數列求和的8種方法.doc

數列求和的基本方法和技巧（配以相應的練習）一、總論：數列求和7種方法： 利用等差、等比數列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和分段求和法（合并法求和）利用數列通項法求和二、等差數列求和的方法是逆序相加法，等比數列的求和方法是錯位相減法，三、逆序相加法、錯位相減法是數列求和的二個基本方法。數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎. 在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位. 數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧. 下面，就幾個歷屆高考數學和數學競賽試題來談談數列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數列求和公式： 2、等比數列求和公式：3、 4、5、例1 已知，求的前n項和.解：由 由等比數列求和公式得 （利用常用公式） 1 例2 設Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差數列求和公式得 ， （利用常用公式） 當 ，即n8時，題1.等比數列的前項和S2，則 題2若12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，則a= ,b= ,c= . 解： 原式= 答案：二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列anbn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數列和等比數列.例3 求和：解：由題可知，的通項是等差數列2n1的通項與等比數列的通項之積設. （設制錯位）得 （錯位相減）再利用等比數列的求和公式得： 例4 求數列前n項的和.解：由題可知，的通項是等差數列2n的通項與等比數列的通項之積設 （設制錯位）得 （錯位相減） 練習題1 已知 ，求數列an的前n項和Sn.答案：練習題2 的前n項和為_答案：三、反序相加法求和這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個.例5 求證：證明： 設. 把式右邊倒轉過來得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 例6 求的值解：設. 將式右邊反序得 . （反序） 又因為 +得 （反序相加）89 S44.5題1 已知函數（1）證明：；（2）求的值.解：（1）先利用指數的相關性質對函數化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經證明的結論可知，兩式相加得： 所以.練習、求值：練習。已知滿足,當時,若求 解答：由知只要自變量即成立,又知1,則易求四、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.例7 求數列的前n項和：，解：設將其每一項拆開再重新組合得 （分組）當a1時， （分組求和）當時，例8 求數列n(n+1)(2n+1)的前n項和.解：設 將其每一項拆開再重新組合得 Sn （分組） （分組求和） 五、裂項法求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) （7）（8）例9 求數列的前n項和.解：設 （裂項）則 （裂項求和） 例10 在數列an中，又，求數列bn的前n項的和.解： （裂項） 數列bn的前n項和 （裂項求和） 例11 求證：解：設 （裂項） （裂項求和） 原等式成立例 求證 此為分數數列求和問題,仍然用裂項求和法,難點在于分母出現了階乘,為此,需將數列的第項作一些恒等變形,以便將其分裂為兩項之差. 解 因為 （） 所以 . 練習題1. 答案：.練習題2。 =答案：六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn. 例12 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：設Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性質項）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例13 數列an：，求S2002.解：設S2002由可得 （找特殊性質項）S2002 （合并求和） 5例14 在各項均為正數的等比數列中，若的值.解：設由等比數列的性質 （找特殊性質項）和對數的運算性質 得 （合并求和） 10練習、求和：練習題1 設，則_ 答案：2.練習題2 若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，則S17+S3350等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D .2 解：對前n項和要分奇偶分別解決，即： Sn= 答案：A練習題 3 1002-992+982-972+22-12的值是 A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 解：并項求和，每兩項合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案：B七、利用數列的通項求和先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項及其特征，然后再利用數列的通項揭示的規(guī)律來求數列的前n項和，是一個重要的方法.例15 求之和.解：由于 （找通項及特征） （分組求和）例16 已知數列an：的值.解： （找通項及特征） （設制分組） （裂項） （分組、裂項求和） 提高練習：1已知數列中，是其前項和，并且，設數列，求證：數列是等比數列；設數列，求證：數列是等差數列；八、組合數法求和 原數列各項可寫成組合數形式,則可利用公式求解. 例5求的和 由知可利用“組合數法”求和 解 .待定歸納法例9求數列2,4,6,2的前項和.因為數列的通項公式為它是關于的多項式,與之類似的數列求和問題我們熟悉的有 （1） （2）1 （3）以上各式中，左端的通項公式及右端的和展開后都是關于的多項式,對其次數進行比較便可得到這樣的結論:若數列的通項公式是關于的多項式,則其前項和是比通項公式高一次的多項式.對本題來講,因為通項公式 是關于的三次多項式,所以我們猜想該數列的前項和是關于的四次多項式,故可設.解 令滿足數學歸納法的各個步驟,即時上式均成立,有 又因為 比較、兩式同類項系數可得 解方程得 代入式有, 故 例10求數列5,6,9,16,31,62,的前項和考慮數列的各差數列: 原數列:5,6,9,16,31,62,一階差數列:1,3,7,15,31,二階差數列:2,4,8,16, 由于二階差數列是等比數列,可用逐差法求數列的通項,然后再求其前項和 解 設原數列為,一階差數列為,二階