線性規(guī)劃問題的常見題型.doc

線性規(guī)劃問題的常見題型吳小五 李蘭瓊（汨羅市第一中學 湖南 汨羅 414400）摘 要線性規(guī)劃作為高中數(shù)學中一個比較常用的知識點，也是高考中的重要考點，巧妙利用該知識，可以對函數(shù)最值、平面圖形的面積、斜率范圍、參數(shù)取值范圍、概率問題和實際問題的解決大為簡化。本文就線性規(guī)劃問題簡要介紹幾種常見的題型。關鍵詞線性規(guī)劃問題；可行域；求最優(yōu)解中圖分類號G623.5 文獻標識碼A關于x、y的二元一次不等式組稱為對變量x、y的約束條件，把要求最值的滿足約束條件的函數(shù) （m、n為常數(shù)）稱為目標函數(shù)，在線性約束條件下求目標函數(shù)的最值問題統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃作為高中數(shù)學相對獨立的一個知識點，也是高考的一個重要考點（近幾年各地高考試題涉及線性規(guī)劃知識點的試題頻頻出現(xiàn)）。高中數(shù)學中的線性規(guī)劃體現(xiàn)了數(shù)學的工具性、應用性，同時也滲透了化歸、數(shù)形結合思想，也順應當今新課改和高考改革的趨勢。如果目標函數(shù) （其中m、n為常數(shù)，x、y即為公共區(qū)域中點的橫坐標和縱坐標）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標代入上述函數(shù)，得到一組對應z值，最大的那個數(shù)為函數(shù)z的最大值，最小的那個數(shù)為函數(shù)z的最小值。在線性規(guī)劃中，這種求最值的方法叫做角點法。若求函數(shù) 的最值還有一種方法，這種方法的步驟是：第一步，畫出可行域（畫出線性約束條件所表示的可行域）；第二步，作直線 ，平移直線l0（據(jù)可行域，將直線l0平行移動）；第三步，求出最優(yōu)解（x，y）；第四步，將最優(yōu)解（x，y）代入 。我認為在線性規(guī)劃中問題解決過程中，應突破“畫”（畫出線性約束條件所表示的可行域）、“移”（作平行直線）、“求”（解方程組求出最優(yōu)解），即可輕松解決。線性規(guī)劃問題的常見題型有以下七類，現(xiàn)舉例說明如下：1.求函數(shù)的最值例1.（2009天津高考試題）設變量x、y滿足約束條件 ，則目標函數(shù) 的最小值為（ ）A、6 B、7 C、8 D、23解析：作出可行域如圖陰影所示，依題意，該題有最小值。方法一：易求得A（4，5），B（1，2），C（2，1），將角點坐標分別代入 得z的值分別為23、8、7，所以， ，選B. 方法二：作直線 ，將l0平移至C處，此時 在y軸上的截距為 有最小值，從而z有最小值，由 得C（2，1），所以， ，選B.2.求平面圖形的面積例2（2008年安徽高考試題）若A為不等式組 ，表示的平面區(qū)域，則當a從2連續(xù)變化到1時，動直線 掃過A中的那部分區(qū)域的面積為 .分析：由圖知BCO為等腰直角三角形，BDE為等腰直角三角形且D ，則 或.3.求斜率的范圍例3.（2007年遼寧高考試題）已知變量x、y滿足約束條件 ，則 的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、 分析：畫出可行域，如圖.可看為區(qū)域內(nèi)的點與（0，0）連線的斜率.答案選A. 4.求距離例4.（2007年山東高考試題）設D是不等式組 表示的平面區(qū)域，則D中的點P（x，y）到直線 距離的最大值是 .分析：可行域如右圖陰影部分，觀察得到A到 的距離最大，值是 例5.（2006年湖南高考題）已知 則 的最小值是 .分析：可行域如右圖陰影部分，由圖知A（1，2）到原點的距離最小，所以， .5.求參數(shù)取值范圍例6.（2009年陜西試題）若x、y滿足約束條件 ，目標函數(shù) 僅在點（1,0）處取得最小值，則a的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、 分析：作出可行域如圖所示，直線 僅在點（1,0）處取得最小值，由圖象可知，即 其答案為B。6.求概率例7.（2007年寧夏高考試題）設關于x的一元二次方程為 （1）若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；（2）若a是從區(qū)間0,3任取一個數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率.分析：設“方程 有實根”為條件A，方程 有實根時 即 ，因為 ，所以 ，從而方程 有實根的充要條件為 .a（1）基本事件的總數(shù)為 ，事件A的個數(shù)為4+3+2=9，所以， .a（2）試驗的全部結果所構成的區(qū)域為 ，構成事件A的區(qū)域為 ，作出可行域，則 ，所求概率為 .7.解決實際問題例8（2009年四川高考試題）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸. 銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元、每噸乙產(chǎn)品獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸、B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得的最大利潤是（ ）A、12萬元 B、20萬元C、25萬元 D、27萬元分析：甲乙A31B23利潤53設生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸、乙產(chǎn)品y噸，獲得的利潤為 .由題意得 可行域如圖中陰影所示.