空間直角坐標(biāo)系.doc

空間直角坐標(biāo)系空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)系 為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們需要建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的聯(lián)系，為此我們通過(guò)引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn)。 過(guò)定點(diǎn)O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點(diǎn)且一般具有相同的長(zhǎng)度單位.這三條軸分別叫做x軸(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統(tǒng)稱(chēng)坐標(biāo)軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線(xiàn)；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以/2角度轉(zhuǎn)向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)。（如下圖所示） 三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面，這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱(chēng)坐標(biāo)面。 取定了空間直角坐標(biāo)系后，就可以建立起空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 例：設(shè)點(diǎn)M為空間一已知點(diǎn).我們過(guò)點(diǎn)M作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸、z軸，它們與x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)依次為P、Q、R，這三點(diǎn)在x軸、y軸、z軸的坐標(biāo)依次為x、y、z.于是空間的一點(diǎn)M就唯一的確定了一個(gè)有序數(shù)組x,y,z.這組數(shù)x,y,z就叫做點(diǎn)M的坐標(biāo)，并依次稱(chēng)x,y和z為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)。(如下圖所示） 坐標(biāo)為x,y,z的點(diǎn)M通常記為M(x,y,z). 這樣，通過(guò)空間直角坐標(biāo)系，我們就建立了空間的點(diǎn)M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 注意：坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，其坐標(biāo)各有一定的特征.例：如果點(diǎn)M在yOz平面上，則x=0；同樣，zOx面上的點(diǎn)，y=0；如果點(diǎn)M在x軸上，則y=z=0；如果M是原點(diǎn)，則x=y=z=0，等?？臻g兩點(diǎn)間的距離 設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點(diǎn)，為了用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表達(dá)它們間的距離d我們有公式： 例題：證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點(diǎn)的三角形ABC是一等腰三角形. 解答：由兩點(diǎn)間距離公式得： 由于，所以ABC是一等腰三角形方向余弦與方向數(shù)解析幾何中除了兩點(diǎn)間的距離外，還有一個(gè)最基本的問(wèn)題就是如何確定有向線(xiàn)段的或有向直線(xiàn)的方向。方向角與方向余弦 設(shè)有空間兩點(diǎn)，若以P1為始點(diǎn)，另一點(diǎn)P2為終點(diǎn)的線(xiàn)段稱(chēng)為有向線(xiàn)段.記作.通過(guò)原點(diǎn)作一與其平行且同向的有向線(xiàn)段.將與Ox,Oy,Oz三個(gè)坐標(biāo)軸正向夾角分別記作,.這三個(gè)角,稱(chēng)為有向線(xiàn)段的方向角.其中0,0,0. 關(guān)于方向角的問(wèn)題 若有向線(xiàn)段的方向確定了，則其方向角也是唯一確定的。 方向角的余弦稱(chēng)為有向線(xiàn)段或相應(yīng)的有向線(xiàn)段的方向余弦。 設(shè)有空間兩點(diǎn)，則其方向余弦可表示為： 從上面的公式我們可以得到方向余弦之間的一個(gè)基本關(guān)系式： 注意：從原點(diǎn)出發(fā)的任一單位的有向線(xiàn)段的方向余弦就是其端點(diǎn)坐標(biāo)。方向數(shù) 方向余弦可以用來(lái)確定空間有向直線(xiàn)的方向，但是，如果只需要確定一條空間直線(xiàn)的方位(一條直線(xiàn)的兩個(gè)方向均確定著同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道與方向余弦成比例的三個(gè)數(shù)就可以了。這三個(gè)與方向余弦成比例且不全為零的數(shù)A，B，C稱(chēng)為空間直線(xiàn)的方向數(shù)，記作：A，B，C.即： 據(jù)此我們可得到方向余弦與方向數(shù)的轉(zhuǎn)換公式： ， 其中：根式取正負(fù)號(hào)分別得到兩組方向余弦，它們代表兩個(gè)相反的方向。 關(guān)于方向數(shù)的問(wèn)題 空間任意兩點(diǎn)坐標(biāo)之差就是聯(lián)結(jié)此兩點(diǎn)直線(xiàn)的一組方向數(shù)。兩直線(xiàn)的夾角 設(shè)L1與L2是空間的任意兩條直線(xiàn)，它們可能相交，也可能不相交.通過(guò)原點(diǎn)O作平行與兩條直線(xiàn)的線(xiàn)段.則線(xiàn)段的夾角稱(chēng)為此兩直線(xiàn)L1與L2的夾角. 若知道L1與L2的方向余弦則有公式為： 其中：為兩直線(xiàn)的夾角。 若知道L1與L2的方向數(shù)則有公式為： 兩直線(xiàn)平行、垂直的條件 兩直線(xiàn)平行的充分必要條件為： 兩直線(xiàn)垂直的充分必要條件為： 曲面與空間曲線(xiàn)曲面的方程 我們知道，在平面解析幾何中可把曲線(xiàn)看成是動(dòng)點(diǎn)的軌跡.因此，在空間中曲面可看成是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)或一條動(dòng)曲線(xiàn)(直線(xiàn))按一定的條件或規(guī)律運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的軌跡。 設(shè)曲面上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z)，由這一條件或規(guī)律就能導(dǎo)出一個(gè)含有變量x,y,z的方程： 如果此方程當(dāng)且僅當(dāng)P為曲面上的點(diǎn)時(shí)，才為P點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足。那末我們就用這個(gè)方程表示曲面，并稱(chēng)這個(gè)方程為曲面的方程，把這個(gè)曲面稱(chēng)為方程的圖形。空間曲線(xiàn)的方程 我們知道，空間直線(xiàn)可看成兩平面的交線(xiàn)，因而它的方程可用此兩相交平面的方程的聯(lián)立方程組來(lái)表示，這就是直線(xiàn)方程的一般式。 一般地，空間曲線(xiàn)也可以象空間直線(xiàn)那樣看成是兩個(gè)曲面的交線(xiàn)，因而空間曲線(xiàn)的方程就可由此兩相交曲面方程的聯(lián)立方程組來(lái)表示。 設(shè)有兩個(gè)相交曲面，它們的方程是，那末聯(lián)立方程組： 便是它們的交線(xiàn)方程。兩類(lèi)常見(jiàn)的曲面 1、柱面 設(shè)有動(dòng)直線(xiàn)L沿一給定的曲線(xiàn)C移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)始終與給定的直線(xiàn)M平行，這樣由動(dòng)直線(xiàn)L所形成的曲面稱(chēng)為柱面，動(dòng)直線(xiàn)L稱(chēng)為柱面的母線(xiàn)，定曲線(xiàn)C稱(chēng)為柱面的準(zhǔn)線(xiàn)。 2、旋轉(zhuǎn)面 設(shè)有一條平面曲線(xiàn)C，繞著同一平面內(nèi)的一