第四章 方差分析與正交實驗設(shè)計.ppt

第四章方差分析與正交試驗設(shè)計 教學目的與要求 復習方差分析的主要內(nèi)容 了解正交實驗設(shè)計的基本內(nèi)容 掌握各種不同的正交試驗設(shè)計的數(shù)據(jù)分析方法 要求學生初步掌握統(tǒng)計質(zhì)量控制的含義 掌握相關(guān)理論 重點與難點 本章的重點是無交互作用的正交試驗設(shè)計與數(shù)據(jù)分析 難點是有交互作用的正交試驗設(shè)計與數(shù)據(jù)分析 所需課時 4 2 本章主要內(nèi)容 4 1方差分析 略 4 2正交試驗的基本概念與正交表 4 3無交互作用的正交設(shè)計與數(shù)據(jù)分析 4 4有交互作用的正交設(shè)計與數(shù)據(jù)分析 4 5有重復試驗的情況 4 6水平數(shù)不等的試驗設(shè)計與數(shù)據(jù)分析 4 7篩選試驗 4 8多指標的數(shù)據(jù)分析 4 9飽和設(shè)計 第一節(jié)方差分析 所謂方差分析 是通過比較因素的方差與試驗誤差的方差 來檢驗因素對試驗指標的影響是否顯著 其實質(zhì)是假設(shè)多個總體方差相等的情況下 判斷它們的均值是否相等 也就是將試驗數(shù)據(jù)的總波動平方和分解成各因素和交互作用以及試驗誤差的波動平方和 并比較它們的方差 以判斷因素影響的顯著性 方差分析 AnalysisofVariance 簡稱ANOVA 能夠解決多個均值是否相等的檢驗問題 節(jié)省時間是這種方法明顯的優(yōu)點 它的另一個好處是 由于進行分析時是將所有的樣本資料結(jié)合在一起 因而增加了穩(wěn)定性 例如 有30個樣本 每一個樣本包括10個觀察單位 如果用T檢驗法 一次只能研究兩個樣本 20個觀察單位 而使用方差分析則可以把300個觀察單位結(jié)合在一起進行研究 所以說 方差分析是一種實用 有效的分析方法 方差分析是一種因素分析方法 廣泛應用于優(yōu)化設(shè)計 理化分析 績效考核中 一 方差分析的內(nèi)容 方差分析是對多個總體均值是否相等這一假設(shè)進行檢驗 下面通過一個例子說明方差分析的內(nèi)容 例4 1 某飲料生產(chǎn)企業(yè)研制出一種新型飲料 飲料的顏色共有四種 分別為橘黃色 粉色 綠色和無色透明 隨機從五家超級市場上收集了前一期該種飲料的銷售量 如表4 6所示 問飲料的顏色是否對銷售量產(chǎn)生影響 表4 6該飲料在五家超市的銷售情況 這是一個方差分析問題 即對四種飲料銷售量均值是否相等進行檢驗 由于飲料是同一廠家生產(chǎn)的 它們的營養(yǎng)含量 味道 價格 裝潢等可能影響銷售量的因素全部相同 如果檢驗結(jié)果為 1 2 3 4不相等 如圖4 5 a 所示 則意味著它們來自于不同的總體 表明飲料顏色對銷售量產(chǎn)生影響 反之 如果檢驗結(jié)果為 1 2 3 4不存在顯著影響 則可以認為飲料的顏色對銷售量沒有影響 它們來自于相同的總體 見圖4 5 b 圖4 5 a 不同總體的情況 圖4 5 b 相同總體的情況 在方差分析中 常常用到一些術(shù)語 一個是因素 因素是一個獨立的變量 也是方差分析研究的對象 在前面的例子中 飲料的顏色就是一個因素 因素中的內(nèi)容稱為水平 上例因素中的水平有四個 即飲料的四種不同顏色 如果方差分析只針對一個因素進行 稱為單因素方差分析 如果同時針對多個因素進行 稱為多因素分析 在多因素方差分析中 雙因素方差分析是最常見的 在方差分析中 通常假定各個水平的觀察數(shù)據(jù)是來自于服從正態(tài)分布總體中的隨機樣本 