17.1勾股定理（1） (8).ppt

17 1勾股定理 4 4 8 SA SB SC C 圖甲 1 觀察圖甲 小方格的邊長(zhǎng)為1 正方形A B C的面積各為多少 正方形A B C的面積有什么關(guān)系 C 圖乙 2 觀察圖乙 小方格的邊長(zhǎng)為1 正方形A B C的面積各為多少 9 16 25 SA SB SC 正方形A B C的面積有什么關(guān)系 4 4 8 SA SB SC 圖甲 圖乙 2 觀察圖乙 小方格的邊長(zhǎng)為1 9 16 25 SA SB SC 正方形A B C的面積有什么關(guān)系 4 4 8 SA SB SC 圖甲 a b c a b c 3 猜想a b c之間的關(guān)系 a2 b2 c2 勾股定理 畢達(dá)哥拉斯定理 gou gutheorem 如果直角三角形兩直角邊分別為a b 斜邊為c 那么 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 a c 勾 弦 b 股 在中國(guó)古代 人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為 勾 下半部分稱為 股 我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為 勾 較長(zhǎng)的直角邊稱為 股 斜邊稱為 弦 用拼圖法證明 用拼圖法證明 S大正方形 a b 2 a2 b2 2abS大正方形 4S直角三角形 S小正方形 4 ab c2 c2 2ab a2 b2 2ab c2 2ab a2 b2 c2 a2 b2 2ab c2 2ab c2 4 ab 2 b a 2 2ab b2 2ab a2 a2 b2 a2 b2 c2 大正方形的面積可以表示為 也可以表示為 c2 4 ab 2 b a 2 勾股定理的驗(yàn)證 趙爽弦圖 美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話 人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀 簡(jiǎn)捷 易懂 明了的證明 就把這一證法稱為 總統(tǒng) 證法 有趣的總統(tǒng)證法 結(jié)論變形 直角三角形中 兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 c2 a2 b2 勾股定理的應(yīng)用 例 求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度 解 由勾股定理得 x2 36 64 x2 100 x2 62 82 x 10 x2 52 132 x2 132 52 x2 169 25 x2 144 x 12 x 0 x 0 3 求下列圖中表示邊的未知數(shù)x y z的值 81 144 x y z 例 在Rt ABC中 90 1 已知 a 6 8 求c 2 已知 a 40 c 41 求b 3 已知 c 13 b 5 求a 4 已知 a b 3 4 c 15 求a b 例題分析 1 在直角三角形中 已知兩邊 可求第三邊 2 可用勾股定理建立方程 方法小結(jié) 如圖 一個(gè)高3米 寬4米的大門 需在相對(duì)角的頂點(diǎn)間加一個(gè)加固木板 則木板的長(zhǎng)為 A 3米B 4米C 5米D 6米 C 試一試 隔湖有兩點(diǎn)A 從與 A方向成直角的BC方向上的點(diǎn)C測(cè)得CA 13米 CB 12米 則AB為 A 5米B 12米C 10米D 13米 13 12 A 試一試 一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)偶數(shù) 則它的三邊長(zhǎng)分別為 A2 4 6 4 6 8 B 試一試 6 8 10 8 10 12 5或 已知 Rt BC中 AB AC 則BC的長(zhǎng)為 試一試 課堂練習(xí) 一判斷題 1 ABC的兩邊AB 5 AC 12 則BC 13 2 ABC的a 6 b 8 則c 10 二填空題1 在 ABC中 C 90 AC 6 CB 8 則 ABC面積為 斜邊為上的高為 24 4 8 A B C D 二填空題1 在 ABC中 C 90 1 若c 10 a b 3 4 則a b 2 若a 9 b 40 則c 2 在 ABC中 C 90 若AC 6 CB 8 則 ABC面積為 斜邊為上的高為 6 8 41 24 4 8 1 如圖 受臺(tái)風(fēng)麥莎影響 一棵樹在離地面4米處斷裂 樹的頂部落在離樹跟底部3米處 這棵樹折斷前有多高 應(yīng)用知識(shí)回歸生活 2 如圖 是一個(gè)長(zhǎng)方形零件圖 根據(jù)所給的尺寸 求兩孔中心A B之間的距離 40 應(yīng)用知識(shí)回歸生活 例 已知 如圖 等邊 ABC的邊長(zhǎng)是6 1 求高AD的長(zhǎng) 2 求S ABC 例題分析 3 6 已知 如圖 等邊 ABC的高AD是 1 求邊長(zhǎng) 2 求S ABC 練一練 10 4 6 8 10 x E F D C B A 8 x 8 x D A 3 螞蟻沿圖中的折線從A點(diǎn)爬到D點(diǎn) 一共爬了多少厘米 小方格的邊長(zhǎng)為1厘米 G F E 提示 構(gòu)造直角三角形 勾股小常識(shí) 勾股數(shù)1 a b c 滿足 a b c 1 a b c為基本勾股數(shù) 如 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 2 如果a b c是一組勾股數(shù) 則ka kb kc k為正整數(shù) 也是一組勾股數(shù) 如 6 8 10 9 12 15 3 一組勾股數(shù)中必有一個(gè)數(shù)是5倍數(shù) 勾股定理的應(yīng)用 試一試 在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作 九章算術(shù) 中記載了一道有趣的問(wèn)題 這個(gè)問(wèn)題的意思是 有一個(gè)水池 水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形 在水池的中央有一根新生的蘆葦 它高出水面1尺 如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊 它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面 請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少 D A B C 探究1 一個(gè)門框的尺寸如圖所示 一塊長(zhǎng)3m 寬2 2m的薄木板能否從門框內(nèi)通過(guò) 為什么 2m D C A B 連結(jié)AC 在Rt ABC中 根據(jù)勾股定理 因此 AC 2 236因?yàn)锳C 木板的寬 所以木板 從門框內(nèi)通過(guò) 大于 能 探究2 A C O B D 一個(gè)3m長(zhǎng)的梯子AB 斜靠在一豎直的墻AO上 這時(shí)AO的距離為2 5m 如果梯子的頂端A沿墻下滑0 5m 那么梯子底端B也外移0 5m嗎 A C O B D 分析 DB OD OB 求BD 可以先求OB OD 在Rt AOB中 梯子的頂端沿墻下滑0 5m 梯子底端外移 在Rt AOB中 在Rt COD中 OD OB 2 236 1 658 0 58 0 58m 4如圖 在 ABC中 AB AC D點(diǎn)在CB延長(zhǎng)線上 求證 AD2 AB2 BD CD 證明 過(guò)A作AE BC于E E AB AC BE CE 在Rt ADE中 AD2 AE2 DE2 在Rt ABE中 AB2 AE2 BE2 AD2 AB2 AE2 DE2 AE2 BE2 DE2 BE2 DE BE DE BE DE CE DE BE BD CD 7 觀察下列表格 請(qǐng)你結(jié)合該表格及相關(guān)知識(shí) 求出b c的值 即b c 84 85 9 如圖 是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階 它的每一級(jí)的長(zhǎng) 寬和高分別等于 cm cm和 cm A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn) A點(diǎn)上有一只螞蟻 想到B點(diǎn)去吃可口的食物 請(qǐng)你想一想 這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā) 沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn) 最短線路是多少 B A 二 圓柱 錐 中的最值問(wèn)題 例2 有一圓形油罐底面圓的周長(zhǎng)為24m 高為6m 一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對(duì)角B處吃食物 它爬行的最短路線長(zhǎng)為多少 A B 分析 由于老鼠是沿著圓柱的表面爬行的 故需把圓柱展開(kāi)成平面圖形 根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短 可以發(fā)現(xiàn)A B分別在圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的寬1m處和長(zhǎng)24m的中點(diǎn)處 即AB長(zhǎng)為最短路線 如圖 例4 如圖 一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā) 沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處 三條棱長(zhǎng)如圖所示 問(wèn)怎樣走路線最短 最短路線長(zhǎng)為多少 分析 根據(jù)題意分析螞蟻爬行的路線有三種情況 如圖 由勾股定理可求得圖1中AC1爬行的路線最短 四 長(zhǎng)方體中的最值問(wèn)題 8 如圖 小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片 使A與B重合 折痕為DE 若已知AC 10cm BC 6cm 你能求出CE的長(zhǎng)嗎 C 10 如圖 把長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊 使頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)C重合在一起 EF為折痕 若AB 9 BC 3 試求以折痕EF為邊長(zhǎng)的正方形面積 2 如圖 有兩棵樹 一棵高8m 另一棵高2m 兩樹相距8m 一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢 至少飛了 A 7mB 8mC 9mD 10m 8m 8m 2m 7 在等腰 ABC中 AB AC 13cm BC 10cm 求 ABC的面積和AC邊上的高 A B C D 13 13 10 H 提示 利用面積相等的關(guān)系 練習(xí) 4 如圖 ACB ABD 90 CA CB DAB 30 AD 8 求AC的長(zhǎng) 解 ABD 90 DAB 30 BD AD 4 在Rt ABD中 根據(jù)勾股定理 在Rt ABC中 又AD 8 1 如圖 在四邊形ABCD中 BAD 900 DBC 900 AD 3 AB 4 BC 12 求CD 練習(xí) 2 如圖 所有的四邊形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm 則正方形A B C D的面積之和為 cm2 49 聰明的葛藤葛藤是一種刁鉆的植物 它自己腰桿不硬 為了得到陽(yáng)光的沐浴 常常會(huì)選擇高大的樹木為依托 纏繞其樹干盤旋而上 如圖 1 所示 葛藤又是一種聰明的植物 它繞樹干攀升的路線 總是沿著最短路徑 螺旋線前進(jìn)的 若將樹干的側(cè)面展開(kāi)成一個(gè)平面 如圖 2 可清楚的看出葛藤在這個(gè)平面上是沿直線上升的 1 2 數(shù)學(xué)奇聞 有一棵樹直立在地上 樹高2丈 粗3尺 有一根葛藤?gòu)臉涓幚p繞而上 纏繞7周到達(dá)樹頂 請(qǐng)問(wèn)這根葛藤條有多長(zhǎng) 1丈等于10尺 A B C 20尺 3 7 21 尺 聰明的葛藤 小結(jié) 1 利用數(shù)格子的方法 探索了以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的正方形面