第08講 角動(dòng)量本征方程的解12.doc

第09-11講 角動(dòng)量本征方程的解一、 角動(dòng)量和角總動(dòng)量算符的回憶剛體轉(zhuǎn)子的薛定諤方程中因此方程即是 (-1)整理后得 (-2)其中且 , .式(-2)也是角動(dòng)量的本征方程。為了方便求解方程，采用球極坐標(biāo)的形式，球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換關(guān)系 (r:0) (q:0p) (f:02p) (3)逆變換關(guān)系是 (4)于是有偏微商關(guān)系 則得 同法得 (-5) (6)方程（2）即為 (-7)其中常數(shù) 。用分離變量法，令 (-8)代入方程式（-7）并移項(xiàng)整理后得 (9)上式左右兩邊分別是獨(dú)立變量q和f的函數(shù)，要等式成立它們都應(yīng)等于同一常數(shù)，令此常數(shù)為C。即得兩個(gè)獨(dú)立的全微分方程 (-10) (-11)先討論含變量f的方程(-11)，方程移項(xiàng)得 (-12)這是一個(gè)常系數(shù)二階常微分方程，其解為 (-13)根據(jù)周期性邊界條件，即要求 所以 因此 代入關(guān)系式，得歸一化常數(shù)為 ,于是 (-14)以上是解的復(fù)數(shù)形式，如果對(duì)m相同的解進(jìn)行線性組合就可得到另一套實(shí)數(shù)形式的解，即 m=0 m0 (-15)利用關(guān)系式C=，就可求解含變量q的方程(-10)，即移項(xiàng)后 (-16)作變量交換，令 (-17)利用 和關(guān)系式(-17)，(-16)式變成 (-18)上式稱為關(guān)聯(lián)勒讓德方程。當(dāng)m=0時(shí)稱為勒讓德方程： (-19) 先討論式(-19) 勒讓德方程的解。因?yàn)閦=cosq,而0qp，所以-1z1,因?yàn)榭稍趜=0的領(lǐng)域?qū)(x)用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，然而用級(jí)數(shù)法求解，即 (-20) (-20) (-20)代入方程 (-19)，如果 (-20)是方程的解，則方程就變成恒等式，那么恒等式中z的任意次冪的系數(shù)都應(yīng)等于零。對(duì)于的系數(shù)，應(yīng)有于是得到系數(shù)的遞推關(guān)系式 (-21)因?yàn)椴ê瘮?shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件要求P(z)在區(qū)間-1z1上應(yīng)是收斂的，即級(jí)數(shù)P(z)應(yīng)該是一個(gè)有限項(xiàng)的多項(xiàng)式。從式可知只有取為一個(gè)特殊值 (-22)則=0才能使級(jí)數(shù)到項(xiàng)終止。因?yàn)檫f推關(guān)系式J的間隔為2，所以若J為偶數(shù)，那么令此級(jí)數(shù)只有偶次項(xiàng)；若J為奇數(shù)，那么令級(jí)數(shù)只有奇次項(xiàng)。這樣P（z）就是一個(gè)多項(xiàng)式。為了使遞推公式中的和都是最簡(jiǎn)單的數(shù)值為1，令，再利用向低次遞推關(guān)系 (-23)用數(shù)學(xué)歸納法可得的系數(shù)的通式是 r=0，1，2，J/2 (-24)這是由2rJ,且r 為正整數(shù)而得到的關(guān)系，所以J/2表示不大于J/2的最大整數(shù)。于是就得到的多項(xiàng)表達(dá)式（1-4-38），即 (-25)另外也可得到（1-4-38）式的P(z)的微分表達(dá)式，將按二項(xiàng)式定理 展開(kāi)得 對(duì)z微商J次并乘1/（）得 (-26)因?yàn)?所以微商后對(duì)不同r值的項(xiàng)加和只要到J/2就可以了，因?yàn)槠溆囗?xiàng)求導(dǎo)后全是零了。上述結(jié)果代入 (-26)得和式(-25)比較，取得的微分表達(dá)式 (-28)下面討論關(guān)聯(lián)勒讓德方程(-18)，由于方程在z=1處有奇點(diǎn)，故勒考慮有下列形式德解 (-29)代入(-18)： (-30)如果對(duì)勒讓德方程(-19)微商m 次，由數(shù)學(xué)歸納法可證明其結(jié)果為 (-31)這就是所要求解的方程(-30)，差別僅是和m，由于這里m是微商次數(shù)，故設(shè)m0，于是就得方程 (-30)解為代入(-29)，得到關(guān)聯(lián)勒讓方程(-18)得解為 (-32)因?yàn)閷?duì)微商最多不能超過(guò)J次，所以得到m和J的關(guān)系式是 根據(jù)(-17)式，為使歸一化，可令 (-17)其中為歸一化常數(shù)，利用關(guān)系式 得歸一化常數(shù)是 (-34)由(-8)， (-14)和 (-17)式得剛性轉(zhuǎn)子方程 (-17)的解為【即（1-4-40）式】 (-35)）稱為球諧函數(shù)。由(-7)和(-22)式可得其本征值（轉(zhuǎn)動(dòng)能量），即（1-4-