線性代數(shù)第五章(第二講).ppt

1 第五章相似矩陣與二次型 第二節(jié)相似矩陣 2 一 相似矩陣的定義 定義1 設(shè)A B都是n階方陣 若存在可逆陣 使得 則稱B是A的相似矩陣 又由于 則也稱A是B的相似矩陣 對(duì)A作運(yùn)算 稱為對(duì)A作進(jìn)行相似變換 可逆矩陣P 稱為把A變成B的相似變換矩陣 或者稱A與B相似 或者稱B與A相似 3 二 相似矩陣的性質(zhì) 證明 定理1 若n階矩陣A與B相似 則A與B的特征多項(xiàng)式相同 從而A與B的特征值亦相同 證畢 4 推論 也是方陣A的n個(gè)特征值 證明 也是方陣A的n個(gè)特征值 證畢 5 利用對(duì)角矩陣計(jì)算矩陣多項(xiàng)式 6 利用上述結(jié)論可以很方便地計(jì)算矩陣A的多項(xiàng)式 7 證明 三 方陣的對(duì)角化 定義3 對(duì)于方陣A 則稱方陣A可對(duì)角化 定理2 n階方陣A與對(duì)角陣相似 即A能對(duì)角化 A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 n階方陣A與對(duì)角陣相似 即A能對(duì)角化 可逆P 可逆P 可逆P 8 可逆P 可逆P 是方陣A特征值 由于P可逆 推論 如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等 則A與對(duì)角陣相似 說明 如果的特征方程有重根 此時(shí)不一定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量 從而矩陣不一定能對(duì)角化 但如果能找到個(gè)線性無關(guān)的特征向量 還是能對(duì)角化 證畢 9 解 1 當(dāng) 時(shí) 對(duì)應(yīng)方程組 的基礎(chǔ)解系為 2 當(dāng) 時(shí) 對(duì)應(yīng)方程組 的基礎(chǔ)解系為 10 所以可對(duì)角化 注 即矩陣的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng) 11 第五章相似矩陣與二次型 第三節(jié)對(duì)稱矩陣的相似矩陣 12 定理1對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù) 證明 說明 本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣 除非特別說明 均指實(shí)對(duì)稱矩陣 一 對(duì)稱矩陣的性質(zhì) 和 13 設(shè) 則 又 至少 或者 為實(shí)數(shù) 14 證明 A為對(duì)稱陣 15 證明 它們的重?cái)?shù)依次為 根據(jù)定理1 對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù) 和定理3 如上 可得 設(shè)的互不相等的特征值為 16 由定理2知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交 這樣的特征向量共可得個(gè) 故這個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 則 17 根據(jù)上述結(jié)論 利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣 其具體步驟為 2 1 二 利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化 18 解 例對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱矩陣 分別求出正交矩陣 使為對(duì)角陣 1 第一步求的特征值 19 解之得基礎(chǔ)解系 解之得基礎(chǔ)解系 20 解之得基礎(chǔ)解系 第三步將特征向量正交化 第四步將特征向量單位化 21 22 23 24 于是得正交陣 25 練習(xí)題 解 因?yàn)? 2是對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)不同的特征值