2013高中數(shù)學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)資料之平面幾何四個(gè)重要定理.doc

蘭州成功私立中學(xué)高中奧數(shù)輔導(dǎo)資料（內(nèi)部資料）競(jìng)賽專題講座平面幾何四個(gè)重要定理四個(gè)重要定理：梅涅勞斯(Menelaus)定理（梅氏線）ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R共線的充要條件是 。塞瓦(Ceva)定理（塞瓦點(diǎn)）ABC的三邊BC、CA、AB上有點(diǎn)P、Q、R，則AP、BQ、CR共點(diǎn)的充要條件是。托勒密(Ptolemy)定理四邊形的兩對(duì)邊乘積之和等于其對(duì)角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。西姆松(Simson)定理（西姆松線）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。例題：1 設(shè)AD是ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證：。【分析】CEF截ABD（梅氏定理）【評(píng)注】也可以添加輔助線證明：過(guò)A、B、D之一作CF的平行線。2 過(guò)ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。求證：?！痉治觥窟B結(jié)并延長(zhǎng)AG交BC于M，則M為BC的中點(diǎn)。DEG截ABM（梅氏定理）DGF截ACM（梅氏定理）=1【評(píng)注】梅氏定理3 D、E、F分別在ABC的BC、CA、AB邊上，AD、BE、CF交成LMN。求SLMN?！痉治觥俊驹u(píng)注】梅氏定理4 以ABC各邊為底邊向外作相似的等腰BCE、CAF、ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點(diǎn)?！痉治觥俊驹u(píng)注】塞瓦定理5 已知ABC中，B=2C。求證：AC2=AB2+ABBC?！痉治觥窟^(guò)A作BC的平行線交ABC的外接圓于D，連結(jié)BD。則CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB?！驹u(píng)注】托勒密定理6 已知正七邊形A1A2A3A4A5A6A7。求證：。（第21屆全蘇數(shù)學(xué)競(jìng)賽）【分析】【評(píng)注】托勒密定理7 ABC的BC邊上的高AD的延長(zhǎng)線交外接圓于P，作PEAB于E，延長(zhǎng)ED交AC延長(zhǎng)線于F。求證：BCEF=BFCE+BECF。【分析】【評(píng)注】西姆松定理（西姆松線）8 正六邊形ABCDEF的對(duì)角線AC、CE分別被內(nèi)分點(diǎn)M、N分成的比為AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共線。求k。（23-IMO-5）【分析】【評(píng)注】面積法9 O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，分別以da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距離，以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、C的距離。求證：（1）aRabdb+cdc; (2) aRacdb+bdc;(3) Ra+Rb+Rc2(da+db+dc)?！痉治觥俊驹u(píng)注】面積法10ABC中，H、G、O分別為垂心、重心、外心。求證：H、G、O三點(diǎn)共線，且HG=2GO。（歐拉線）【分析】【評(píng)注】同一法11ABC中，AB=AC，ADBC于D，BM、BN三等分ABC，與AD相交于M、N，延長(zhǎng)CM交AB于E。求證：MB/NE?！痉治觥俊驹u(píng)注】對(duì)稱變換12G是ABC的重心，以AG為弦作圓切BG于G，延長(zhǎng)CG交圓于D。求證：AG2=GCGD?！痉治觥俊驹u(píng)注】平移變換13C是直徑AB=2的O上一點(diǎn)，P在ABC內(nèi)，若PA+PB+PC的最小值是，求此時(shí)ABC的面積S?！痉治觥俊驹u(píng)注】旋轉(zhuǎn)變換費(fèi)馬點(diǎn)：已知O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，AOB=BOC=COA=120；P是ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：PA+PB+PCOA+OB+OC。（O為費(fèi)馬點(diǎn)）【分析】將CC，OO， PP，連結(jié)OO、PP。則B OO、B PP都是正三角形。OO=OB，PP=PB。顯然BOCBOC，BPCBPC。由于BOC=BOC=120=180-BOO，A、O、O、C四點(diǎn)共線。AP+PP+PCAC=AO+OO+OC，即PA+PB+PCOA+OB+OC。14(95全國(guó)競(jìng)賽) 菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別交于E、F、G、H，在弧EF和弧GH上分別作O的切線交AB、BC、CD、DA分別于M、N、P、Q。 求證：MQ/NP。【分析】由ABCD知：要證MQNP，只需證AMQ=CPN，結(jié)合A=C知，只需證AMQCPN，AMCN=AQCP。連結(jié)AC、BD，其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心O。設(shè)MN與O切于K，連結(jié)OE、OM、OK、ON、OF。記ABO=，MOK=，KON=，則EOM=，F(xiàn)ON=，EOF=2+2=180-2。BON=90-NOF-COF=90-=CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM又OCN=MAO，OCNMAO，于是，AMCN=AOCO同理，AQCP=AOCO?！驹u(píng)注】15(96全國(guó)競(jìng)賽)O1和O2與ABC的三邊所在直線都相切，E、F、G、H為切點(diǎn)，EG、FH的延長(zhǎng)線交于P。求證：PABC?！痉治觥俊驹u(píng)注】16(99全國(guó)競(jìng)賽)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分BAD。在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長(zhǎng)DF交BC于G。求證：GAC=EAC。證明：連結(jié)BD交AC于H。對(duì)BCD用塞瓦定理，可得因?yàn)锳H是BAD的角平分線，由角平分線定理，可得，故。過(guò)C作AB的平行線交AG的延長(zhǎng)線于I，過(guò)C作AD的平行線交AE的延長(zhǎng)線于J。則，所以，從而CI=CJ。又因?yàn)镃I/AB，CJ/AD，故ACI=-BAC=-DAC=ACJ。因此，ACIACJ，從而IAC=JAC，即GAC=EAC。已知AB=AD，BC=DC，AC與BD交于O，過(guò)O的任意兩條直線EF和GH與四邊形ABCD的四邊交于E、F、G、H。連結(jié)GF、EH，分別交BD于M、N。求證：OM=ON。（5屆CMO）證明：作EOHEOH，則只需證E、M、H共線，即EH、BO、GF三線共點(diǎn)。記BOG=，GOE=。連結(jié)EF交BO于K。只需證=1（Ceva逆定理）。=1注：箏形：一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線的四邊形。對(duì)應(yīng)于99聯(lián)賽2：EOB=FOB，且EH、GF、BO三線共點(diǎn)。求證：GOB=HOB。事實(shí)上，上述條件是充要條件，且M在OB延長(zhǎng)線上時(shí)結(jié)論仍然成立。證明方法為：同一法。蝴蝶定理：P是O的弦AB的中點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引O的兩弦CD、EF，連結(jié)DE交AB于M，連結(jié)CF交AB于N。求證：MP=NP。【分析】設(shè)GH為過(guò)P的直徑，F(xiàn)FF，顯然O。又PGH，PF=PF。PFPF，PAPB，F(xiàn)PN=FPM，PF=PF。又FFGH，ANGH，F(xiàn)FAB。FPM+MDF=FPN+EDF=EFF+EDF=180