各個總體相互獨立 且方差相同 實際應用中嚴格地滿足這些假定 特別是對社會經(jīng)濟現(xiàn)象的分析 確實過于苛刻 但一般應近似地符合上述要求 二 方差分析的原理 從方差分析的目的看 是要檢驗各個水平的均值 1 2 3 4是否相等 而實現(xiàn)這個目的的手段是通過方差的比較 觀察值之間存在著差異 差異的產(chǎn)生來自于兩個方面 一個方面是由因素中的不同水平造成的 例如飲料的不同顏色帶來不同的銷售量 對此我們可以稱為系統(tǒng)性差異 另一個方面是由于抽選樣本的隨機性而產(chǎn)生的差異 例如 相同顏色的飲料在不同的商場銷售量也不同 兩個方面產(chǎn)生的差異可以用兩個方差來計量 一個稱為水平之間的方差 一個稱為水平內(nèi)部的方差 前者既包括系統(tǒng)性因素 也包括隨機性因素 后者僅包括隨機性因素 如果不同的水平對結(jié)果沒有影響 如前例飲料的顏色對銷售量不產(chǎn)生影響 那么在水平之間的方差中 就僅僅有隨機因素的差異 而沒有系統(tǒng)性差異 它與水平內(nèi)部方差就應該近似 兩個方差的比值就會接近于1 反之 如果不同的水平對結(jié)果產(chǎn)生影響 在水平之間的方差中就不僅包括了隨機性差異 也包括了系統(tǒng)性差異 這時 該方差就會大于水平內(nèi)方差 兩個方差的比值就會顯著地大于1許多 當這個比值大到某個程度 或者說達到某臨界點 就可以作出判斷 說不同的水平之間存在著顯著性差異 因此 方差分析就是通過不同方差的比較 作出接受原假設(shè)或拒絕原假設(shè)的判斷 三 F分布 水平間 也稱組間 方差和水平內(nèi) 也稱組內(nèi) 方差之比是一個統(tǒng)計量 數(shù)理統(tǒng)計證明 這個統(tǒng)計量服從F分布 FDistribution F分布有這樣幾個特征 統(tǒng)計量F是大于零的正數(shù) F分布曲線為正偏態(tài) 它的尾端以橫軸為漸進線趨于無窮 F分布是一種連續(xù)的概率分布 不同的自由度組合有不同的F分布曲線 如圖4 6所示 也就是將試驗數(shù)據(jù)的總波動平方和分解成各因素和交互作用以及試驗誤差的波動平方和 并比較它們的方差 以判斷因素影響的顯著性 方差分析是一種因素分析方法 廣泛應用于優(yōu)化設(shè)計 理化分析 績效考核中 其具體步驟如下 1 統(tǒng)計模型 2 平方和分解 3 F比 4 計算 4 最佳條件的選擇與對應條件下指標均值的估計 四 繪制效應圖 五 驗證實驗 圖4 6不同自由度下F分布曲線 由上圖可以看出 隨著分子和分母自由度的增加 F分布以對稱的正態(tài)分布為極限 許多類型的假設(shè)檢驗需要利用F分布 方差分析是其中的重要一種 二 單因素方差分析 一 單因子試驗例 茶是一種飲料 它含有葉酸 folacin 這是一種維他命B 如今要比較各種茶葉中的葉酸含量 現(xiàn)選定綠茶 這是一個因子 用A表示 又選定四個產(chǎn)地的綠茶 記為A1 A2 A3 A4 它是因子A的四個水平 為測定試驗誤差 需要重復 各水平重復數(shù)相等的設(shè)計稱為平衡設(shè)計 各水平重復數(shù)不等的設(shè)計稱為不平衡設(shè)計 如今我們選用不平衡設(shè)計 即A1 A2 A3 A4分別制作了7 5 6 6個樣品 共有24個樣品等待測試 這里一次測試就是一次試驗 試驗次序要隨機化 為此把這24次試驗按序編號 這里一次測試就是一次試驗 試驗次序要隨機化 為此把這24次試驗按序編號 在1到24個試驗號中一個接一個地隨機抽取 得到如下序列 9 13 2 20 18 10 5 7 14 1 6 15 23 把試驗結(jié)果 