第四章 向量的內(nèi)積與二次型(華農(nóng)線代).doc

資料收集于網(wǎng)絡(luò) 如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站 刪除 謝謝 第四章 向量的內(nèi)積與二次型4.1 向量的內(nèi)積4.1.1向量的內(nèi)積與模定義4.1 設(shè)有n維向量，稱+為與的內(nèi)積，記為,即,=+=.內(nèi)積是向量的一種運算，可用矩陣記號表示，當(dāng)與都是列向量時，有,=T.向量的內(nèi)積滿足下列運算規(guī)律（其中，都為n維向量，為實數(shù)）：（1）,=，；（2）,=,；（3）+，=,+,.定義4.2 數(shù)稱為向量=（）T的模（或長度），記為，即=.當(dāng)=1時，稱為單位向量.當(dāng)向量0時， 是單位向量.=1注意：式 給出了求向量的單位向量的方法.關(guān)于內(nèi)積和模的關(guān)系，有如下重要的定理：定理4.1 對任意n維向量和，恒有|,|.向量的模具有下述性質(zhì)：（1） 非負(fù)性：當(dāng)0時，0；當(dāng)=0，=0.（2） 齊次性：=.（3） 三角不等式：+.4.1.2 兩個向量的夾角和距離定義4.3 當(dāng)0時，=arccos稱為n維向量與的夾角，其中0.這時有.定義4.4 規(guī)定n維向量=（）T與=（）T的距離為=根據(jù)定義4.4，n維向量的模就是與零向量的距離。根據(jù)n維向量的三角不等式，恒有+，于是+4.2 正交向量組與正交矩陣4.2.1 正交向量組定義4.5 如果n維向量與的內(nèi)積=0，則稱與正交若一個向量組中每一個向量均不為零，且任意兩個向量都正交，則該向量組稱為正交向量組.定理4.2 若n維向量組1，2，r是正交向量組，則1，2，r線性無關(guān).在一個正交向量組中，如果每個向量都是單位向量，則稱這個向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.定理4.3 設(shè)n維向量組1，2，m線性無關(guān)，令：，則，是正交向量組，且與1，2，m等價.如果令 （i=1,2，,m）,則1，2，m是與1，2，m等價的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組上述定理4.3從線性無關(guān)組1，2，m導(dǎo)出正交向量組，的過程稱為施密特正交化過程，此方法稱為施密特正交化方法.它不僅滿足，與1，2，m等價，還滿足：對任何k（1），向量組，與1，2，k等價.通常將，轉(zhuǎn)化為到的過程稱為向量的單位化.4.2.2 正交矩陣與正交變換定義4.6 如果n階方陣A滿足ATA=I,則稱A為正交矩陣.由定義4.6可得：正交矩陣A可逆，且A-1=AT.定理4.4 方陣A是正交矩陣的充分必要條件是A的列（行）向量是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.定義4.7 設(shè)，則等價于上述稱為線性變換；若為可逆矩陣，則為可逆線性變換；若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換。定理4.5 正交變換不改變向量的內(nèi)積，從而不改變向量的模、夾角和距離。4.3 實對稱矩陣定義4.8 若n階方陣A=（）滿足：,則A稱為對稱矩陣；若為實數(shù)，則A稱為實對稱矩陣.定理4.6 實對稱矩陣的特征值為實數(shù).定理4.7 設(shè)，是實對稱矩陣A的兩個特征值，是對應(yīng)的特征向量，若，則與正交.定理4.8 若是實對稱矩陣A的k重特征值，則存在k個對應(yīng)于的線性無關(guān)特征向量.定理4.9 設(shè)為n階實對稱矩陣，則必有正交矩陣，使其中，是的特征值.PS:（1） 在實對稱矩陣中，不同特征值根對應(yīng)的特征向量正交，故只需對重根所對應(yīng)的特征向量進(jìn)行施密特正交化.（2） 任意實對稱矩陣都可以用正交變換方法化為對角矩陣4.4 二次型4.4.1 二次型及其矩陣表示平面二次函數(shù)中，其左端函數(shù)滿足，這樣函數(shù)稱為二次齊次函數(shù).定義4.9 含有n個自變量的二次齊次函數(shù)稱為二次型.當(dāng)為復(fù)數(shù)時，稱為復(fù)二次型；當(dāng)為實數(shù)時，稱為實二次型.規(guī)定，則有2=，于是=+=記A=(),則上面的二次型可以記作：由于，所以是實對稱矩陣.容易看出，A的對角元素是中項的系數(shù)，而非對角元素是交叉項系數(shù)的一半.實二次型與實對稱矩陣一一對應(yīng)(即互相唯一確定).這里，對稱矩陣稱為二次型的矩陣，也把稱為對稱矩陣的二次型；矩陣的秩定義為二次型的秩.Tips：設(shè)為階方陣，則二次型的矩陣.4.4.2 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型sea-slug n. 海蛞蝓定義4.11 二次型經(jīng)過線性變換后所得到的平方和稱為這個二次型的一個標(biāo)準(zhǔn)型.其對應(yīng)的矩陣是對角矩陣：對于一般的二次型，主要問題是：尋求可逆的線性變換或正交變換，使二次型變成標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè)可逆的線性變換，則其中定義4.11 設(shè)A，B為n階方陣，如果存在n階可逆矩陣C,使得，則稱矩陣A與B合同，稱矩陣C為合同變換矩陣.定義表明，若A與B合同，則A與B等價，反之不然。定理4.10 對應(yīng)任意可逆矩陣C，令，如果A為對稱矩陣，則B亦為對稱矩陣，且R(A)=R(B).二次型經(jīng)過不同的可逆線性變換后所得到的標(biāo)準(zhǔn)形是不同的，但可以證明其正平方項與負(fù)平方項的項數(shù)是不變的.標(biāo)準(zhǔn)形中平方項的項數(shù)稱為二次型的慣性指標(biāo)；正平方項的項數(shù)稱為二次型f的正慣性指標(biāo)，記為p;負(fù)平方項的項數(shù)稱為二次型f的負(fù)慣性指標(biāo)，記為q.顯然，R(A)=p+q.定理4.11 任給二次型，總有正交變換使變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形其中為A的全部特征值.4.4.3 正定二次型定義4.12 設(shè)有實二次型，如果對任何x0,都有0,則稱為正定二次型，對稱矩陣A稱為正定矩陣；如果對任何x0,都有0,則稱為負(fù)定二次型，對稱矩陣A稱為負(fù)定矩陣. 如果對任何x,都有0,則稱為半正定二次型，對稱矩陣A稱為半正定矩陣.定理4.12 實二次型正定的充分必要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的n個平方項系數(shù)全為正.定理4.13 若A是n階實對稱矩陣，則下列命題等價：（1）是正定二次型（或A是正定矩陣）；（2）A的正慣性指標(biāo)為n；（3）存在可逆陣P，使得；（4）A的n個特征值全大于零。定理4.14 （1） 對稱矩陣正定的充分必要條件是A的各階順序主子式