淺談2007年三角函數.doc

淺談2007年三角函數、平面向量的高考復習策略浙江省天臺中學 陳中停數學新課程賦予高考數學科新的內容、新的模式、新的要求和新的活力。它要求指導高考復習工作的高三數學教師既要調整對原高考模式下知識結構、重難點的認識和復習思路，改進以往所形成的復習經驗，更要切準高考脈搏，具有新課程理念的問題一定會在今年的數學高考試題中出現，將新課程理念滲透到高考復習中去是我們高三數學教師必須重視的一項工作，只有這樣才能適應新高考教學的需要。所以教師在復習過程中，要在諳熟新課程內容結構體系的基礎上，吃透高考考試說明的要求，從第一輪的章節(jié)復習開始，就要保證復習的針對性，使學生能盡快地在數學知識、方法、思想、能力、素養(yǎng)等各項指標上達到要求。三角函數與平面向量這兩部分內容歷來是高考的重點和熱點內容，三角函數大部分試題屬于中檔題和容易題，都來源于課本中的例題、習題的變形，因此復習時應立足于課本、著眼于提高。雖然2007年的考試大綱降低“三角函數”的考查要求，但核心知識的考查要求并沒有降低，他的基礎性、工具性并沒有因此而削弱。相反更加強調他們的工具性和基礎性?？v觀2007年的全國各地高考試題，對三角函數的考查比例基本保持穩(wěn)定，試題注重了對三角函數的基礎知識、基本技能和基本方法的考查，絕大部分試題中規(guī)中矩，但其中不乏頗有新意的試題?！捌矫嫦蛄俊笔歉咧袛祵W的新增內容，其特殊的表達形式以及兼具“數”與“形”的二重性，使得高考試題的命題背景更加豐富，命題空間更加寬廣，解決問題的方法異彩紛呈，考查平面向量和向量方法與其他內容的穿插、滲透和融合，成為高考數學試題中的一道靚麗的風景線，下面談談2007年高考中“三角函數與平面向量”的試題特點和對教學的幾點啟示。一、考綱與考題（一）解讀考綱2007年高考數學考試大綱與2006年高考數學考試大綱對比，總體保持了平衡，修改后更加適合中學數學教學實際和現代中學生的實際水平，概括講起來，文、理科在三角函數、平面向量中有如下變化：1、 理解：“任意角的三角函數、單位圓中的三角函數線，同角三角函數的基本關系式，正弦、余弦的誘導公式”改為理解：“任意角的三角函數、單位圓中的三角函數線，同角三角函數的基本關系式，正弦、余弦的誘導公式”。2、 三角函數的考試要求中的“（1）理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算”。改為“（1）了解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算”。變化詞：“掌握”降低為“了解”3、 三角函數的考試要求中的“（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義”，改為“理解任意角的正弦、余弦、正切的定義”。變化詞：“掌握”降低為“理解”。 從以上的變化中我們可以發(fā)現，考綱的變化實際上是將考試范圍更加集中于三角函數的核心知識，對基礎的要求更加深入。有利于考查學生的基本能力，促進思維的培養(yǎng)。