對號入座 填寫試驗結(jié)果 四個產(chǎn)地綠茶葉酸含量的打點圖 dotplot 四個產(chǎn)地綠茶葉酸含量的打點圖 dotplot 圖上 表示葉酸含量 線表示樣本均值 下述一些直觀的印象是重要 圖中每種綠茶的葉酸含量有高有低 從樣本均值看 A1與A2的葉酸含量偏高一些 從樣本極差看 A1 A2 A3的極差接近 A4的略小一點 二 單因素方差分析的步驟由前面的內(nèi)容和例子可知 不同水平下銷售量x的概率分布服從正態(tài)分布 并且有相同方差 因此 水平的差異必然體現(xiàn)在水平均值的差異上 于是作為單因素的方差分析 其目標是檢驗水平均值 j是否相等 如果相等 我們說該因素 如前例中飲料的顏色 對x不產(chǎn)生影響 反之 就認為該因素對x存在影響 為便于敘述 也便于理解 可以將方差分析按其過程劃為幾步 1 計算水平均值不妨令表示第j種水平的樣本均值 式中 是第j種水平下的第i個觀察值 nj表示第j種水平的觀察值個數(shù) 結(jié)合前面表4 6中的數(shù)據(jù) 將計算結(jié)果列表4 7如下 下表中 計算總均值的一般表達式為式中 n nj 表4 7四種顏色飲料銷量及均值 2 計算離差平方和 在單因素方差分析中 離差平方和有三個 它們分別是總離差平方和 誤差項離差平方和以及水平項離差平方和 首先看總離差平方和 不妨用SST SumofSquaresforTotal 代表 則 SST 它反映了離差平方和的總體情況 在表4一7中己知 28 695 由上式 我們可以計算出 SST 26 5 28 695 2 28 7 28 695 2 32 8 28 695 2 115 9295再看誤差項離差平方和 用SSE SumofSquaresforError 表示 其計算公式為 對公式分析不難發(fā)現(xiàn)SSE反映的是水平內(nèi)部 或組內(nèi)觀察值的離散狀況 正如前面分析的 SSE實質(zhì)上反映了隨機因素帶來的影響 在表4 7的例子中 對于水平1 即第一組 有類似地 可以對其他三個組進行計算 31 2 29 56 2 29 6 29 56 2 8 72 27 9 26 44 2 26 5 26 44 2 13 22 30 8 31 46 2 32 8 31 46 2 6 632從而得到 SSE 10 688 8 572 13 192 6 632 39 084 SSE 最后一個是水平項離差平方和 為了后面敘述方便 可以把單因素方差分析中的因素稱為A 于是水平項離差平方可以用SSA SumofSquaresforFactorA 表示 SSA的計算公式為SSA 用各組均值減去總均值的離差的平方 乘以各組觀察值個數(shù)nj 然后加總 即可得到SSA 可以看出 它所表現(xiàn)的是組間差異 其中既包括隨機因素 也包括系統(tǒng)因素 SST SSE SSA之間存在著一定的聯(lián)系 這種聯(lián)系表現(xiàn)在 SST SSE SSA 因為 在各組同為正態(tài)分布 等方差條件下 等式右邊最后一項為零 故有 即SST SSE SSA在上面例子中 己計算出SST 115 9295 SSE 39 084 故 SSA SST SSE 115 9295 39 084 76 8455 3 計算平均平方 用離差平方和除以自由度即可得到平均平方 MeanSquare 離差平方的計算前面己經(jīng)介紹 關(guān)鍵是如何確定各離差平方和的自由度 對SST來說 其自由度為n 1 因為它只有一個約束條件 對SSA來說 其自由度為r 1 這里r表示水平的個數(shù) 如前面例子中 有四個水平 即飲料的四種不同顏色 故r 4 SSA反映的是組間的差異 