數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)報告(二次函數(shù))

精品文檔班級：高二（6）班課題組長：余杭銀 課題成員：王鈺瑩、王金玉、王鈺樺、葉堯棟、 徐李忺、朱佳威、顧棋鋒指導(dǎo)老師：王少波研究性學(xué)習(xí)課題開題報告201 4 年 5 月 30 日班 級高二（6）班研究課程數(shù)學(xué)課題名稱二次函數(shù)圖象特點的應(yīng)用小組成員王鈺瑩、王金玉、王鈺樺、葉堯棟、徐李忺、朱佳威、顧棋鋒組 長余杭銀指導(dǎo)教師王少波 選擇本課題的主要原因 隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)如火如荼的實施，其核心理念“為了我們每一個學(xué)生的發(fā)展”越來越受到人們的關(guān)注與重視。課程改革已成為轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式的一場革命，學(xué)習(xí)已成為人的主體性、能動性、獨立性、創(chuàng)造性不斷生成、張揚(yáng)、發(fā)展和提升的過程。在這一背景下，我們成立了“二次函數(shù)圖像的特點和應(yīng)用”的課題研究小組。 開展本課題研究的目的與意義(1)順應(yīng)當(dāng)前教育發(fā)展的需要。在如今交流工具網(wǎng)絡(luò)化和全球經(jīng)濟(jì)一體化的推動下，知識更新的速度越來越快，教育面臨著前所未有的挑戰(zhàn)。按照素質(zhì)教育要求，教師的職責(zé)不僅僅是傳道授業(yè)解惑了，單單讓我們學(xué)生從書本上獲取知識是很難面向未來的。人要在一生中不斷學(xué)習(xí)，才能適應(yīng)社會的快速發(fā)展，所以學(xué)校教育不但要教給我們學(xué)生各方面的知識，更重要的是，激發(fā)我們學(xué)生自主探究的積極性，培養(yǎng)我們學(xué)習(xí)的能力，為今后持續(xù)不斷的發(fā)展打下堅定的基礎(chǔ)。我們學(xué)生一旦學(xué)會了學(xué)習(xí)的方法與能力，知識的獲取將是無限的。(2）促進(jìn)我們學(xué)生發(fā)展的需要。教育的核心應(yīng)著眼于我們學(xué)生的全面發(fā)展，應(yīng)立足于我們學(xué)生本位教育。教學(xué)改革的真實意義：“即是使每個人發(fā)展自己的才能和創(chuàng)造潛力?！币虼耍瑘猿忠晕覀儗W(xué)生為本的改革方向，堅持教育培養(yǎng)的應(yīng)該是有主體性的人，只有這樣的人才能主動、積極地參與社會活動，并為社會進(jìn)步作出貢獻(xiàn)。教育過程中通過啟發(fā)、引導(dǎo)受教育者內(nèi)存的教育需求，創(chuàng)設(shè)和諧、寬松、民主的教育環(huán)境，有目的、有計劃地組織、規(guī)范各種教育活動，從而把我們培養(yǎng)成為自主地、能動地、創(chuàng)造性地進(jìn)行認(rèn)識和實踐活動的社會主體。這就必須讓我們從小在“探究”的教育活動中鍛煉自己，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，獲得終身發(fā)展的知識和能力。(3)具體到專題上，二次函數(shù)在數(shù)學(xué)上占有重要地位，在初中和高中都有涉及到，且初中還作為重點學(xué)習(xí)，而且在生活二次函數(shù)應(yīng)用廣泛，如雜技表演，在物理上也相當(dāng)重要，如速度等，組織我們學(xué)生個人研究，小組討論，探討，進(jìn)而形成結(jié)論有利于我們學(xué)生形成正確的知識體系，體會研究的快樂，激發(fā)我們學(xué)生的的興趣。 活 動 計 劃1）任務(wù)分工： 任 務(wù) 負(fù) 責(zé) 人開題報告的提出余杭銀、徐李忺資料的查閱王鈺瑩、葉堯棟資料的整理王金玉、朱佳威結(jié)題報告王鈺樺、顧棋鋒報告整理余杭銀2） 研究方法： 查閱文獻(xiàn)、上網(wǎng)搜索、訪問調(diào)查等3） 活動步驟： 選題；寫開題報告；調(diào)查&收集資料；寫結(jié)題報告；整理報告4） 活動所需條件： 圖書資料：數(shù)學(xué)課本、文獻(xiàn)資料等 實驗室（設(shè)備）：計算機(jī)等 其他：計算機(jī)上網(wǎng)、調(diào)查5） 計劃訪問專家： 校內(nèi)1位：王少波 校外0位1. 二次函數(shù)的基本定義一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a0，bc可以為0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)（quadratic function），其中a稱為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項。x為自變量，y為因變量。等號右邊自變量的最高次數(shù)是2。二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。