（二） 量化試題2007年高考試題中“三角函數與平面向量”部分省份考察知識點及實體分布如下表所示：1、部分重點省份高考試題分布卷型科別三角函數平面向量題序分值考點題序分值考點全國1文2，10，1720求值，恒等式，最值，解三角形35坐標運算理1，12，172035全國2文1，3，1822求值，單調性，解三角形6，9，12，2112運算，與函數、解析幾何的綜合理1，2，17205，9，12，2012上海卷文4，1718恒等變形，周期性，解三角形64加法運算，數量積理6，1716144北京卷文1，3，8，12，1322概念，性質，恒等變形，解三角形115加法，實數與向量的運算，坐標運算理1，8，11，131745浙江卷文2，12，1823圖形與性質，恒等變形，解三角形95概念，運算理2，12，182375江蘇卷文1，5，11，15，1622驟起，單調性，恒等變形，解三角形193與解析幾何的綜合理2、新課程改革試驗區(qū)高考試卷卷型科別三角函數平面向量題序分值考點題序分值考點廣東卷文9，1617求值，恒等式，最值，解三角形4，169坐標運算理3，13，161865寧夏與海南卷文2，3，9，1722圖像，性質，恒等變形，解三角形4，218坐標運算，解析幾何的綜合理1，3，9，17202，198山東卷文4，1717圖像，性質，解三角形5，97概念，運算，與解析幾何的綜合理5，9，2018115（三）考情分析從2007年高考試題和考試說明的研讀中我們能深刻地體會到2007年高考命題的三大特點：1、考查“基礎知識、基本技能和基本方法”是高考命題的一個基本原則，在2007年高考中“三角函數與平面向量”試題都是容易題和中檔題，突出了對“基礎知識、基本技能和基本方法”的考察，在常規(guī)中考察知識與能力，許多題目似曾相識，有些題是課本上例題、習題的變式、轉化或引申。例如，全國卷1理1、3，文2，3，10，全國卷2理1、2、9、12，文1、3、6、9、12，北京卷理1、11，文1、3、12，上海理6，文4、6，天津卷問9、17，重慶卷理5、17，文6、13山東卷理5，文4，廣東卷理3，寧夏與海南卷理2、3、17，文3、4、17，江蘇卷1、5、11，浙江卷理2、12，文2、12，福建卷理5，文3、5，江西卷理3、15，文2、4，湖北卷理2，文1、16，湖南卷理12，文2、12，四川卷理16、17，文16、18，陜西卷理4、15，文4、16，安徽卷理6，文15等都是源于教材的基礎題。學生在解答這部分試題時，基本上沒有思維障礙，許多題目只需直接利用定義、公式進行判斷或計算，體現了“考基礎”的命題原則。2、突出能力立意，即強調基礎和能力并重，知識與能力并舉，在知識的交匯點處命題，體現“重點知識重點考查”的原則，使試卷具有靈活的特點。三角恒等變形、求值、三角函數的圖像和性質、解三角形是支撐三角函數知識體系的主干知識，2007年的高考也十分注重對這些重點內容的考查，在37份試卷中，除北京卷理、文、江蘇卷3份試卷外的34份試卷中，均有一道三角函數的解答題，其中18份試卷考察的是解三角形的有關知識，有16道題考察的是三角函數的恒等變形與求值，12道題涉及三角函數的最值，考查周期性的有5道、單調性的有4道試題，從中可以看出三角函數部分的命題突出了這一原則。3、倡導理性思維，即以能力立意命題，更好地考察數學思想，全面地考查考生的數學理性思維能力。數學思想和方法是數學知識是數學知識在更高層次上的抽象和概括，是中學數學解題的利劍。在2007年高考“三角函數與平面向量”試題中重點考察了函數與方程思想（如全國卷1理1，全國卷2理17，天津卷理10等）、數形結合的思想（如全國卷1文10、全國卷2理2、文3、12等）、化歸與轉化思想（如全國卷1理12，文10，全國卷2理1、12等），此外還考察了分類與整合思想（如北京卷理1、上海卷理14）與換元法（如全國卷1理12，遼寧卷理20等）。在復習教學的過程中，對于數學思想方法的復習從某種角度上考慮也就決定了我們復習的效果。4、注重數學的應用，即通過創(chuàng)設應用背景，充分體現出基礎知識、重點知識間的聯系，讓考生在實踐體驗的基礎上通過構建相應的數學模型解答問題，最終考查考生的實踐能力與創(chuàng)新能力。