數(shù)量關(guān)系分類型講解.doc

數(shù)量關(guān)系分類型講解-雞兔同籠問題“雞兔同籠”是一類有名的中國古算題.最早出現(xiàn)在孫子算經(jīng)中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問題，或者用解它的典型解法-“假設(shè)法”來求解.因此很有必要學(xué)會(huì)它的解法和思路.雞兔同籠是我國古代著名趣題之一。大約在1500年前，孫子算經(jīng)中就記載了這個(gè)有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。問籠中各有幾只雞和兔？ 假設(shè)法： 假設(shè)全是雞：23570(只) 比總腳數(shù)少的：947024 (只) 兔：24（4-2）12 (只) 雞：351223(只) 我們來總結(jié)一下這道題的解題思路：如果先假設(shè)它們?nèi)请u，于是根據(jù)雞兔的總數(shù)就可以算出在假設(shè)下共有幾只腳，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看看差多少，每差2只腳就說明有1只兔，將所差的腳數(shù)除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起來，解雞兔同籠題的基本關(guān)系式是：兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)雞兔總數(shù)）（每只兔子腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）。類似地，也可以假設(shè)全是兔子。 雞兔同籠公式 解法1：（兔的腳數(shù)總只數(shù)總腳數(shù)）（兔的腳數(shù)雞的腳數(shù)） =雞的只數(shù) 總只數(shù)雞的只數(shù)=兔的只數(shù) 解法2：（ 總腳數(shù)雞的腳數(shù)總只數(shù)）（兔的腳數(shù)雞的腳數(shù)） =兔的只數(shù) 總只數(shù)兔的只數(shù)=雞的只數(shù) 解法3：總腳數(shù)2總頭數(shù)=兔的只數(shù) 總只數(shù)兔的只數(shù)=雞的只數(shù) 解法4 雞的只數(shù)=（4雞兔總只數(shù)-雞兔總腳數(shù)）2 兔的只數(shù)=雞兔總只數(shù)-雞的只數(shù) 解法5兔總只數(shù)=（雞兔總腳數(shù)-2雞兔總只數(shù)）2 雞的只數(shù)=雞兔總只數(shù)-兔總只數(shù) 解法6（頭數(shù)x4-實(shí)際腳數(shù)）2=雞 解法7 4+2(總數(shù)x）總腳數(shù) （x兔，總數(shù)x雞數(shù)，用于方程）例1有若干只雞和兔子，它們共有88個(gè)頭，244只腳，雞和兔各有多少只？解：我們設(shè)想，每只雞都是“金雞獨(dú)立”，一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著.現(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，也就是2442=122（只）.在122這個(gè)數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次.因此從122減去總頭數(shù)88，剩下的就是兔子頭數(shù)122-88=34，有34只兔子.當(dāng)然雞就有54只.答：有兔子34只，雞54只.上面的計(jì)算，可以歸結(jié)為下面算式：總腳數(shù)2-總頭數(shù)=兔子數(shù).上面的解法是孫子算經(jīng)中記載的.做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡單！能夠這樣算，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2，4又是2的2倍.可是，當(dāng)其他問題轉(zhuǎn)化成這類問題時(shí)，“腳數(shù)”就不一定是4和2，上面的計(jì)算方法就行不通.因此，我們對(duì)這類問題給出一種一般解法.還說例1.如果設(shè)想88只都是兔子，那么就有488只腳，比244只腳多了884-244=108（只）.每只雞比兔子少（4-2）只腳，所以共有雞（884-244）（4-2）=54（只）.說明我們設(shè)想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是雞.因此可以列出公式：雞數(shù)=（兔腳數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）當(dāng)然，我們也可以設(shè)想88只都是“雞”，那么共有腳288=176（只），比244只腳少了244-176=68（只）.每只雞比每只兔子少（4-2）只腳，682=34（只）.說明設(shè)想中的“雞”，有34只是兔子，也可以列出公式：兔數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳數(shù)總頭數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）.上面兩個(gè)公式不必都用，用其中一個(gè)算出兔數(shù)或雞數(shù)，再用總頭數(shù)去減，就知道另一個(gè)數(shù).假設(shè)全是雞，或者全是兔，通常用這樣的思路求解，有人稱為“假設(shè)法”.現(xiàn)在，拿一個(gè)具體問題來試試上面的公式.例2紅鉛筆每支0.19元，藍(lán)鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元.問紅、藍(lán)鉛筆各買幾支？解：以“分”作為錢的單位.我們設(shè)想，一種“雞”有11只腳，一種“兔子”有19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳.現(xiàn)在已經(jīng)把買鉛筆問題，轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題了.利用上面算兔數(shù)公式，就有：藍(lán)筆數(shù)=（1916-280）（19-11）=248=3（支）.紅筆數(shù)=16-3=13（支）.答：買了13支紅鉛筆和3支藍(lán)鉛筆.對(duì)于這類問題的計(jì)算，常?？梢岳靡阎_數(shù)的特殊性.例2中的“腳數(shù)”19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中，8只是“兔子”，8只是“雞”，根據(jù)這一設(shè)想，腳數(shù)是8（11+19）=240.比280少40.40（19-11）=5.