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最小二乘法簡介 最小二乘法 目的 由一組實驗數(shù)據(jù)找出一條最佳的擬合直線 最小二乘法原理 如果能找到一條最佳的擬合直線 那么這條擬合直線上各個相應(yīng)點的值與測量值之差的平方和在所有擬合直線中是最小的 最簡單的情況 x y為等精度測量 x的測量誤差不考慮 yi的測量偏差為 最小二乘法原理 可解得a b的值及其標(biāo)準偏差 其中 可解得a b的值及其標(biāo)準偏差 y為測量值yi的標(biāo)準誤差 最終得到最佳的擬合直線方程 也稱回歸方程 需要考慮的兩個問題 經(jīng)驗公式是否合適 相關(guān)系數(shù) 測量列是否存在粗差 肖維涅舍棄判據(jù)附 相關(guān)系數(shù)表和肖維涅系數(shù)表 1 只有當(dāng)x和y之間存在線性關(guān)系時 擬合的直線才有意義 2 為了檢驗擬合的直線有無意義 引入一個叫相關(guān)系數(shù)r來判別 r的定義為 2 r 1 x與y線性關(guān)系好 r 0 x與y無線性關(guān)系 擬合無意義 1 r 的值總是在0和1之間 說明 相關(guān)系數(shù)R 肖維涅系數(shù)Cu 例 已知變量x和y的測量值為 問 是否為線性相關(guān) 如果是 檢查測量值中是否帶有粗差的數(shù)據(jù) 求出回歸直線的截距a 斜率b及其標(biāo)準偏差 a b 解 1 列表 由上表可求得 則相關(guān)系數(shù) 因n 17 查表可知臨界相關(guān)系數(shù)R0 0 575 可見R R0 表明x y間是線性關(guān)系 則進一步求出 其中 y為測量值yi的標(biāo)準偏差 通過計算 應(yīng)剔除 6 67 654 這組數(shù)據(jù) 則余下的16組數(shù)據(jù) 利用肖維涅舍棄判據(jù)來剔除測量值中帶有粗差的數(shù)據(jù) 列表如下 n 17時 Cu 2 17 2 剔除粗差 剔除粗差后 對余下的16組數(shù)據(jù)計算 則相關(guān)系數(shù) 因n 16 查表可知臨界相關(guān)系數(shù)R0 0 595 可見R R0 表明x y間是線性關(guān)系 則進一步求出 利用肖維涅舍棄判據(jù)來剔除測量值中帶有粗差的數(shù)據(jù) 列表如下 n 16時 Cu 2 15 其中 y為測量值yi的標(biāo)準偏差 由上表可知 測量值中沒有帶有粗差的數(shù)據(jù) 最后計算a b的誤差 則 即回歸方程為 注 表中N為數(shù)據(jù)個數(shù) a為顯著性水平 附 臨界相關(guān)系數(shù)R表 附 肖維涅舍棄判據(jù)系數(shù)表 把非線性相關(guān)問題變換成線性相關(guān)問題 兩邊取對數(shù)化為線性方程 例 令 則方程可化為 在實際問

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