加強應用意識的培養(yǎng)與考察是時代的需要，是教育改革的需要，同時也是數學科的特點所決定的，如山東卷理20.如圖，甲船以每小時海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行。當甲船位于處時，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距20海里，當甲船航行20分鐘到達處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里。問乙船每小時航行多少海里？，寧夏與海南卷理17（文17）如圖，測量和對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面內的兩個測點與?，F測得，并在點測得塔頂的仰角為，求塔高，從知識角度看，考察的是解三角形的有關知識，所不同的是通過創(chuàng)新的情境，拉近了數學與現實生活的距離，考察的是考試分析問題和解決問題的能力。又如江蘇卷16某時鐘的秒針端點到中心的距離為，秒針均勻地繞點旋轉，當時間時，點與鐘面上標12的點重合，將兩點的距離表示成的函數，則_，其中。讓考生寫出鐘表秒針轉動過程中，秒針端點的距離問題隨時間的變化關系，設計巧妙，凸現數學的工具性。（五） 亮點聚焦在2007年高考試卷中，以常規(guī)的方式“考基礎、考能力”的傳統題構成試卷的主體，同時我們還看到了一些構思新穎巧妙、內容豐富充實、形式生動活潑的“考素質、考潛能”的令人耳目一新的試題。1、平面向量已平面幾何的“整合”平面向量與平面幾何間有著較為密切的依存關系，求平面圖像中線段的長度可以通過求相應向量的模來實現，求角度則可以通過求相應向量的夾角來解決，而平行和垂直的證明則可以分別通過向量共線的條件和數量積為零來處理。因此，平面向量與平面幾何整合，可以編制出許多新意迭出的試題，從而受到命題者的普遍青睞，成為高考試題的一大亮點，如江蘇卷理15在平面直角坐標系中，已知的頂點和，頂點在橢圓上，則_；此題寓向量的加減法運算、向量共線基本定理等知識與三角形這一基本的平面圖形之中，對考生來說，情景似曾相識，但又不失新意。2、 平面向量與函數圖像“牽手” 將向量的運算與函數的解析式聯系在一起，將函數的圖像與向量的坐標相對應，使平面向量與函數及其圖像牽起手來，編制成有關平面向量與函數圖像的綜合題，考查學生靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力，這是高考對平面向量綜合考察的有一個“亮點”，如湖南卷理4設是非零向量，若函數的圖像是一條直線，則必有（ ） 。3、向量與立體幾何的綜合。在立體幾何中引入空間向量以后，很多問題都可以用向量的方法解決。由于應用空間向量的方法，可以通過建立空間坐標系，將幾何元素之間的關系數量化，進而通過計算求解，證明問題，空間向量更顯示解題的優(yōu)勢。現行的高中數學教材第九章(立體幾何)分(A)、(B)兩種，其中(B)引入空間向量，我省選用的是(B)，所以立體幾何的命題必然會考慮到教材的特點。預測今年的立體幾何大題是：一題多問(證明位置關系、求角與距離或體積)、一題多解(可用空間向量做，也可不用空間向量做)，一般情況下，應優(yōu)先考慮用空間向量的方法。利用空間向量解決立體幾何問題，主要有兩種策略，一是建立空間直角坐標系，通過向量的坐標運算解決問題；二是不建立坐標系，直接利用空間向量的基本定理，即將有關向量用空間的一組基底表示出來，然后通過向量的有關運算求解。