“高等數(shù)學(xué)(一)”考試大綱(5).doc

浙江省2006年普通高?！皩Ｉ尽甭?lián)考科目考試大綱：高等數(shù)學(xué)（二）考試大綱總 要 求 考生應(yīng)按本大綱的要求，了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、無窮級數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學(xué)會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識的結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；有運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準(zhǔn)確地計算；能綜合運用所學(xué)知識分析并解決簡單的實際問題。本大綱對內(nèi)容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次；對方法和運算分為“會”、“掌握”和“熟練掌握”三個層次。內(nèi) 容一、函數(shù)、極限和連續(xù)（一）函數(shù)1. 知識范圍（1）函數(shù)的概念：函數(shù)的定義 函數(shù)的表示法 分段函數(shù)（2）函數(shù)的簡單性質(zhì)：單調(diào)性 奇偶性 有界性 周期性（3）反函數(shù)：反函數(shù)的定義 反函數(shù)的圖象（4）函數(shù)的四則運算與復(fù)合運算（5）基本初等函數(shù)：冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù)（6）初等函數(shù)2. 要求（1）理解函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值。會求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，并會作出簡單的分段函數(shù)圖像。（2）理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性，會判斷所給函數(shù)的類別。（3）了解函數(shù)y=（x）與其反函數(shù)y=-1（x）之間的關(guān)系（定義域、值域、圖象），會求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。（4）理解和掌握函數(shù)的四則運算與復(fù)合運算，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。（5）掌握基本初等函數(shù)的簡單性質(zhì)及其圖象。（6）了解初等函數(shù)的概念。（7）會建立簡單實際問題的函數(shù)關(guān)系式。（二）極限1. 知識范圍（1）數(shù)列極限的概念：數(shù)列 數(shù)列極限的定義（2）數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性 有界性 四則運算定理 夾逼定理 單調(diào)有界數(shù)列 極限存在定理（3）函數(shù)極限的概念函數(shù)在一點處極限的定義 左、右極限及其與極限的關(guān)系 x趨于無窮（x，x+，x-）時函數(shù)的極限 函數(shù)極限的幾何意義（4）函數(shù)極限的定理：唯一性定理 夾逼定理 四則運算定理（5）無窮小量和無窮大量無窮小量與無窮大量的定義 無窮小量與無窮大量的關(guān)系 無窮小量與無窮大量的性質(zhì) 兩個無窮小量階的比較（6）兩個重要極限 sinx 1lim =1 lim（1+ ）x = e x0 x x x 2. 要求（1）理解極限的概念（對極限定義中“- N”、“- ”、“- M”的描述不作要求），能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。（2）了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則。（3）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等階）。會運用等價無窮小量代換求極限。（4）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。（三）連續(xù)1. 知識范圍（1）函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)在一點連續(xù)的定義 左連續(xù)和右連續(xù) 函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件 函數(shù)的間斷點及其分類（2）函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的四則運算 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 反函數(shù)的連續(xù)性（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理 最大值和最小值定理 介值定理（包括零點定理）（4）初等函數(shù)的連續(xù)性2. 要求（1）理解函數(shù)在一點連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷簡單函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點連續(xù)與極限存在的關(guān)系。（2）會求函數(shù)的間斷點及確定其類型。（3）掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會運用介值定理推證一些簡單命題。（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限。二、一元函數(shù)微分學(xué)（一）導(dǎo)數(shù)與微分1. 知識范圍（1）導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)的定義 左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（2）求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式導(dǎo)數(shù)的四則運算 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的基本公式（3）求導(dǎo)方法復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 隱函數(shù)的求導(dǎo)法 對數(shù)求導(dǎo)法 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（4）高階導(dǎo)數(shù)的概念：高階導(dǎo)數(shù)的定義 高階導(dǎo)數(shù)的計算（5）微分：微分的定義 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 微分法則 一階微分形式不變性2. 