它也有一個約束條件 即要求 對SSE來說 其自由度為n r 因為對每一種水平而言 其觀察值個數(shù)為nj 該種水平下的自由度為nj 總共有r個水平 因此擁有的自由度個數(shù)為 r nj 1 n r其實 與離差平方和一樣 SST SSA SSE之間的自由度也存在著如上式中的關(guān)系 因為顯然 n 1 r 1 n r 這樣對于SSA 其平均平方MSA為 對于SSE 其平均平方MSE為 在上例中 4 方差分析表 在上例中 為了將方差分析的主要過程表現(xiàn)的更清楚 通常把有關(guān)計算結(jié)果列成方差分析表 如表4 8所示 表4 8方差分析表 使用計算機進行方差分析 其輸出結(jié)果的構(gòu)造與表4 8類似 5 均值的F檢驗 在介紹方差分析的主要步驟以后 讓我們回到問題的起點 對若干均值是否相等進行F檢驗 仍以前面飲料顏色對銷售量影響為例 對所關(guān)心的問題提出原假設(shè)和替換假設(shè) H0 1 2 3 4顏色對銷售量沒有影響H1 1 2 3 4不全相等顏色對銷售量有影響由前已知 計算出的F值為F 10 4860若a 0 05查表知 Fa r 1 n r F0 05 3 16 3 24括號中r 1 n r分別為分子項和分母項的自由度 由于F Fa故拒絕原假設(shè) 接受替換假設(shè) 即通過檢驗知 j不全相等 說明飲料的顏色對銷售量有顯著影響 見圖4一7 圖4 7F檢驗示意圖 對上題 Excel軟件輸出的分析結(jié)果為 表4 9Excel輸出的方差分析表 二 單因素方差分析中的其他問題 表中 Fcrit相當于進行檢驗的臨界點 前面我們四舍五入取了3 24 P value的結(jié)果表明 在圖4 7中 橫軸F 10 4862的右側(cè) F曲線下的面積僅有0 0466 二 單因素方差分析中的其他問題在介紹了方差分析的基本過程之后 對單因素方差分析可能涉及到的問題再做幾點說明 1 進行方差分析所需要的數(shù)據(jù)如表4 10中的結(jié)構(gòu) 表4 10方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 表4 10方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 可以把方差分析的因素放在列的位置 也可以放在行的位置 但通常放在列的位置 如表4 10所示 這樣與計算機中數(shù)據(jù)庫的結(jié)構(gòu)相一致 便于計算一機處理 2 進行方差分析 各個水平下的樣本容量可以相同 也可以不同 前面的例子是樣本容量相同的情況 下面看一個樣本容量不同的例子 例4 2 某課程結(jié)束后 學生對該授課教師的教學質(zhì)量進行評估 評估結(jié)果分為優(yōu) 良 中 差四等 教師對學生考試成績的評判和學生對教師的評估是分開進行的 他們互相都不知道對方給自己的打分 有一種說法 認為給教師評為優(yōu)秀的這組學生的考試分數(shù) 可能會顯著地高于那些認為教師工作僅是良 中或差的學生的分數(shù) 同時認為 對教師工作評價差的學生 其考試的平均分數(shù)可能最低 為對這種說法進行檢驗 從對評估的每一個等級組中 隨機抽取出共26名學生 其課程分數(shù)如表4 11所示 表4 1126名學生考試成績 試檢驗各組學生的分數(shù)是否有顯著差別 0 05 解 若各組學生的平均成績之間沒有顯著差別 則表明學生對教師的評估結(jié)果與他們的成績之間沒有必然的聯(lián)系 H0 各組平均分數(shù)相等 Hl 各組平均分數(shù)不全相等 利用Excel軟件 將計算結(jié)果列表4 12 