安徽省宿松縣2017屆高三數(shù)學一輪復(fù)習第19講數(shù)列求和教案.docx

數(shù)列求和教學目標1探索并掌握一些基本的數(shù)列求前n項和的方法；2能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的數(shù)列的通項和遞推關(guān)系，并能用有關(guān)等差、等比數(shù)列知識解決相應(yīng)的實際問題。命題走向數(shù)列求和和數(shù)列綜合及實際問題在高考中占有重要的地位，一般情況下都是出一道解答題，解答題大多以數(shù)列為工具，綜合運用函數(shù)、方程、不等式等知識，通過運用逆推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等各種數(shù)學思想方法，這些題目都考察考生靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目。有關(guān)命題趨勢：1數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，而不等式則是深刻認識函數(shù)和數(shù)列的有效工具，三者的綜合題是對基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗，在三者交匯處設(shè)計試題，特別是代數(shù)推理題是高考的重點；2數(shù)列推理題是將繼續(xù)成為數(shù)列命題的一個亮點，這是由于此類題目能突出考察學生的邏輯思維能力，能區(qū)分學生思維的嚴謹性、靈敏程度、靈活程度；3數(shù)列與新的章節(jié)知識結(jié)合的特點有可能加強，如與解析幾何的結(jié)合等；4有關(guān)數(shù)列的應(yīng)用問題也一直備受關(guān)注。預(yù)測2017年高考對本將的考察為：1可能為一道考察關(guān)于數(shù)列的推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實際問題的解答題；2也可能為一道知識交匯題是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題上等聯(lián)系的綜合題，以及數(shù)列、數(shù)學歸納法等有機結(jié)合。教學準備多媒體課件教學過程1等差數(shù)列的前n項和公式Snna1d2等比數(shù)列的前n項和公式Sn3一些常見數(shù)列的前n項和公式(1)1234n；(2)1357(2n1)n2；(3)24682nn2n1辨明兩個易誤點(1)使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點(2)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解2數(shù)列求和的常用方法(1)倒序相加法如果一個數(shù)列an的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導(dǎo)的(2)錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導(dǎo)的(3)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和(4)分組轉(zhuǎn)化法一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和后再相加減(5)并項求和法一個數(shù)列的前n項和，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解1數(shù)列an的前n項和為Sn，已知Sn1234(1)n1n，則S17()A9B8C17 D16解析：選A.S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.2(必修5 P47習題2.3 B組T4改編)數(shù)列an中，an，若an的前n項和為，則項數(shù)n為()A2 014 B2 015C2 016 D2 017解析：選B.an，Sn11，所以n2 015.3等差數(shù)列an的通項公式為an2n1，其前n項的和為Sn，則數(shù)列的前10項的和為()A120 B100C75 D70解析：選C.因為Snn(n2)，所以n2.故75.4若數(shù)列an的通項公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項和為_解析：Sn2n12n2.答案：2n1n225已知數(shù)列an的前n項和為Sn且ann2n，則Sn_解析：Sn12222323n2n，所以2Sn122223324n2n1，得Sn222232nn2n1n2n1，所以Sn(n1)2n12.答案：(n1)2n12考點一分組轉(zhuǎn)化法求和(2015高考福建卷)等差數(shù)列an中，a24，a4a715.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn2an2n，求b1b2b3b10的值(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2112)55211532 101.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項和； (2)通項公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和1.已知等比數(shù)列an中，首項a13，公比q1，且3(an2an)10an10(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列bn的通項公式和前n項和Sn.解：(1)因為3(an2an)10an10，所以3(anq2an)10anq0，即3q210q30.因為公比q1，所以q3.又首項a13，所以數(shù)列an的通項公式為an3n.(2)因為是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以bnan12(n1)即數(shù)列bn的通項公式為bn2n13n1，前n項和Sn(13323n1)(3n1)n2.考點二錯位相減法求和(2015高考湖北卷)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)當d1時，記cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.(1)由題意有 即解得 或 故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.用錯位相減法求和時應(yīng)注意的兩點(1)要善于識別題目類型， 特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“SnqSn”的表達式. 2.已知函數(shù)f(x)x2bx為偶函數(shù)，數(shù)列an滿足an12f(an1)1，且a13，an1.令bnlog2(an1)(1)證明：數(shù)列bn1為等比數(shù)列；(2)設(shè)cnnbn，求數(shù)列cn的前n項和Sn.解：(1)證明：因為函數(shù)f(x)x2bx為偶函數(shù)，所以b0，所以f(x)x2，所以an12(an1)21，所以an112(an1)2，所以2，所以數(shù)列bn1是公比為2的等比數(shù)列(2)因為a13，所以b1log221，所以bn12n，即bn2n1，所以cnn2nn，設(shè)An12222323n2n，所以2An122223324n2n1，所以An222232nn2n1n2n12n1n2n12，所以An(n1)2n12.設(shè)Bn1234n，所以SnAnBn(n1)2n12.考點三裂項相消法求和(高頻考點)裂項相消法求和是每年高考的熱點，題型多為解答題，難度適中，屬中檔題高考對裂項相消法的考查常有以下兩個命題角度：(1)求前n項和；(2)比較大小或不等式證明(2015高考安徽卷)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且a1a49，a2a38.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.(1)由題設(shè)知a1a4a2a38，又a1a49，可解得或(舍去)由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1.又bn，所以Tnb1b2bn1.利用裂項相消法求和的注意事項(1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項；或者前面剩幾項，后面也剩幾項； (2)將通項裂項后，有時需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等如：若an是等差數(shù)列，則，.3.(2016長春質(zhì)量監(jiān)測)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1a79，S9.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證：Tn.解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，則由已知條件可得：解得于是可求得an.(2)證明：由(1)知，Sn，故bn，故Tn，又因為.規(guī)范解答數(shù)列求和(本題滿分12分)(2015高考山東卷)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足anbnlog3an，求bn的前n項和Tn.(1)(2)(1)因為2Sn3n3，所以2a133，故a13.(1分)當n2時，2Sn13n13，此時2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(4分)(2)因為anbnlog3an，所以b1.當n2時，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；(6分)當n2時，Tnb1b2b3bn，所以3Tn1，(8分)兩式相減，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，(10分)所以Tn.(11分)經(jīng)檢驗，n1時也適合綜上可得Tn.(12分)利用Sn求an時不要忽視n1的情況；根據(jù)已知條件合理選擇數(shù)列的求和方法，錯位相減時不要漏項或算錯項數(shù)板書設(shè)計數(shù)列求和1等差數(shù)列的前n項和公式Snna1d2等比數(shù)列的前n項和公式Sn3一些常見數(shù)列的前n項和公式(1)1234n；(2)1357(2n1)n2；(3)24682nn2n4數(shù)列求和的常用方法(1)倒序相加法 (2)錯位相減法(3)裂項