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最小二乘法簡介 最小二乘法 目的 由一組實驗數(shù)據(jù)找出一條最佳的擬合直線 最小二乘法原理 如果能找到一條最佳的擬合直線 那么這條擬合直線上各個相應點的值與測量值之差的平方和在所有擬合直線中是最小的 最簡單的情況 x y為等精度測量 x的測量誤差不考慮 yi的測量偏差為 最小二乘法原理 可解得a b的值及其標準偏差 其中 可解得a b的值及其標準偏差 y為測量值yi的標準誤差 最終得到最佳的擬合直線方程 也稱回歸方程 需要考慮的兩個問題 經(jīng)驗公式是否合適 相關(guān)系數(shù) 測量列是否存在粗差 肖維涅舍棄判據(jù)附 相關(guān)系數(shù)表和肖維涅系數(shù)表 1 只有當x和y之間存在線性關(guān)系時 擬合的直線才有意義 2 為了檢驗擬合的直線有無意義 引入一個叫相關(guān)系數(shù)r來判別 r的定義為 2 r 1 x與y線性關(guān)系好 r 0 x與y無線性關(guān)系 擬合無意義 1 r 的值總是在0和1之間 說明 相關(guān)系數(shù)R 肖維涅系數(shù)Cu 例 已知變量x和y的測量值為 問 是否為線性相關(guān) 如果是 檢查測量值中是否帶有粗差的數(shù)據(jù) 求出回歸直線的截距a 斜率b及其標準偏差 a b 解 1 列表 由上表可求得 則相關(guān)系數(shù) 因n 17 查表可知臨界相關(guān)系數(shù)R0 0 575 可見R R0 表明x y間是線性關(guān)系 則進一步求出 其中 y為測量值yi的標準偏差 通過計算 應剔除 6 67 654 這組數(shù)據(jù) 則余下的16組數(shù)據(jù) 利用肖維涅舍棄判據(jù)來剔除測量值中帶有粗差的數(shù)據(jù) 列表如下 n 17時 Cu 2 17 2 剔除粗差 剔除粗差后 對余下的16組數(shù)據(jù)計算 則相關(guān)系數(shù) 因n 16 查表可知臨界相關(guān)系數(shù)R0 0 595 可見R R0 表明x y間是線性關(guān)系 則進一步求出 利用肖維涅舍棄判據(jù)來剔除測量值中帶有粗差的數(shù)據(jù) 列表如下 n 16時 Cu 2 15 其中 y為測量值yi的標準偏差 由上表可知 測量值中沒有帶有粗差的數(shù)據(jù) 最后計算a b的誤差 則 即回歸方程為 注 表中N為數(shù)據(jù)個數(shù) a為顯著性水平 附 臨界相關(guān)系數(shù)R表 附 肖維涅舍棄判據(jù)系數(shù)表 把非線性相關(guān)問題變換成線性相關(guān)問題 兩邊取對數(shù)化為線性方程 例 令 則方程可化為 在實際問

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