頂點坐標(biāo)-b/2a,(4ac-b2)/4a交點式為y=a(X-x1)(X-x2) 僅限于與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線 注意：“變量”不同于“自變量”，不能說“二次函數(shù)是指自變量的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)”?！拔粗獢?shù)”只是一個數(shù)（具體值未知，但是只取一個值），“變量”可在實數(shù)范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個數(shù)或函數(shù)也會遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別.如同函數(shù)不等于函數(shù)的關(guān)系。2.二次函數(shù)圖象的特點及應(yīng)用 二次函數(shù)在數(shù)學(xué)上占有重要地位，在初中和高中都有涉及到，且初中還作為重點學(xué)習(xí)。在生活中，二次函數(shù)應(yīng)用廣泛，如雜技表演，在物理上業(yè)相當(dāng)重要，如加速度。此次，我們參加二次函數(shù)的研究課題，有利于我們對二次函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識，有利于我們解釋生活現(xiàn)象，有利于我們的自主探究能力。二次函數(shù)圖象的特點一般地，自變量X和因變量Y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)。且a0）則稱Y為X的二次函數(shù)。二次函數(shù)的三中表達(dá)形式：（1）一般式： y=ax2+bx+c（其中a,b,c為常數(shù)，且a0）； （2）頂點式拋物線的頂點P(h，k)： y=a（x-h）2+k（其中a,h.k為常數(shù)，且a0）；（3）交點式： y=a(x-x1)(x-x2)（其中a0且A(x1，0)和B(x2，0)為二次函數(shù)圖像與x軸的交點坐標(biāo)。）三中表達(dá)形式的關(guān)系以上3種形式可進(jìn)行如下進(jìn)行轉(zhuǎn)化：（1）一般式和頂點式的關(guān)系 對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，其頂點坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b2)/4a)，即h=-b/2a=(x1+x2)/2k=(4ac-b2)/4a（2）一般式和交點式的關(guān)系x1,x2=-b(b2-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式)拋物線的性質(zhì)1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）2. 拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)=b2-4ac=0時，P在x軸上。3. 二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a0時，拋物線向上開口；當(dāng)a0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。4. 一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當(dāng)a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab0），對稱軸在y軸右。5. 常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于（0，c）6. 拋物線與x軸交點個數(shù)=b2-4ac0時，拋物線與x軸有2個交點。=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。=b2-4ac0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)（x=-bb24ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a）當(dāng)a0時，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在x|x-b/2a上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是y|y4ac-b2/4a相反不變當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax2+c(a0)7. 定義域：R值域：（對應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）(4ac-b2)/4a，正無窮）；t，正無窮）8. 奇偶性：偶函數(shù)9. 周期性：無二次函數(shù)圖像的應(yīng)用二次函數(shù)可謂應(yīng)用廣泛。