要求（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會用定義求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)。（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。（3）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（4）掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（5）理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。（6）理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會求函數(shù)的一階微分。（二）中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 知識范圍（1）中值定理：羅爾（Rolle）中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理（2）洛必達(dá)（LHospital）法則（3）函數(shù)增減性的判定法（4）函數(shù)極值與極值點 最大值與最小值（5）曲線的凹凸性、拐點（6）曲線的斜漸近線與垂直漸近線2. 要求（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。會用羅爾中值定理證明方程根的存在性。會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式。（2）熟練掌握洛必達(dá)法則求“0/0”、“/ ”、“0”、“-”、“1”、“00”和“0”型未定式的極限方法。（3）掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式。（4）理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大（小）值的方法，并且會解簡單的應(yīng)用問題。（5）會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。（6）會求曲線的斜漸近線與垂直漸近線。（7）會作出簡單函數(shù)的圖形。三、一元函數(shù)積分學(xué)（一）不定積分1. 知識范圍（1）不定積分的概念：原函數(shù)與不定積分的定義 原函數(shù)存在定理 不定積分的性質(zhì)（2）基本積分公式（3）換元積分法：第一換元法（湊微分法） 第二換元法（4）分部積分法（5）一些簡單有理函數(shù)的積分2. 要求（1）理解原函數(shù)與不定積分概念及其關(guān)系，掌握不定積分性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。（2）熟練掌握不定積分的基本公式。（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡單的根式代換）。（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。（5）會求簡單有理函數(shù)的不定積分。（二）定積分1. 知識范圍（1）定積分的概念：定積分的定義及其幾何意義 （2）定積分的性質(zhì)（3）定積分的計算變上限的定積分 牛頓一萊布尼茨（Newton - Leibniz）公式 換元積分法 分部積分法（4）無窮區(qū)間的廣義積分（5）定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積 旋轉(zhuǎn)體的體積 2. 要求（1）理解定積分的概念與幾何意義。（2）掌握定積分的基本性質(zhì)。（3）理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。（4）掌握牛頓萊布尼茨公式。（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。（6）理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計算方法。（7）掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體體積。四、無窮級數(shù)（一）數(shù)項級數(shù)1. 知識范圍 （1）數(shù)項級數(shù)：數(shù)項級數(shù)的概念 級數(shù)的收斂與發(fā)散 級數(shù)的基本性質(zhì) 級數(shù)收斂的必要條件（2）正項級數(shù)斂散性的判別法：比較判別法 比值判別法（3）任意項級數(shù)：交錯級數(shù) 絕對收斂 條件收斂 萊布尼茨判別法2. 要求（1）理解級數(shù)收斂、發(fā)散的概念。掌握級數(shù)收斂的必要條件，了解級數(shù)的基本性質(zhì)。（2）掌握正項級數(shù)的比值數(shù)別法。會用正項級數(shù)的比較判別法。 1 1（3）掌握幾何級數(shù) rn、調(diào)和級數(shù) 與p級數(shù) 的斂散法。 n=0 n=1 n n=1 np（4）了解級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。（二）冪級數(shù)1. 知識范圍（1）冪級數(shù)的概念：收斂半徑 收斂區(qū)間（2）冪級數(shù)的基本性質(zhì)（3）將簡單的初等函數(shù)展開為冪級數(shù)2. 要求（1）了解冪級數(shù)的概念。（2）了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和、差、逐項求導(dǎo)與逐項積分）。（3）掌握求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的方法。（4）會運用ex，sinx，cosx，ln（1+x），1/（1-x）的麥克勞林（Maclaurin）級數(shù)，將一些簡單的初等函數(shù)展開為x或x-x0的冪級數(shù)。五、常微分方程（一）一階微分方程1. 知識范圍（1）微分方程的概念：微分方程的定義 階 解 通解 初始條件 特解（2）可分離變量的方程（3）一階線性方程2. 要求（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。（2）掌握可分離變量方程的解法。（3）掌握一階線性方程的解法。（二）二階線性微分方程1. 知識范圍（1）二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（2）二階常系數(shù)齊次線性微分方程（3）二階常系數(shù)非齊次線性微分方程2. 要求（1）了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。（2）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。（3）掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法（自由項限定為（x）=Pn（x）eax，其中Pn（x）為x的n次多項式。為實常數(shù)；（x）eax（Acosx