2015全國.doc

2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試新課標全國卷(文科)知識點檢索號11.(2015新課標全國卷文科T1)已知集合A=xx=3n+2,nN,B=6,8,10,12,14,則集合AB中的元素個數(shù)為()A.5B.4C.3D.2【解題指南】將集合A中取n=0,1,2,3,4,求出集合A中的元素,然后求AB,從而確定元素個數(shù).【解析】選D.因為A=2,5,8,11,14,17,B=6,8,10,12,14,所以AB=8,14.知識點檢索號212.(2015新課標全國卷文科T2)已知點A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),則向量BC=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4) D.(1,4)【解題指南】先求出AB,再利用BC=AC-AB求解.【解析】選A.因為AB=(3-0,2-1)=(3,1),所以BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).知識點檢索號233.(2015新課標全國卷文科T3)已知復數(shù)z滿足(z-1)i=1+i,則z=()A.-2-i B.-2+iC.2-i D.2+i【解析】選C.因為(z-1)i=1+i,所以z=(1+2i)ii2=2-i.知識點檢索號544.(2015新課標全國卷文科T4)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù),從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為()A.310B.15C.110D.120【解析】選C.從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10種,其中(3,4,5)為一組勾股數(shù),共一種,所以3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為110.知識點檢索號485.(2015新課標全國卷文科T5)已知橢圓E的中心為坐標原點,離心率為12,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,點A,B是C的準線與E的兩個交點,則AB=()A.3B.6C.9D.12【解析】選B.設橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(ab0),右焦點為(c,0),依題意得c=2,ca=12,解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以橢圓E的方程為x216+y212=1,因為拋物線C:y2=8x的準線為x=-2,將x=-2代入到x216+y212=1,解得A(-2,3),B(-2,-3),故AB=6.知識點檢索號366.(2015新課標全國卷文科T6)九章算術是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【解題指南】利用錐體底面的弧長,確定圓錐底面半徑,求出米堆的體積,然后合成斛.【解析】選B.設圓錐底面半徑為r,則1423r=8,所以r=163,所以米堆的體積為1413316325=,故堆放的米約為1.6222.知識點檢索號257.(2015新課標全國卷文科T7)已知an是公差為1的等差數(shù)列,Sn為an的前n項和,若S8=4S4,則a10=()A.172B.192C.10D.12【解題指南】由S8=4S4求出首項,再由a10=a1+(10-1)d求出a10的值.【解析】選B.設等差數(shù)列的首項為a1,則S8=8a1+8(8-1)12=8a1+28,S4=4a1+4(4-1)12=4a1+6,因為S8=4S4,即8a1+28=16a1+24,所以a1=12,則a10=a1+(10-1)d=12+9=192.知識點檢索號178.(2015新課標全國卷文科T8)函數(shù)f(x)=cos(x+)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調遞減區(qū)間為()A.k-14,k+34(kZ)B.2k-14,2k+34(kZ)C.k-14,k+34(kZ)D.2k-14,2k+34(kZ)【解題指南】根據(jù)圖象,利用五點法求出,的值,確定f(x)的解析式,求出f(x)的單調遞減區(qū)間.【解析】選D.由五點作圖知,14+=2,54+=32,解得=,=4,所以f(x)=cosx+4,令2kx+42k+,kZ,解得2k-14xt=0.01,是,循環(huán);執(zhí)行第二次,S=S-m=0.25,m=m2=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是,循環(huán);執(zhí)行第三次,S=S-m=0.125,m=m2=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是,循環(huán);執(zhí)行第四次,S=S-m=0.0625,m=m2=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是,循環(huán);執(zhí)行第五次,S=S-m=0.03125,m=m2=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是,循環(huán);執(zhí)行第六次,S=S-m=0.015625,m=m2=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是,循環(huán);執(zhí)行第七次,S=S-m=0.0078125,m=m2=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否,輸出n=7.