就知道設(shè)想中的8只“雞”應(yīng)少5只，也就是“雞”（藍(lán)鉛筆）數(shù)是3.308比1916或1116要容易計(jì)算些.利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來完成計(jì)算.實(shí)際上，可以任意設(shè)想一個(gè)方便的兔數(shù)或雞數(shù).例如，設(shè)想16只中，“兔數(shù)”為10，“雞數(shù)”為6，就有腳數(shù)1910+116=256.比280少24.24（19-11）=3，就知道設(shè)想6只“雞”，要少3只.要使設(shè)想的數(shù)，能給計(jì)算帶來方便，常常取決于你的心算本領(lǐng).下面再舉兩個(gè)稍有難度的例子.例3一份稿件，甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完成.乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成，現(xiàn)在甲單獨(dú)打若干小時(shí)后，因有事由乙接著打完，共用了7小時(shí).甲打字用了多少小時(shí)？解：我們把這份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍數(shù)），甲每小時(shí)打甲每小時(shí)打306=5（份），乙每小時(shí)打3010=3（份）.現(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成“兔”頭數(shù)，乙打字的時(shí)間看成“雞”頭數(shù)，總頭數(shù)是7.“兔”的腳數(shù)是5，“雞”的腳數(shù)是3，總腳數(shù)是30，就把問題轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”問題了.根據(jù)前面的公式“兔”數(shù)=（30-37）（5-3）=4.5，“雞”數(shù)=7-4.5=2.5，也就是甲打字用了4.5小時(shí)，乙打字用了2.5小時(shí).答：甲打字用了4小時(shí)30分.例4今年是1998年，父母年齡（整數(shù)）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲.四年后（2002年）父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，是公元哪一年？解：4年后，兩人年齡和都要加8.此時(shí)兄弟年齡之和是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作“雞”頭數(shù)，弟的年齡看作“兔”頭數(shù).25是“總頭數(shù)”.86是“總腳數(shù)”.根據(jù)公式，兄的年齡是：（254-86）（4-3）=14（歲）.1998年，兄年齡是14-4=10（歲）.父年齡是（25-14）4-4=40（歲）.因此，當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，兄的年齡是（40-10）（3-1）=15（歲）.這是2003年.答：公元2003年時(shí)，父年齡是兄年齡的3倍.“兩數(shù)之差”的問題雞兔同籠中的總頭數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢？例5買一些4分和8分的郵票，共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩種郵票各買了多少張？解一：如果拿出40張8分的郵票，余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多.（680-840）（8+4）=30（張），這就知道，余下的郵票中，8分和4分的各有30張.因此8分郵票有40+30=70（張）.答：買了8分的郵票70張，4分的郵票30張.也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法.解二：譬如，假設(shè)有20張4分，根據(jù)條件“8分比4分多40張”，那么應(yīng)有60張8分.以“分”作為計(jì)算單位，此時(shí)郵票總值是420+860=560.比680少，因此還要增加郵票.為了保持“差”是40，每增加1張4分，就要增加1張8分，每種要增加的張數(shù)是：（680-420-860）（4+8）=10（張）.因此4分有20+10=30（張），8分有60+10=70（張）.例6一項(xiàng)工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成？解：類似于例3，我們設(shè)工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例題解一的方法，晴天有（150-83）（10+8）=7（天）.雨天是7+3=10天，總共7+10=17（天）.答：這項(xiàng)工程17天完成.請(qǐng)注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而換成已知工程是17天完成，由此又回到上一節(jié)的問題.差是3，與和是17，知道其一，就能推算出另一個(gè).這說明了例7、例8與上一節(jié)基本問題之間的關(guān)系.總腳數(shù)是“兩數(shù)之和”，如果把條件換成“兩數(shù)之差”，又應(yīng)該怎樣去解呢？例7古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個(gè)字；七言絕句是四句詩，每句都是七個(gè)字.有一詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字?jǐn)?shù)卻反而少了20個(gè)字.問兩種詩各多少首.解一：如果去掉13首五言絕句，兩種詩首數(shù)就相等，此時(shí)字?jǐn)?shù)相差1354+20=280（字）.每首字?jǐn)?shù)相差：74-54=8（字）.因此，七言絕句有：28（28-20）=35（首）.五言絕句有：35+13=48（首）.答：五言絕句48首，七言絕句35首.解二：假設(shè)五言絕句是23首，那么根據(jù)相差13首，七言絕句是10首.字?jǐn)?shù)分別是2023=460（字），2810=280（字），五言絕句的字?jǐn)?shù)，反而多了：460-280=180（字）.與題目中“少20字”相差：180+20=200（字）.說明假設(shè)詩的首數(shù)少了.為了保持相差13首，增加一首五言絕句，也要增一首七言絕句，而字?jǐn)?shù)相差增加8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加2008=25（首）.五言絕句有23+25=48（首）.七言絕句有10+25=35（首）.在寫出“雞兔同籠”公式的時(shí)候，