表4 12學生平均成績方差分析表 由于F Fcrit 故接受原假設(shè) 可以認為學生的成績與它們對教師教學質(zhì)量的評估意見之間沒有關(guān)系 3 方差分析可以對若干平均值是否相等同時進行檢驗 這是此種方法的特點和長處 但如果檢驗結(jié)果拒絕原假設(shè) 接受替換假設(shè) 這僅表明進行檢驗的這幾個均值不全相等 至于是哪一個或哪幾個均值與其他均值不等 方差分析并沒有告訴答案 如果要對此問題進一步分析 可采用多重比較方法 此處從略 三 雙因素方差分析 一 雙因素方差分析的類型在實際問題的研究中 有時需要考慮兩個因素對實驗結(jié)果的影響 例如上一節(jié)中飲料銷售量的例子 除了關(guān)心飲料顏色之外 我們還想了解銷量地區(qū)是否影響銷售量 如果在不同的地區(qū) 銷售量存在顯著的差異 就需要分析原因 采用不同的推銷策略 使該飲料品牌在市場占有率高的地區(qū)繼續(xù)深入人心 保持領(lǐng)先地位 在市場占有率低的地區(qū) 進一步擴大宣傳 讓更多的消費者了解 接受該產(chǎn)品 若把飲料的顏色看作影響銷售量的因素A 飲料的銷售地區(qū)則是影響因素B 對因素A和因素B同時進行分析 就屬于雙因素方差分析 雙因素方差分析的內(nèi)容 是對影響因素進行檢驗 究竟一個因素在起作用 還是兩個因素都起作用 或是兩個因素的影響都不顯著 雙因素方差分析有兩種類型 一個是無交互作用的雙因素方差分析 它假定因素A和因素B的效應之間是相互獨立的 不存在相互關(guān)系 另一個是有交互作用的雙因素方差分析 它傭定因素A和因素B的結(jié)合會產(chǎn)生出一種新的效應 例如 若假定不同地區(qū)的消費者對某種顏色有與其他地區(qū)消費者不同的特殊偏愛 這就是兩個因素結(jié)合后產(chǎn)生的新效應 屬于有交互作用的背景 否則 就是無交互作用的背景 有交互作用的雙因素方差分析已超出本書的范圍 這里僅僅介紹無交互作用的雙因素方差分析 二 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如表4一13所示 表4 13雙因素方差分析數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 上表中 因素A位于列的位置 共有r個水平 代表第j種水平的樣本平均數(shù) 因素B位于行的位置 共有k個水平 代表第i種水平的樣本平均數(shù) 為樣本總平均數(shù) 樣本容量n r k 每一個觀察值看作由A因素的r個水平和B因素的k個水平所組合成的r k個總體中抽取樣本容量為1的獨立隨機樣本 這r k個總體的每一個總體均服從正態(tài)分布 且有相同的方差 這是進行雙因素方差分析的假設(shè)條件 三 離差平方和的分解 與單因素方差分析類似 進行雙因素方差分析 需要將總離差平方和SST進行分解 區(qū)別在于 這里需要將總離差平方和分解為三個組成部分 即 SSA SSB和SSE 以分別反映因素A的組間差異 因素B的組間差異和隨機誤差SSE的離散狀況 它們的計算公式分別為 與各個離差平方和相對應的自由度分別是 總離差平方和SST的自由度為r r K 1 n 1 因素A的離差平方和SSA的自由度為r 1 因素B的離差平方和的自由度為K 1 隨機誤差SSE的自由度為 r 1 K 1 n r K l 由離差平方和與自由度 可以計算出均方差 對因素A而言 對因素B而言 對隨機誤差項而言 由此可以編制出雙因素方差分析表 如表4 14所示 表4 14雙因素方差分析表 上表中 FA是因素A的F統(tǒng)計量 它是MSAH和MSE的比值 可以看出 其計算過程與單因素方差分析中計算F的方式相同 