高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課件：點、直線、圓的位置關(guān)系.ppt

1 直線x y 1 0與圓 x 1 2 y2 2的位置關(guān)系是 A 相切B 相交C 相離D 不能確定圓心 1 0 與直線x y 1 0的距離又r 選A 易錯點 判斷直線與圓的位置關(guān)系 弄清圓心到直線的距離與半徑r的大小關(guān)系 而不是與r2的關(guān)系 A 2 如果直線ax by 4與圓x2 y2 4有兩個不同的交點 則點P a b 與圓的位置關(guān)系是 A P在圓外B P在圓上C P在圓內(nèi)D 不能確定由已知 圓心 0 0 到直線ax by 4的距離得a2 b2 4 所以點P a b 在圓x2 y2 4外 選A A 3 若過原點的直線l與曲線 x 2 2 y2 1有公共點 則直線l的斜率的取值范圍為 A B C D 設(shè)直線方程為y kx即y kx 0 由題意得解得選C C 4 兩圓 x 1 2 y2 4與x2 y2 2y 0公切線的條數(shù)是 由題意可得兩圓連心線長r1 r2 3 因為1 3 所以兩圓相交 故有2條公切線 填2 2 5 直線l過點P 1 1 且截圓C x2 y2 4所得的弦長為2 則直線l方程為 當(dāng)直線l與x軸垂直時 所截圓的弦長為2 滿足題設(shè) 當(dāng)直線l斜率k存在時 直線方程設(shè)為y 1 k x 1 即kx y k 1 0 由垂徑定理得知圓C的圓心 0 0 到直線l的距離d 1 所以解得k 0 綜上可知 所求直線l的方程為x 1或y 1 填x 1或y 1 易錯點 設(shè)直線方程時 須注意討論斜率k的存在與否 x 1或y 1 1 直線與圓的位置關(guān)系 1 直線與圓的位置關(guān)系有三種 相交 相切 相離 2 判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法有兩種 代數(shù)法 把直線方程代入圓的方程轉(zhuǎn)化為二次方程 利用判別式 b2 4ac 0 相交 b2 4ac 0 相切 b2 4ac 0 相離 幾何法 利用圓心到直線距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系 dr 相離 3 P x0 y0 在圓x2 y2 r2外 直線x0 x y0y r2與圓x2 y2 r2相交 P x0 y0 在圓x2 y2 r2上 直線x0 x y0y r2與圓x2 y2 r2相切 P x0 y0 在圓x2 y2 r2內(nèi) 直線x0 x y0y r2與圓x2 y2 r2相離 2 圓與圓的位置關(guān)系 1 兩圓位置關(guān)系的判定 設(shè)兩圓圓心分別為O1 O2 半徑分別為r1 r2 d r1 r2 外離 4條公切線 d r1 r2 外切 3條公切線 d r1 r2 相交 2條公切線 d 內(nèi)切 1條公切線 0 d 內(nèi)含 無公切線 2 公共弦所在的直線方程設(shè)兩圓C1 x2 y2 D1x E1y F1 0 C2 x2 y2 D2x E2y F2 0 若兩圓相交 則兩圓的公共弦所在的直線方程為 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 重點突破 直線與圓的位置關(guān)系已知圓x2 y2 2mx 2my 2m2 2 0 m R 求證 不論m為何值 圓心在同一直線l上 與l平行的直線中 哪些與圓分別相交 相切 相離 用配方法將圓的一般方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程 求圓心坐標(biāo) 消去m 比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小 證明 配方得 x m 2 y m 2 2 x my m程為x y 0 則不論m為何值 圓心恒在直線l x y 0 設(shè)圓心為 x y 則 消去m得l方 設(shè)與l平行的直線是l1 x y b 0 則圓心到直線l1的距離為因為圓的半徑為r 2 所以當(dāng)dr 即b2時 直線與圓相離 交 由圓的一般方程研究圓的基本要素時 配成標(biāo)準(zhǔn)方程 即可得 判斷直線l與圓的位置關(guān)系時 主要有兩種方法 一是看由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解 二是可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關(guān)系 列式求解 已知圓的方程是x2 y2 2 直線y kx 2 當(dāng)k為何值時 圓與直線 有兩個公共點 只有一個公共點 沒有公共點 圓x2 y2 2的圓心 0 0 到直線當(dāng)d1或kr 即 1 k 1時 直線與圓相離 沒有公共點 y kx 2的距離 重點突破 圓與圓的位置關(guān)系圓O1的方程為x2 y 1 2 4 圓O2的圓心為O2 2 1 若圓O2與圓O1外切 求圓O2的方程 若圓O2與圓O1交于A B兩點 且求圓O2的方程 