知識點檢索號410.(2015新課標全國卷文科T10)已知函數(shù)f(x)=2x-1-2,x1,-log2(x+1),x1,且f(a)=-3,則f(6-a)=()A.-74B.-54C.-34D.-14【解析】選A.當a1時不符合題意,所以a1,即-log2(a+1)=-3,解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-74.知識點檢索號3611.(2015新課標全國卷文科T11)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20,則r=()A.1B.2C.4D.8【解析】選B.由正視圖和俯視圖知,該幾何體是半球與半個圓柱的組合體,圓柱的底面半徑與球的半徑都為r,圓柱的高為2r,其表面積為124r2+r2r+r2+2r2r=5r2+4r2=16+20,解得r=2.知識點檢索號712.(2015新課標全國卷文科T12)設函數(shù)y=f(x)的圖象與y=2x+a的圖象關于直線y=-x對稱,且f(-2)+f(-4)=1,則a=()A.-1B.1C.2D.4【解題指南】由函數(shù)y=f(x)的圖象與y=2x+a的圖象關于直線y=-x對稱,得出-x=2-y+a,從而確定y=f(x)的解析式,再利用f(-2)+f(-4)=1求出a的值.【解析】選C.因為函數(shù)y=f(x)的圖象與y=2x+a的圖象關于直線y=-x對稱,所以-x=2-y+a,解得f(x)=-log2(-x)+a,又f(-2)+f(-4)=1,所以-log22-log24+2a=1,解得a=2.知識點檢索號2613.(2015新課標全國卷文科T13)數(shù)列an中a1=2,an+1=2an,Sn為an的前n項和,若Sn=126,則n=.【解題指南】由an+1=2an確定數(shù)列an為首項a1=2,公比q=2的等比數(shù)列,然后利用等比數(shù)列的前n項和公式求解.【解析】因為an+1an=2,所以數(shù)列an是首項a1=2,公比q=2的等比數(shù)列,Sn=2(1-2n)1-2=126,即2n+1=128,解得n=6.答案:6知識點檢索號1214.(2015新課標全國卷文科T14)已知函數(shù)fx=ax3+x+1的圖象在點1,f1處的切線過點2,7,則a=.【解題指南】先對函數(shù)fx=ax3+x+1求導,求出在點1,f1處的切線方程.【解析】因為f(x)=3ax2+1,所以圖象在點1,f1處的切線的斜率k=3a+1,所以切線方程為y-7=(3a+1)(x-2),即y=(3a+1)x-6a+5,又切點為1,f1,所以f(1)=3a+1-6a+5=-3a+6,又f(1)=a+2,所以-3a+6=a+2,解得a=1.答案:1知識點檢索號3115.(2015新課標全國卷文科T15)若x,y滿足約束條件x+y-20,x-2y+10,2x-y+20,則z=3x+y的最大值為.【解析】畫出可行域如圖所示,目標函數(shù)y=-3x+z,當z取到最大值時,y=-3x+z的縱截距最大,即將直線移到點C時,x-2y+1=0,x+y-2=0,解得C(1,1),zmax=31+1=4.答案:4知識點檢索號4516.(2015新課標全國卷文科T16)已知F是雙曲線C:x2-y28=1的右焦點,P是C左支上一點,A0,66,當APF周長最小時,該三角形的面積為.【解題指南】APF周長最小時,P點是點A與雙曲線C:x2-y28=1的左焦點的連線與雙曲線的交點.【解析】由已知a=1,b=22,c=3,所以F(3,0),F(-3,0),又A0,66,所以|AF|=32+(66)2=15,APF周長l=|PA|+|PF|+|AF|,又|PF|-|PF|=2,所以|PF|=|PF|+2,所以l=|PA|+|PF|+2+15|AF|+17=32,當且僅當A,P,F三點共線時,APF周長最小,如圖所示.設P(x,y),直線AF的方程為x-3+y66=1,聯(lián)立得x-3+y66=1,x2-y28=1,消去x得6y2+36y-966=0,解得y=-86(舍)或y=26,則P(x,26).因為SAPF=SAFF-SPFF=12666-12626=126.答案:126知識點檢索號1917.(2015新課標全國卷文科T18)(12分)已知a,b,c分別是ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B.(2)若B=90,且a=2,求ABC的面積.【解題指南】(1)根據(jù)正弦定理將sin2B=2sin Asin C變?yōu)閎2=2ac,再利用余弦定理求出cos B.(2)利用勾股定理及b2=2ac求出c,然后確定ABC的面積.【解析】(1)因為sin2B=2sin Asin C,由正弦定理得b2=2ac,因為a=b,所以a=2c.由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=c22ac=c2a=14.(2)因為B=90,所以a2+c2=b2,又b2=2ac,所以a2+c2=2ac,即a=c=2,所以SABC=1222=1.知識點檢索號3918.(2015新課標全國卷文科T18)(12分)如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE平面ABCD,(1)證明:平面AEC平面BED.(2)若ABC=120,AEEC,三棱錐EACD的體積為63,求該三棱錐的側面積.【解題指南】(1)先證明AC平面BED,再證明平面AEC平面BED.(2)利用三棱錐EACD的體積為63求出AB的值,然后求出EAC,EAD,ECD的面積.【解析】(1)因為四邊形ABCD為菱形,所以ACBD.