在給出的空間圖形適合建立坐標系的情況下，應建立坐標系求解。為此，要熟練掌握常見空間圖形建立空間坐標系的方法，正確寫出相關點和向量的坐標并進行運算，要熟練掌握用空間向量求三種角(異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角)的兩種距離(兩條異面直線的距離、點到平面的距離)的計算公式。用空間向量做立體幾何題一般不需要作輔助線和理論證明，但運算量大，必須細心再細心，一旦出錯，扣分會比較多。立體幾何中的探索性問題在近兩年高考中常出現，這類問題特別適合建立空間直角坐標系，用空間向量的坐標運算進行求解。當然，三角函數與平面向量的“交匯”、平面向量與解析幾何的“綜合”是命題的重點與熱點，這已成為大家的共識，在此姑且歸結為傳統題，不再復述。二、 教材分析（一）對三角函數部分考點的分析1、在同角三角函數關系中重點是：（1），等三角式的值之間轉化；（2）平方關系逆用，；（3）誘導公式逆用；（4）能根據三角式的值確定角的范圍；（5）會利用切弦轉化，化同名，消角求值等思路與解題技巧。2、圖像性質重點是（1），圖像與性質；（2）圖像的畫法；（3）的性質；（4）由圖像求的解析式；（5）與的圖像變換。3、在三角形等實際問題中的應用（1）運用正弦定理、余弦定理進行邊角互化；（2）掌握特殊三角形銳角、鈍角、直角、等腰（邊）三角形的性質；（3）直角三角形中，內切、外接圓半徑與邊的關系；（4）掌握三角形面積的多種計算方法；建議：控制在課本知識的范圍和難度上，適當強化與向量、數列、二次函數、立體幾何、解析幾何的綜合，以及利用正、余弦定理解決與測量有關的實際問題，這樣就能適應未來高考，總之應立足基礎、強化應用。（二）對平面向量部分考點的分析1、平面向量概念，性質，運算法則以及基本運算技能；理解運用直觀幾何意義，并能正確進行簡單的綜合計算，同時突出對平面向量數量積的考察和運用。2、 考查向量的坐標表示，線性運算以及共線與垂直的充要條件。3、將向量與數列、方程、函數、三角、不等式、平面幾何、解析幾何等內容有機的結合在一起，考察與其他學科知識體系間的綜合運用能力，凸顯平面向量的交匯性和工具性。三、 復習過程中的幾點建議（一）借三角函數的平臺提高高考應試的各項本領1、源于課本、高于課本，形成完備的三角函數知識體系。新課程中三角函數部分內容比傳統教材少了不少，原有的一些公式在教材中未直接出現，而是以例、習題的形式讓學生接觸。我認為：在作為基礎性、工具性的三角函數章節(jié)中，內容進行一定量的充實是十分必要的。如：同角三角函數關系式應由課本中的三個公式變?yōu)榘藗€，每個公式不僅會順用、逆用、更能靈活變化使用；不僅要掌握終邊相同角集合的表示，還能表示終邊相反、終邊共線角集合；不僅能準確地表示軸線角、象限角，還能熟練地表示區(qū)域角；不僅能進行兩角和與差三角函數各類公式的相互推導，還能讓其中各公式熟記于心，隨需隨用；不僅能利用五點法作出函數圖象、利用圖象解決問題，還要能利用各三角函數在各象限的符號解決已知特殊角的三角函數值求角，能讓三角函數線與圖象具有同樣的直觀功能。而且能根據解題需要判斷出最好是用原函數圖象還是用其它相關的函數圖象作圖來解決問題。只有這樣，才會形成一個錯落有致，體系完備的三角函數知識網絡。2、重視運算與直觀化、突出三角函數的工具性。高考所要求的各種能力的基礎是運算能力。三角函數中龐大的公式群顯示了它在中學數學運算中特殊的地位。復習過程中，在讓學生認識每個公式的推導、作用、地位之后，教師首先應要求學生保證對每個公式使用的準確化與熟練化，逐步發(fā)展到既能熟練綜合運用、又能進行合理的選擇以及在演算過程進行優(yōu)化。