5 37 所有 5 37 13 解的軌線 不恒為零 設(shè)有離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) 自治狀態(tài)方程為若矩陣G為奇異 則除了原點(diǎn)平衡狀態(tài)外 還有非零平衡狀態(tài) 若G為非奇異 則只有唯一平衡狀態(tài) 特征值判據(jù) 對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)不變自治系統(tǒng)式 5 38 原點(diǎn)平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是 G的全部特征值的幅值均小于1 離散時(shí)間系統(tǒng)李雅普諾夫判據(jù) 對(duì)n維離散時(shí)間線性時(shí)不變自治系統(tǒng)式 5 38 原點(diǎn)平衡狀態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一給定正定對(duì)稱(chēng)矩陣Q 離散型李雅普諾夫方程有唯一正定對(duì)稱(chēng)解矩陣P 5 38 14 5 3 2正實(shí)函數(shù)正實(shí)函數(shù)的概念起源于網(wǎng)絡(luò)理論 它是自適應(yīng)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和收斂性證明的重要工具 下面介紹相關(guān)定義和定理 它們?cè)诤罄m(xù)內(nèi)容中將被用到 定義5 3 5假若以復(fù)變量為自變量的有理函數(shù)滿足以下條件 1 s為實(shí)數(shù)時(shí) 也為實(shí)數(shù) 2 在的域內(nèi)解析 無(wú)極點(diǎn) 3 在s平面的虛軸上只有單極點(diǎn) 且相應(yīng)的留數(shù)大于或等于零 4 在虛軸上除極點(diǎn)外 都有 那么稱(chēng)有理函數(shù)為正實(shí)函數(shù) PositiveRealFunction 定義5 3 6假如以復(fù)變量為自變量的有理函數(shù)滿足以下條件 1 當(dāng)s為實(shí)數(shù)時(shí) 亦為實(shí)數(shù) 2 在的域內(nèi)解析 3 在s平面的虛軸上對(duì)應(yīng)的 則稱(chēng)有理函數(shù)為嚴(yán)格正實(shí)函數(shù) StrictlyPositiveRealFunction 15 例5 3 1考察下列有理函數(shù)的正實(shí)性 解 1 當(dāng)s為實(shí)數(shù)時(shí) 也為實(shí)數(shù) 在域內(nèi)解析 令 則有 從而 有 由定義5 3 6知 它為嚴(yán)格正實(shí)函數(shù) 2 當(dāng)s為實(shí)數(shù)時(shí) 為實(shí)數(shù) 且它在域解析 令 則有 從而有 16 很明顯 當(dāng)時(shí) 所以為非正實(shí)函數(shù) 定理5 3 6若為互質(zhì)的正實(shí)函數(shù) 則 1 和是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 2 和的所有零點(diǎn)在域內(nèi) 3 也是正實(shí)函數(shù) 4 和的階數(shù)之差不超過(guò)1 注意該定理為必要條件 定理5 3 7線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 式中 x為n維狀態(tài)向量 y和u分別為輸出和輸入量 b和為n維向量 A為非奇異矩陣 且 為A的特征根 完全能控 則為正實(shí)傳遞函數(shù)的充分必要條件為 存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣P和半正定對(duì)稱(chēng)矩陣Q 使得下式成立 17 5 39 5 40 證明 1 必要性 即由正實(shí)傳遞函數(shù)式 5 39 和式 5 40 令 由的正實(shí)性有 再令 則 從而 5 14 由于 再由式 5 41 可分解為 18 式中 為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 所以由于完全能控 故存在 使 5 42 這里 對(duì)單輸入單輸出系統(tǒng)有 將上兩式代入式 5 42 有 5 43 由于A為非奇異矩陣 且 則存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣P 使李雅普諾夫方程成立 所以式 5 43 可寫(xiě)為 19 與原有正實(shí)函數(shù)相比較有 2 充分性 即由式 5 39 和式 5 40 正實(shí)傳遞函