FB因素B的統(tǒng)計量 它MSB和MSE的比值 其計算方式與FA的計算方式類似 四 應用實例 下面通過一個例題 說明雙因素方差分析的整個過程 例4 3 某商品有三種不同的包裝方式 因素A 在五個不同地區(qū)銷售 因素B 現(xiàn)從每個地區(qū)隨機抽取一個規(guī)模相同的超級市場 得到該商品不同包裝的銷售資料如表4 15所示 表4 15某種商品不同地區(qū)不同包裝的銷售資料 現(xiàn)欲檢驗包裝方式和銷售地區(qū)對該商品銷售是否有顯著性影響 0 05 解 若五種包裝方式的銷售的均值相等 則表明不同的包裝方式在銷售上沒有差別 同理 若五個地區(qū)的銷售的均值相等 則表明不同地區(qū)在銷售上沒有影響 故方差分析的過程為 1 建立假設(shè) 對因素A H0 1 2 3 4包裝方式之間無差別H1 1 2 3 4不全相等包裝方式之間有差別對因素B H0 1 2 3 4地區(qū)之間無差異H1 1 2 3 4不全相等地區(qū)之間有差異 2 計算F值 由表4 15中數(shù)據(jù)計算得 因素A的列均值分別為 21 6 12 4 16 4 13 2 11 6因素B的行均值分別為 總均值 15 04 于是有 SST 20 15 04 2 10 15 04 2 880 96SSA 5 21 6 15 04 2 5 11 6 15 04 2 335 36SSB 5 15 2 15 04 2 5 18 8 15 04 2 199 36SSE 880 96 335 36 199 36 346 24接下來 MSA 335 36 5 l 83 84MSB 199 36 5 1 49 84MSE 346 24 5一1 5一1 21 46因此 FA MSA MSE 83 84 21 64 3 874307FB MSB MSE 49 84 21 64 2 303142若使用計算機 Excel的輸出結(jié)果如下 表4 16雙因素方差分析表 3 統(tǒng)計決策 由表4 16知 對于因素A 因為 對于因素A FA 3 88704307 Fcrit 3 006917故拒絕H0 接受H1 說明不同的包裝方式對該商品的銷售產(chǎn)生不同的影響 對于因素B 因為 FB 2 303142 Fcrit 3 000917故接受H0 說明不同地區(qū)之間在該商品的銷售上沒有顯著的差異 4 2正交試驗的基本概念與正交表 一 試驗設(shè)計的基本概念二 正交試驗設(shè)計的基本概念三 試驗設(shè)計的一般指南四 正交表簡介五 正交表的性質(zhì) 什么是試驗 目的在于回答一個或幾個經(jīng)過精心構(gòu)思的問題的實踐活動稱為 試驗 或 實驗 例 精心構(gòu)思的問題有 為提高產(chǎn)品的產(chǎn)量和質(zhì)量而尋找最佳的或滿意的工業(yè)參數(shù)的搭配 為開發(fā)新產(chǎn)品而尋找性能穩(wěn)定和成本低廉的設(shè)計方案 為控制生產(chǎn)過程而尋找描述過程的數(shù)學模型 為證明一種新藥對控制某種疾病是否在統(tǒng)計學意義上確有療效 試驗的目的的差異會影響試驗的設(shè)計與分析 一 試驗設(shè)計的基本概念 一 概念 試驗設(shè)計是一種多因素的選優(yōu)方法 它廣泛用于產(chǎn)品開發(fā)設(shè)計 工藝優(yōu)化 配方研制等方面 以降低誤差和生產(chǎn)費用 減少試驗工作量并對試驗結(jié)果進行科學分析的一種科學方法 早在1920年英國著名統(tǒng)計學家費雪 R A Fisher 首創(chuàng)了 實驗設(shè)計法 并首先應用在農(nóng)業(yè)中 