不僅使三角函數成為高考數學的有力工具，更借三角函數這個平臺有力地提高高考所必備的運算能力。直觀手段的多樣化是三角函數章節(jié)中的一大亮點：各種角集合的直觀表示、三角函數符號圖、三角函數線以及各種三角函數圖象（含原函數、外層函數、相關函數）。這些直觀工具的準確使用，不僅使學生具有一定的形轉數，數形有效結合的思想意識，而且在這些直觀手段的選擇使用過程中有效地培養(yǎng)了學生們既能借直觀助抽象。又能根據解題目標的需要對各種手段具有評判、決擇的能力。這對培養(yǎng)學生思維的目的性、方向性、有效性，深刻性等優(yōu)良思維品質是一個很好的訓練基地。3、發(fā)揮結點功能，強調學科綜合。三角函數基礎性、工具性的地位。使得它與每個章節(jié)的數學知識有機地聯系，尤其是能與函數不等式、圓錐曲線、立幾、復數等重點章節(jié)聯系。教師要充分地發(fā)揮好三角函數的網絡節(jié)點的功能，有效地達到學科間的綜合。要有目的地自己或讓學生選擇一些精典的與三角函數有關的綜合題，引導學生有序地分解知識點，理清之間的規(guī)律，通過對解題目標的分析，揣摩命題的意圖，最終達到對問題的完整解答。事實上，在一道很好的科間綜合題的解答過程中應用三角函數知識與純通過三角函數的訓練相比，二者效果絕對不在一個層面上?，F舉一例：以點A為圓心。以 （0、 ）為半徑的圓內有一點B。已知 ，設過點B且與圓A內切于點T的圓的圓心為M當取某個值時，點M的軌跡P是什么曲線？當M為軌道上的動點，點N是圓A上的動點，把 的最大值記為f()，試求f()的取值范圍。本題是三角函數與圓錐曲線的綜合題，它不僅要求能從圓錐曲線的定義而不是從方程的角度判斷出曲線的形狀，對圓錐曲線知識有一定深刻性的要求，而且綜合了三角函數諸很多方面的知識，尤其可貴的是在對 （ ） 產生值域兩個端點的函數值的計算時，采用 ，由 整體得出最大值，采用 代入 得到下界值，從而有效地避開了反三角函數表示的角的三角函數值的計算。若能對習題進行到位的探索與解答，既達到對圓錐曲線、三角函數各自內部綜合及其相互間綜合水平提高，又能對清晰駕馭題意、優(yōu)化解法、優(yōu)化運算過程的優(yōu)良思維品質進行了有效的培養(yǎng)。這里要強調的是：教師在復習三角函數綜合題時，對習題的精選與精講是最關鍵的。在講解的過程中，教師不能包講包做。應引導學生善于審清題意，駕馭題目結構、理清關系，能夠有效地分解與整合，學會揣摩出題意圖和完整規(guī)范的書寫，從而形成良好的審題、解題習慣。（二）用向量的獨特資源激活數學思維向量概念的兩大要素“方向與長度”使向量既具有“形”又具有“數”的特征，既聯系幾何又聯系代數知識，是高中數學重要的知識網絡交匯點，是數形結合思想的重要載體。這幾年新課程卷考查平面向量的考題分為基礎題和能力題兩種?；A題多為平面向量的有關概念的判斷題和簡單計算題。能力題多為與平面向量有關的運算型綜合題、代數推理題或解析幾何綜合題。我認為在平面向量的復習中應做好如下兩個方面的工作：1、扎實有效地掌握平面向量，接受高考對新教材的考查。平面向量有三種表示法：（一）有向線段法，此法直接凸現向量“形”的特征、使向量能充分運用數學對象的幾何意義解題。（二）單、雙字母表示法，此法兼?zhèn)洹皵怠迸c“形”的兩種形態(tài)，具有強大的表達功能。（三）坐標表示法，此法使向量直接可采用向量的坐標運算，即可用代數的方法研究向量。教師在復習中，應以平面向量的三種表示方法為基礎，按照方向和大小兩要素，以數形結合思想為指導，掌握平面向量在每一種形式下相關運算的法則與常用技巧。