直線中的對稱問題.ppt

對稱與最值的探究 2 如何求P 1 2 關于直線2x y 1 0的對稱點Q的坐標 復習 在某東西方向公路邊有一村莊M 在M村的北偏西30o方向且與M村相距1000米處有一村A 在M村的北偏東60o的方向且相距800米處有一村B A莊的村民主要靠每天外出打工 做生意獲得收入 B莊的村民主要靠種菜 賣菜獲得收入 前幾年 風調雨順 兩村村民都忙于自己的生活 沒有意識到腳下的泥土路給生活帶來的不便 今年8 9兩月的連綿秋雨 使兩村村民深受交通不便之苦 于是他們集資修路 擬定在公路上找一C處 由C向兩村分別修路 為了使修路費用最低 C處應如何選擇 問題 已知直線l y x A 1 2 B 2 4 C 3 1 1 在直線l上求一點P使 PB PC 最小 2 在直線l上求一點Q使 QA QB 最小 一類最值問題探究 解 1 連接BC交l于P 在l上任取一異于P的點P1 連P1B P1C 則 P1B P1C BC BP PC P點為所求的點 B 2 4 C 3 1 直線BC的方程為 y 3x 10 即直線l上的點P 2 5 2 5 使 PA PB 最小 2 做點A關于直線y x的對稱點A1 連接A B交l于Q 在l上任取一異于點Q的點Q1 連接AQ AQ1 A1Q1 BQ1 則 AQ1 BQ1 A1Q1 BQ1 A1B A1Q BQ AQ BQ 點Q使 AQ BQ 最小 A 1 2 A1 2 1 又B 2 4 直線A1B方程為x 2 即Q 2 2 直線l上的點Q使 AQ BQ 最小 歸納總結 已知平面內有兩個定點A B和一條定直線l 1 當A與B在直線l異側時 線段AB與l的交點P使 PA PB 最小 且最小值為 AB 2 當A B在直線l的同側時 作A 或B 關于l的對稱點A1 或B1 則線段A1B 或AB1 與l的交點P使 PA PB 最小 且最小值為 A1B AB1 練習 已知直線l x y 0 點A 3 0 B 0 5 試在l上求一點P使 PA PB 最小 解 以公路為x軸 以M村為原點 建立直角坐標系 如圖 作A關于x軸的對稱點A1 連A1B交x軸于C 則C使 CA CB 最小 直線A1B的方程為 x 500 由y 0 得x 316 C 316 0 答 當C處選在M村正東316米時可使修路費用最低 注 坐標法的應用 解 則y表示動點M x 0 到定點A 3 3 和B 5 1 距離之和 而A B位于直線y 0的同側 故作點A關于y 0的對稱點A1 A1 3 3 連A1B交y 0于P 則P使 PA PB A1B 最小 即y最小值為 A1B 由A1 3 3 B 5 1 得 由y 0 得x 3 P 3 0 注 等價轉化 數形結合 例3 課堂小結 1 同一平面內 在定直線l上求點P使P到兩定點A B距離和最小的方法 2 探究過程中 1 坐標法使數和形有機的結合起來 充分體現了數形結合的思想 2 類比聯(lián)想和等價轉化使問題的解決找到了突破口 作業(yè) 1 課外實踐 請從身邊生活中搜集一個今天所討論問題的實例 已知l