第二次世界大戰(zhàn)后英美將試驗設(shè)計廣泛應用于工業(yè)生產(chǎn)中 20世紀60年代 正交試驗設(shè)計 產(chǎn)生 70年代日本著名質(zhì)量工程學家田口玄一博士發(fā)明了穩(wěn)健設(shè)計 80年代我國數(shù)學家王元和方開泰教授又發(fā)明了均勻設(shè)計 試驗設(shè)計的基本概念 此外專門研究配方的 混料設(shè)計 以及將正交設(shè)計和回歸分析結(jié)合在一起的 正交回歸設(shè)計 等均應運而生 并且得到廣泛的應用 試驗設(shè)計方法就是一種同時研究多個輸入因素 X S 對輸出 Y 的影響的方法 它是通過對選定的輸入因素進行精確 系統(tǒng)的人為調(diào)整 變化 來觀察輸出變量的變化情況 并通過對結(jié)果的分析 最終確定影響結(jié)果的關(guān)鍵因素及其最有利于結(jié)果的取值的方法 舉例如下圖所示 圖4 1 試驗設(shè)計方法允許在同一試驗中包含多個變量 傳統(tǒng)的試驗分析方法是多次單因素試驗 將影響輸出的眾多輸入變量在同一時間只允許有一個變量變化 其他相對固定 如下圖所示 圖4 2 圖4 2 上圖分析可得知傳統(tǒng)試驗方法明顯具有以下缺點 1 試驗周期長 浪費時間 這可能導致試驗成本大幅提高 并影響產(chǎn)品推向市場的時機 2 試驗方法粗糙 因為在試驗其中一個因素時 其他因素保持不變 這樣得出的結(jié)論可能和實際不符 這可能導致以高價賣給消費者低品質(zhì)的產(chǎn)品 與傳統(tǒng)方法不同 試驗設(shè)計允許在同一時間存在多個輸入變量的變化 下面 表4 1 是一張有7個輸入變量 每個變量有兩個取值 兩水平 的試驗設(shè)計表 后續(xù)將詳細講解 表4 1 從上表可知 如按傳統(tǒng)方法進行試驗 需要的試驗次數(shù)為27 2 2 2 2 2 2 2 128次 按試驗設(shè)計方法只需8次即可達到同樣效果 其效率不言自明 讀者可能會問 將試驗次數(shù)由128次降至8次 這樣試驗精度是否會變差 試驗設(shè)計其實質(zhì)是一種在128次完全組合中抽取最具代表性的組合進行試驗的方案 目前所用的試驗表均為統(tǒng)計專家在做大量分析 試驗的基礎(chǔ)上確定的 保證了較高的置信度 即試驗設(shè)計能以較少的試驗次數(shù)獲得較優(yōu)或最優(yōu)的結(jié)果 以最有效最經(jīng)濟的手段獲取最有價值的結(jié)果 二 試驗設(shè)計的用途 試驗設(shè)計自產(chǎn)生起就被廣泛應用 尤其在日本 田口方法在 質(zhì)量立國 的戰(zhàn)略中起到了巨大的作用 被用到從造航天器到烤面包尋找最佳配方的角角落落 日本人認為不懂田口方法的工程師不能算合格的工程師 六西格瑪方法誕生后 試驗設(shè)計的應用又被提升到一個新的層次 成了設(shè)計及過程改善中必不可少的一環(huán) 使用它的公司也因此取得從幾萬元至上億元的收益 1 實驗設(shè)計的目標在工作實踐中 我們無時無刻不在進行試驗 只不過有時無意識罷了 通過試驗我們可以達成以下目標 1 確定 驗證和優(yōu)化制造過程的主要影響變量及其影響 2 創(chuàng)造對物料和部品變化不敏感的制造過程 3 設(shè)計對使用環(huán)境不敏感 即受環(huán)境的影響小 的產(chǎn)品 4 降低總的設(shè)計周期 5 減少ECN 設(shè)計變更通知書 數(shù)量 6 提高新設(shè)計產(chǎn)品的工藝性 7 為制造過程列出問題及解決方案 8 減少對產(chǎn)品的檢查和測試 2 