在具有代表性的信息時代技術(shù)領(lǐng)域，計算機(jī)鼠標(biāo)的每一舉動，都會變?yōu)橐幌盗械亩魏瘮?shù)命令，于是熒幕上的箭頭，才得擺動。信息的傳遞，傳遞和存儲也少不了二次函數(shù)。在日常生活中。許多常見事物中都有二次函數(shù)的身影。如橋梁建設(shè)，籃球出手時的拋物線等。典型題目如： （一）、圖像與性質(zhì)問題：已知函數(shù)f（x）=x2-6x+8并且函數(shù)的最小值是f（a），則實數(shù)a的取值范圍是？解得a的取值范圍是（1,3.利用圖象可以直觀的解決和圖象有關(guān)的問題。（二）、最值問題：已知函數(shù)分f（x）=x2+3x-5，xt，t+1，若f（x）的最小值為h（t），寫出h（t）的表達(dá)式。解的函數(shù)的表達(dá)式為h（t）=t2+5t-1運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法。（三）、實根問題：設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+ax+a，方程f（x）-x=0的兩根x1和x2，滿足0x1x21，求a的取值范圍。解得0a3-2（2）.用數(shù)型結(jié)合的思想來做的。（四）、綜合應(yīng)用問題：已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c和一次函數(shù)g（x）=-bx，其中a，b，c滿足abc，a+b+c=o（a，b，cR且a0），求線段AB在x軸上的影射A1B1之長的取值范圍。解得A1B1的取值范圍是（3,23）.二次函數(shù)和一次函數(shù)的共同問題。生活實際運(yùn)用如： （一）、某果園有100棵橙子樹，每一棵平均結(jié)600個橙子?，F(xiàn)在準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高質(zhì)量，但若多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所受的陽光就會減少。據(jù)經(jīng)驗分析，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結(jié)5個橙子。假設(shè)果園增種x棵橙子樹，果園橙子總產(chǎn)量為y個。（1）請寫出y與x之間的關(guān)系式；（2）增種多少棵橙子樹，可使果園的橘子總產(chǎn)量最高？最大值為多少？解：（1）由題意得：y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+6000。（2）由y=-5x2+100x+6000得當(dāng)x=-b/2a=10時，Ymax=（4ac-b2）/2a=60500所以增種10棵橙子樹時，橙子的總產(chǎn)量最高，為50600個。（二）、利用二次函數(shù)解決圖形面積極值的問題。已知矩形的周長為6，設(shè)矩形的一邊長為x，它的面積為y，寫出它們的關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時，矩形的面積最大，并求出最大值。解：關(guān)系式為y=-x2+3x（0x3）Y=-（x-3/2）2+9/4，又因為0x3所以當(dāng)x=3/2時，矩形的面積最大，為9/4。（三、拱橋問題。有一座拋物線型拱橋，在正常水位時，水面AB寬為20米，如果水位上升3米時，水面CD寬為10米,求拋物線的的關(guān)系式；現(xiàn)有一輛卡車需通過，汽車以每小時40千米的速度從距此橋280千米的地方開來，忽然接到通知，前方連降暴雨，造成水位以每小時0.25米的速度上漲，卡車按原來的速度行駛，是否能安全通過此橋，請說明理由；如不能，卡車的速度應(yīng)達(dá)到多少？解：由題意可知，拋物線的關(guān)系式為y=-（1/25）x2；計算可知卡車不能安全通過，若要安全通過i，速度應(yīng)超過60千米/時。 二次函數(shù)在生活上具有非常廣泛的應(yīng)用，地位很高，所以我們要認(rèn)真學(xué)習(xí)該部分知識。3.二次函數(shù)圖象在古代建筑中的應(yīng)用趙州橋是一座空腹式的圓弧形石拱橋，是世界上現(xiàn)存最早、保存最好的巨大石拱橋。趙州橋是入選世界紀(jì)錄協(xié)會世界最早的敞肩石拱橋，創(chuàng)造了世界之最。河北民間將趙州橋與滄州鐵獅子、定州開元寺塔、正定隆興寺菩薩像并稱為“華北四寶”。橋長50.82米，跨徑37.02米，券高7.23米，兩端寬9.6米,橋的設(shè)計完全合乎科學(xué)原理，施工技術(shù)更是巧妙絕倫。唐朝的張嘉貞說它“制造奇特，人不知其所以為”。根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，計算得出，趙州橋滿足了y=（-28/1369）x2+（28/37）x，這就是二次函數(shù)圖像的實際應(yīng)用。 研究性學(xué)習(xí)課題結(jié)題報告（成果報告）課題名稱 二次函數(shù)圖象特點的應(yīng)用完成時間 2014年5月30日 課