在復習向量的加法、減法、數乘向量、向量的數量積這四種運算過程中，要讓學生特別關注向量運算與數運算的不同之處。如向量的數量積運算不具有結合律。因而，不可隨意地將實數的運算律遷移到向量的運算中。使學生對向量有關概念、法則能理解到位。對四種運算達到準確熟練化的要求。其次，教師要有效地利用平面向量網絡結點的地位。把向量的復習穿插在各章節(jié)中，通過有心的選題、改題、編制新命題，讓學生充分感受到向量在各章節(jié)中的應用，逐步能利用向量的思想方法解決數學問題。如：通過選擇適當的基底向量表示其它向量來證明幾何問題；利用向量的長度與方向的二要素簡捷地證明三角函數問題；利用向量的坐標法解答解幾問題；利用向量的表達功能表述圖形的平移問題；利用平面向量集與復數集之間的對應關系解決復數問題，利用向量模型解決涉及方向與數量的實際問題。若能在其它章節(jié)的復習中讓學生們穿插運用向量知識、向量的思想方法從不同的切入點解決各類問題、學生們的抽象思維能得到最充分的培養(yǎng)，各種數學能力會得到一定的提高。2、加強平面向量與解析幾何的交匯與融合。由于向量具有代數與幾何的雙重身份，使它成為中學數學知識的一個交匯點，成為聯系多項知識的媒介。平面向量與解析幾何的交互滲透是新課程高考命題的一大趨勢，也是近幾年新課程高考的熱點內容。如題1（新課程卷）平面直角坐標系中，已知A（3、1）、B（1、3）若點C滿足OC=OA+OB，其中、R，且+=1，則點C的軌跡方程是（ ）(A)3x+2y11=0 (B)（x1）2+（y2）2=5 (C)2xy=0 (D)x2y5=0題2（新課程卷）已知兩點M（1、0）、N（1、0），且點P使MPMN，PMPN，NM、NP成公差小于O的等差數列 點P的軌跡是什么曲線？ 若點P坐標為（x0、y0）記為PM與PN的夾角，求tan。題3（新課程卷）已知常數a0，c=(0、a),i=(1、0)經過原點O以C+i為方向向量的直線與經過定點A（0、a）以i2c為方向向量的直線相交于點P，其中R試問：是否存在兩個定點E、F，使得 為定值，若存在，求出E、F的坐標，若不存在，說明理由。上述三道解幾題都涉及用向量的符號表示出一定的數學關系，體現了向量的表達功能。在考查綜合水平的同時，對向量的概念、運算以及向量與其它數學知識間的轉化均有一定的要求，而且這種要求有越來越加深的趨勢。向量的出現，豐富了數學問題的背景，為中學研究性學習帶來了活力。因而教師在復習解析幾何尤其是圓錐曲線部分知識時，要盡可能獲取一些品位高、內容新、切準高考脈搏、以向量為背景或用向量思想方法解答的解幾題給學生以探索和解答。教師可通過如下幾種渠道獲取習題：（一）在資料、信息卷、雜志上摘取。（二）改造傳統題的背景，把原解幾題的背景用向量符號、向量關系表達。（三）編制習題，即對當前有關社會熱點問題進行接收、分檢、加工處理。編制出既有時代氣息又融合解幾與向量的好題目。（四）指導學生改制命題。教學中有意識地引導學生把一道道解幾題改造成盡可能地用向量的符號、關系號表達。這種訓練若能有效地進行。會使學生們對向量的理解、掌握達到一個新的臺階。眾所周知、章節(jié)復習是高三復習工作的主體工程，在這一階段，教師要在把握教材、考綱、高考相應要求的基礎上突出重點、化解難點、抓住熱點、克服盲點。不僅幫助學生嫻熟掌握各章基礎知識、基本技能、整體把握各章內在的知識結構體系、能準確靈活地進行各部分知識的縱、橫向聯系，而且能切準高考命題的脈搏。用與高考命題思想同步的教育理念、教學方式，通過對品位高、內容新，針對性強的習題的強化訓