根據(jù)兩圓的位置關(guān)系及圓心性質(zhì)建立等式求出圓O2的半徑 設(shè)圓O2的半徑為r 由于兩圓外切 則圓心距所以故圓O2的方程為 x 2 2 y 1 2 4 1 2 設(shè)圓O2的方程為 x 2 2 y 1 2 r2 因為圓O1的方程為x2 y 1 2 4 故兩圓的方程相減 即得兩圓的公共弦AB所在直線方程為4x 4y r2 8 0 所以圓心O1 0 1 到直線AB的距離為解得r2 4或r2 20 故圓O2的方程為 x 2 2 y 1 2 4或 x 2 2 y 1 2 20 兩圓位置關(guān)系通過圓心距與兩半徑之和或差的關(guān)系來確定 求兩相交圓的公共弦所在直線方程時 可由兩圓的方程作差消去x2 y2項 即可得 求與圓x2 y2 4外切于點P 1 3 且半徑為4的圓的方程 如圖所示 設(shè)圓M的方程為 x a 2 y b 2 16 因為兩圓外切 所以 又由圓的幾何性質(zhì)可知O P M三點共所以且a 0 聯(lián)立 解得a 3 b 3 所以圓的方程為 x 3 2 y 3 2 16 線 重點突破 直線與圓的方程的應(yīng)用已知圓的方程為 x 1 2 y 2 2 4 求過點P 1 5 的圓的切線方程 先確定點P 1 5 與圓的位置關(guān)系 再求點P的切線方程 點P到圓心的距離所以點P在圓外 當(dāng)切線的斜率存在時 該切線方程為y 5 k x 1 即kx y k 5 0 由圓心到切線的距離等于半徑 得解得所以切線方程為5x 12y 55 0 當(dāng)切線的斜率不存在時 該切線方程為x 1 所以過點P 1 5 的圓的切線方程為5x 12y 55 0或x 1 由圓外一點作圓的切線有兩條 求直線方程須分析斜率的存在與否 在設(shè)直線方程時應(yīng)需先分類討論 已知圓C x 1 2 y2 4 求過點Q 2 的圓的切線方程 點Q到圓心的距離所以點Q在圓C上 由圓的幾何性質(zhì)知 過點Q的圓的切線與圓C和點Q的連線互相垂直 所以過點Q的圓C的切線的斜率切線方程為x 3y 5 0 已知過點A 0 1 且斜率為k的直線l與圓C x 2 2 y 3 2 1相交于M N兩點 求實數(shù)k的取值范圍 求證 為定值 若O為坐標(biāo)原點 且 12 求k的值 由于直線與圓C相交于M N兩點 故利用直線與圓相交的條件即可得k的取值范圍 故應(yīng)聯(lián)系切割線定理即可證得結(jié)論 x1x2 y1y2 聯(lián)想根與系數(shù)的關(guān)系即可解決 因為直線l過點A 0 1 且斜率為k 所以直線l的方程為y kx 1 由直線l與圓C x 2 2 y 3 2 1相交 得所以 證明 過點A 0 1 的圓C的一條切線為AT T為切點 因為圓C的圓心C 2 3 半徑r 1 所以即所以即為定值7 設(shè)M x1 y1 N x2 y2 將y kx 1代入方程 x 2 2 y 3 2 1 得 1 k2 x2 4 1 k x 7 0 所以所以 x1x2 y1y2 1 k2 x1x2 所以解得k 1 又當(dāng)k 1時 0 所以k 1 k x1 x2 1 本題涉及的知識較多 雖含有向量 但只是用到了平面向量最基本的知識 最終是很常規(guī)的用到點到直線的距離 根與系數(shù)的關(guān)系等方法 考查化歸與轉(zhuǎn)化 數(shù)形結(jié)合思想 1 解決直線與圓的位置關(guān)系問題 要注意數(shù)形結(jié)合 充分利用圓的幾何性質(zhì) 如 圓的切線垂直于過切點的半徑 相交弦中點和圓心連線垂直于此相交弦所在直線 等 避免冗長的計算 2 直線與圓相交求弦長時 一般用到判別式結(jié)合韋達(dá)定理 弦長公式 垂徑定理 3 解決兩圓位置關(guān)系 重點是根據(jù)圓心距d和兩圓半徑r1 r2的關(guān)系判斷 要注意兩圓的位置關(guān)系與兩圓的公切線條數(shù)的依附關(guān)系 兩圓相切時 切點與兩圓圓心三點共線 4 直線與圓相切時切線的求法 1 求過圓上的一點 x0 y0 的圓的切線方程 先求切點和圓心連線的斜率k 則由垂直關(guān)系 切線斜率為 由點斜式方程可求得切線方程 如果k 0或k不存在時 則由圖形可直接得切線方程為y y0或x x0 2 求過圓外一點 x0 y0 的圓的切線方程 幾何法 當(dāng)k存在時 設(shè)切線方程為y y0 k x x0 即kx y y0 kx0 0 由圓心到直線的距離等于半徑 可求得k 切線方程即可求出 代數(shù)法 設(shè)切線方程為y y0 k x x0 即y kx y0 kx0 代入圓的方程 得到一個關(guān)于x的一元二次方程 由 0 求得k 從而可得到切線方程 以上兩種方法只能求出斜率存在的直線 而斜率不存在的切線 需結(jié)合圖形求得 1 2009 寧夏 海南卷 已知圓C1 x 1 2 y 1 2 1 圓C2與圓C1關(guān)于直線x y 1 0對稱 則圓C2的方程為 A x 2 2 y 2 2 1B x 2 2 y 2 2 1C x 2 2 y 2 2 1D x 2 2 y 2 2 1 B 設(shè)圓C2的圓心為 a b 則依題意 對稱圓的半徑不變 為1 故選B