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空間直角坐標(biāo)系空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)系 為了溝通空間圖形與數(shù)的研究,我們需要建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的聯(lián)系,為此我們通過引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來實(shí)現(xiàn)。 過定點(diǎn)O,作三條互相垂直的數(shù)軸,它們都以O(shè)為原點(diǎn)且一般具有相同的長度單位.這三條軸分別叫做x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸);統(tǒng)稱坐標(biāo)軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上,而z軸則是鉛垂線;它們的正方向要符合右手規(guī)則,即以右手握住z軸,當(dāng)右手的四指從正向x軸以/2角度轉(zhuǎn)向正向y軸時,大拇指的指向就是z軸的正向,這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)。(如下圖所示) 三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個平面,這樣定出的三個平面統(tǒng)稱坐標(biāo)面。 取定了空間直角坐標(biāo)系后,就可以建立起空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系。 例:設(shè)點(diǎn)M為空間一已知點(diǎn).我們過點(diǎn)M作三個平面分別垂直于x軸、y軸、z軸,它們與x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)依次為P、Q、R,這三點(diǎn)在x軸、y軸、z軸的坐標(biāo)依次為x、y、z.于是空間的一點(diǎn)M就唯一的確定了一個有序數(shù)組x,y,z.這組數(shù)x,y,z就叫做點(diǎn)M的坐標(biāo),并依次稱x,y和z為點(diǎn)M的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)。(如下圖所示) 坐標(biāo)為x,y,z的點(diǎn)M通常記為M(x,y,z). 這樣,通過空間直角坐標(biāo)系,我們就建立了空間的點(diǎn)M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一對應(yīng)關(guān)系。 注意:坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn),其坐標(biāo)各有一定的特征.例:如果點(diǎn)M在yOz平面上,則x=0;同樣,zOx面上的點(diǎn),y=0;如果點(diǎn)M在x軸上,則y=z=0;如果M是原點(diǎn),則x=y=z=0,等。空間兩點(diǎn)間的距離 設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點(diǎn),為了用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表達(dá)它們間的距離d我們有公式: 例題:證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點(diǎn)的三角形ABC是一等腰三角形. 解答:由兩點(diǎn)間距離公式得: 由于,所以ABC是一等腰三角形方向余弦與方向數(shù)解析幾何中除了兩點(diǎn)間的距離外,還有一個最基本的問題就是如何確定有向線段的或有向直線的方向。方向角與方向余弦 設(shè)有空間兩點(diǎn),若以P1為始點(diǎn),另一點(diǎn)P2為終點(diǎn)的線段稱為有向線段.記作.通過原點(diǎn)作一與其平行且同向的有向線段.將與Ox,Oy,Oz三個坐標(biāo)軸正向夾角分別記作,.這三個角,稱為有向線段的方向角.其中0,0,0. 關(guān)于方向角的問題 若有向線段的方向確定了,則其方向角也是唯一確定的。 方向角的余弦稱為有向線段或相應(yīng)的有向線段的方向余弦。 設(shè)有空間兩點(diǎn),則其方向余弦可表示為: 從上面的公式我們可以得到方向余弦之間的一個基本關(guān)系式: 注意:從原點(diǎn)出發(fā)的任一單位的有向線段的方向余弦就是其端點(diǎn)坐標(biāo)。方向數(shù) 方向余弦可以用來確定空間有向直線的方向,但是,如果只需要確定一條空間直線的方位(一條直線的兩個方向均確定著同一方位),那末就不一定需要知道方向余弦,而只要知道與方向余弦成比例的三個數(shù)就可以了。這三個與方向余弦成比例且不全為零的數(shù)A,B,C稱為空間直線的方向數(shù),記作:A,B,C.即: 據(jù)此我們可得到方向余弦與方向數(shù)的轉(zhuǎn)換公式: , 其中:根式取正負(fù)號分別得到兩組方向余弦,它們代表兩個相反的方向。 關(guān)于方向數(shù)的問題 空間任意兩點(diǎn)坐標(biāo)之差就是聯(lián)結(jié)此兩點(diǎn)直線的一組方向數(shù)。兩直線的夾角 設(shè)L1與L2是空間的任意兩條直線,它們可能相交,也可能不相交.通過原點(diǎn)O作平行與兩條直線的線段.則線段的夾角稱為此兩直線L1與L2的夾角. 若知道L1與L2的方向余弦則有公式為: 其中:為兩直線的夾角。 若知道L1與L2的方向數(shù)則有公式為: 兩直線平行、垂直的條件 兩直線平行的充分必要條件為: 兩直線垂直的充分必要條件為: 曲面與空間曲線曲面的方程 我們知道,在平面解析幾何中可把曲線看成是動點(diǎn)的軌跡.因此,在空間中曲面可看成是一個動點(diǎn)或一條動曲線(直線)按一定的條件或規(guī)律運(yùn)動而產(chǎn)生的軌跡。 設(shè)曲面上動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),由這一條件或規(guī)律就能導(dǎo)出一個含有變量x,y,z的方程: 如果此方程當(dāng)且僅當(dāng)P為曲面上的點(diǎn)時,才為P點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足。那末我們就用這個方程表示曲面,并稱這個方程為曲面的方程,把這個曲面稱為方程的圖形??臻g曲線的方程 我們知道,空間直線可看成兩平面的交線,因而它的方程可用此兩相交平面的方程的聯(lián)立方程組來表示,這就是直線方程的一般式。 一般地,空間曲線也可以象空間直線那樣看成是兩個曲面的交線,因而空間曲線的方程就可由此兩相交曲面方程的聯(lián)立方程組來表示。 設(shè)有兩個相交曲面,它們的方程是,那末聯(lián)立方程組: 便是它們的交線方程。兩類常見的曲面 1、柱面 設(shè)有動直線L沿一給定的曲線C移動,移動時始終與給定的直線M平行,這樣由動直線L所形成的曲面稱為柱面,動直線L稱為柱面的母線,定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線。 2、旋轉(zhuǎn)面 設(shè)有一條平面曲線C,繞著同一平面內(nèi)的一
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