因為BE平面ABCD,所以ACBE,又BDBE=B,故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(2)設AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=32x,GB=GD=x2.因為AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=32x.由BE平面ABCD,知EBG為直角三角形,可得BE=22x.由已知得,三棱錐EACD的體積VEACD=1312ACGDBE=624x3=63.故x=2.從而可得AE=EC=ED=6.所以EAC的面積為3,EAD的面積與ECD的面積均為5.故三棱錐EACD的側面積為3+25.知識點檢索號5119.(2015新課標全國卷文科T19)(12分)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.xywi=18(xi-x)2i=18(wi-w)2i=18(xi-x)(yi-y)i=18(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi=xi,w=18i=18wi.(1)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù),建立y關于x的回歸方程.(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結果回答下列問題:年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少?年宣傳費x為何值時,年利潤的預報值最大?附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回歸線v=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為:=i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2,=v-u.【解析】(1)由散點圖的變化趨勢可以判斷,y=c+dx適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型.(2)令w=x,先建立y關于w的線性回歸方程.由于=i=18(wi-w)(yi-y)i=18(wi-w)2=108.81.6=68,=y-w=563-686.8=100.6,所以y關于w的線性回歸方程為=100.6+68w,因此y關于x的回歸方程為=100.6+68x.(3)由(2)知,當x=49時,年銷售量y的預報值=100.6+6849=576.6,年利潤z的預報值=576.60.2-49=66.32.根據(jù)(2)的結果知,年利潤z的預報值=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12.所以當x=13.62=6.8,即x=46.24時,取得最大值.故年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預報值最大.知識點檢索號4320.(2015新課標全國卷文科T20)(12分)已知過點A0,1且斜率為k的直線l與圓C:x-22+y-32=1交于M,N兩點.(1)求k的取值范圍.(2)若OMON=12,其中O為坐標原點,求MN.【解題指南】(1)利用圓心到直線y=kx+1的距離小于1求出k的取值范圍.(2)將直線y=kx+1與圓x-22+y-32=1聯(lián)立,利用根與系數(shù)關系及向量數(shù)量積求解.【解析】(1)由題設,可知直線l的方程為y=kx+1.因為l與C交于兩點,所以|2k-3+1|1+k21.解得4-73k0時,f(x)2a+aln2a.【解題指南】先對函數(shù)f(x)=e2x-aln x求導,再分a0,a0兩種情況討論函數(shù)的單調性,從而確定f(x)的零點的個數(shù).(2)結合(1)求出函數(shù)f(x)的最小值.【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+),f(x)=2e2x-ax(x0).當a0時,f(x)0,f(x)沒有零點;當a0時,因為y=e2x單調遞增,y=-ax單調遞增,所以f(x)在(0,+)上單調遞增.由y=2e2x與y=ax的大致圖象如圖所示,存在交點A,則當xx0時,f(x)x0時,f(x)0,故f(x)存在唯一零點.(2)由(1),可設f(x)在(0,+)的唯一零點為x0,當x(0,x0)時,f(x)0.故f(x)在(0,x0)上單調遞減,在(x0,+)上單調遞增,所以當x=x0時,f(x)取得最小值,最小值為f(x0).由于2e2x0-ax0=0,所以f(x0)=e2x0-aln x0=a2x0+2ax0-2ax0-aln x0=a2x0+2ax0-(2ax0+aln x0)=a2x0+2ax0-a(2x0+ln x0),因為2e2x0-ax0=0,所以e2x0=a2x0,由兩邊取對數(shù)得:2x0=lna2x0,所以f(x0)=a2x0+2ax0-alna2x0+lnx0=a2x0+2ax0-alna2=a2x0+2ax0+aln2a2a+aln2a.故當a0時,f(x)2a+aln2a.知識點檢索號5722.(2015新課標全國卷文科T22)(10分)選修4-1:幾何證明選講如圖,AB是O的直徑,AC是O的切線,BC交O于點E.(1)若D為AC的中點,證明:DE是O的切線.(2)若OA=3CE,求ACB的大小.【解析】(1)連結AE,由已知得,AEBC,ACAB.在RtABC中,由已知得,DE=DC,故DEC=DCE.連結OE,則OBE=OEB.又ACE+ABC=90,所以DEC+OEB=90,所以OED=90