電磁場與電磁波》第1章矢量分析.pptVIP

第1章矢量分析 一 矢量和標(biāo)量的定義 二 矢量的運(yùn)算法則 三 矢量微分元 線元 面元 體元 四 標(biāo)量場的梯度 六 矢量場的旋度 五 矢量場的散度 七 重要的場論公式 一 矢量和標(biāo)量的定義 1 標(biāo)量 只有大小 沒有方向的物理量 矢量表示為 所以 一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積 其中 為矢量的模 表示該矢量的大小 為單位矢量 表示矢量的方向 其大小為1 2 矢量 不僅有大小 而且有方向的物理量 如 力 速度 電場等 如 溫度T 長度L等 例1 在直角坐標(biāo)系中 x方向的大小為6的矢量如何表示 圖示法 力的圖示法 二 矢量的運(yùn)算法則 1 加法 矢量加法是矢量的幾何和 服從平行四邊形規(guī)則 a 滿足交換律 b 滿足結(jié)合律 三個方向的單位矢量用表示 根據(jù)矢量加法運(yùn)算 所以 在直角坐標(biāo)系下的矢量表示 其中 矢量 模的計(jì)算 單位矢量 方向角與方向余弦 在直角坐標(biāo)系中三個矢量加法運(yùn)算 2 減法 換成加法運(yùn)算 逆矢量 和的模相等 方向相反 互為逆矢量 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算 3 乘法 1 標(biāo)量與矢量的乘積 2 矢量與矢量乘積分兩種定義 a 標(biāo)量積 點(diǎn)積 在直角坐標(biāo)系中 已知三個坐標(biāo)軸是相互正交的 即 有兩矢量點(diǎn)積 結(jié)論 兩矢量點(diǎn)積等于對應(yīng)分量的乘積之和 推論1 滿足交換律 推論2 滿足分配律 推論3 當(dāng)兩個非零矢量點(diǎn)積為零 則這兩個矢量必正交 推論1 不服從交換律 推論2 服從分配律 推論3 不服從結(jié)合律 推論4 當(dāng)兩個非零矢量叉積為零 則這兩個矢量必平行 b 矢量積 叉積 含義 兩矢量叉積 結(jié)果得一新矢量 其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積 方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向 且三者符合右手螺旋法則 在直角坐標(biāo)系中 兩矢量的叉積運(yùn)算如下 兩矢量的叉積又可表示為 3 三重積 三個矢量相乘有以下幾種形式 矢量 標(biāo)量與矢量相乘 標(biāo)量 標(biāo)量三重積 矢量 矢量三重積 a 標(biāo)量三重積 法則 在矢量運(yùn)算中 先算叉積 后算點(diǎn)積 定義 含義 標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積 注意 先后輪換次序 推論 三個非零矢量共面的條件 在直角坐標(biāo)系中 b 矢量三重積 例2 解 則 設(shè) 例3 已知 求 確定垂直于 所在平面的單位矢量 其中 k為任意實(shí)數(shù) C A B 解 在通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程上 任取一點(diǎn)C 對于原點(diǎn)的位置矢量為 則 三 矢量微分元 線元 面元 體元 例 其中 和稱為微分元 1 直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系中 坐標(biāo)變量為 x y z 如圖 做一微分體元 線元 面元 體元 2 圓柱坐標(biāo)系 在圓柱坐標(biāo)系中 坐標(biāo)變量為 如圖 做一微分體元 線元 面元 體元 3 球坐標(biāo)系 在球坐標(biāo)系中 坐標(biāo)變量為 如圖 做一微分體元 線元 面元 體元 a 在直角坐標(biāo)系中 x y z均為長度量 其拉梅系數(shù)均為1 即 b 在柱坐標(biāo)系中 坐標(biāo)變量為 其中為角度 其對應(yīng)的線元 可見拉梅系數(shù)為 在球坐標(biāo)系中 坐標(biāo)變量為 其中均為角度 其拉梅系數(shù)為 注意 在正交曲線坐標(biāo)系中 其坐標(biāo)變量不一定都是長度 其線元必然有一個修正系數(shù) 這些修正系數(shù)稱為拉梅系數(shù) 若已知其拉梅系數(shù) 就可正確寫出其線元 面元和體元 體元 線元 面元 正交曲線坐標(biāo)系 四 標(biāo)量場的梯度 1 標(biāo)量場的等值面 可以看出 標(biāo)量場的函數(shù)是單值函數(shù) 各等值面是互不相交的 以溫度場為例 熱源 等溫面 b 梯度 定義 標(biāo)量場中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù) 其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在等值面的法線方向 數(shù)學(xué)表達(dá)式 2 標(biāo)量場的梯度 a 方向?qū)?shù) 空間變化率 稱為方向?qū)?shù) 為最大的方向?qū)?shù) 標(biāo)量場的場函數(shù)為 計(jì)算 在直角坐標(biāo)系中 所以 梯度也可表示 在柱坐標(biāo)系中 在球坐標(biāo)系中 在任意正交曲線坐標(biāo)系中 在不同的坐標(biāo)系中 梯度的計(jì)算公式 在直角坐標(biāo)系中 五 矢量場的散度 1 矢線 場線 在矢量場中 若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場矢量在該點(diǎn)的方向重合 則該曲線稱為矢線 2 通量 定義 如果在該矢量場中取一曲面S 通過該曲面的矢線量稱為通量 表達(dá)式 若曲面為閉合曲面 討論 a 如果閉合曲面上的總通量 說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量 意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源 b 如果閉合曲面上的總通量 說明穿入的通量大于穿出的通量 那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了 意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱溝 c 如果閉合曲面上的總通量 說明穿入的通量等于穿出的通量 3 散度 a 定義 矢量場中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度 b 表達(dá)式 c 散度的計(jì)算 在直角坐標(biāo)系中 如圖做一封閉曲面 該封閉曲面由六個平面組成 矢量場表示為 因?yàn)?則 在x方向上的總通量 在z方向上 穿過和面的總通量 整個封閉曲面的總通量 同理 在y方向上 穿過和面的總通量 該閉合曲面所包圍的體積 通常散度表示為 4 散度定理 物理含義 穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分 柱坐標(biāo)系中 球坐標(biāo)系中 正交曲線坐標(biāo)系中 直角坐標(biāo)系中 常用坐標(biāo)系中 散度的計(jì)算公式 六 矢量場的旋度 1 環(huán)量 在矢量場中 任意取一閉合曲線 將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量 可見 環(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關(guān) 2 旋度 定義 一矢量其大小等于某點(diǎn)最大環(huán)量密度 方向?yàn)樵摥h(huán)的法線方向 那么該矢量稱為該點(diǎn)矢量場的旋度 表達(dá)式 旋度計(jì)算 以直角坐標(biāo)系為例 一旋度矢量可表示為 場矢量 其中 為x方向的環(huán)量密度 旋度可用符號表示 其中 可得 同理 所以 旋度公式 為了便于記憶 將旋度的計(jì)算公式寫成下列形式 類似地 可以推導(dǎo)出在廣義正交坐標(biāo)系中旋度的計(jì)算公式 對于柱坐標(biāo) 球坐標(biāo) 已知其拉梅系數(shù) 代入公式即可寫出旋度的計(jì)算公式 3 斯托克斯定理 物理含義 一個矢量場旋度的