試驗設(shè)計的用途具體包括以下幾個方面 1 在進行基礎(chǔ)研究時 試驗設(shè)計可用來 A 發(fā)現(xiàn)變量間的聯(lián)系 B 明確技術(shù)要點 2 在進行產(chǎn)品設(shè)計時 試驗設(shè)計可用來 A 做靈敏度分析 B 建立可靠公差 C 確定部品特性 D 確定設(shè)計布局 E 使用較低等級的材料和半成品以降低成本 F 減少變異 G 改善新設(shè)計產(chǎn)品的性能 3 在進行制造過程 工藝 設(shè)計時 試驗設(shè)計可用來 A 進行過程變量研究 B 變量的優(yōu)化設(shè)置 C 建立可靠的公差 D 發(fā)現(xiàn)低成本的解決方案 E 減少過程變化 F 將過程均值逼近目標值 G 縮短制造周期 H 消除缺陷 I 提升產(chǎn)品可靠性 4 在過程改善時 試驗設(shè)計可用來 A 解決問題 B 確定過程變量間的相互關(guān)系 C 進行過程能力研究 D 比較設(shè)備與方法的影響度 5 計量時 試驗設(shè)計可用來 A 進行量具研究 B 確定主要誤差 C 將測量誤差降至最小 3 試驗設(shè)計方法與 實踐是檢驗真理的惟一標準 的著名論斷不謀而合 六西格瑪系統(tǒng)講究 用事實和數(shù)據(jù)說話 往往經(jīng)過大量推理 統(tǒng)計分析的結(jié)論 其價值根本無法和試驗設(shè)計得出的結(jié)論相提并論 因為后者是建立在事實基礎(chǔ)上的 所以試驗設(shè)計在設(shè)計 改善等階段 領(lǐng)域都有巨大的應用價值 但由于種種原因 目前 試驗設(shè)計在我國企業(yè)中的應用還非常有限 由此造成的損失無法估量 如果我國有一半企業(yè)在產(chǎn)品設(shè)計 制造中應用試驗設(shè)計方法 所節(jié)約的資金將數(shù)以千億計 本章只介紹 正交試驗設(shè)計 二 正交試驗設(shè)計的基本概念 一 正交試驗設(shè)計的概念 它是利用一種規(guī)格化的表 正交表 科學地挑選試驗條件 合理地分析試驗結(jié)果 即利用 正交表 來選擇最佳的或滿意的試驗條件 也就是通過安排若干個條件進行試驗 并利用正交表的特點進行數(shù)據(jù)分析的一種常用的試驗設(shè)計的方法 二 正交設(shè)計的特點 可以總結(jié)為五個字 多 快 好 省 易 1 多 可以考慮多因素多指標的選優(yōu)問題 2 快 試驗周期短 實驗方案一氣呵成 3 好 以找到最佳方案 4 省 減少試驗次數(shù) 節(jié)省經(jīng)費 5 易 方法簡易 規(guī)范化 易于普及推廣 三 指標 因子與水平 1 指標 在試驗中用來衡量試驗結(jié)果好壞的特征值叫試驗指標 又稱響應變量 1 定量指標 用測量結(jié)果表示的指標 用測量儀器 如 電阻器的電阻 橡膠件的溫度 糧食的產(chǎn)量 2 定性指標 用等級評分等表示的指標 組織專家評判組 如 藥物的療效 布料的柔軟度 平面的光滑度等 2 因子 將在試驗中要加以考察而改變狀態(tài)的因素稱為因子 影響試驗結(jié)果的因素 常用大寫字母A B C 等表示 3 水平 因子在試驗中所取的狀態(tài)稱為水平 如果一個因子在實驗中取了k個不同狀態(tài) 就稱該因子有k個不同水平 個不同因子的水平分別用代表該因子的字母加下標表示 記為 A1 A2 AK B1 B2 BK等 在試驗中 絕大多數(shù)試驗設(shè)計的因素均取2或3水平 4 可控因子 對其水平可做審慎改變的因子 如 反映溫度 反映時間 原料產(chǎn)地 原料配比等 5 不可控因子 又稱噪聲因子或誤差因子 在實際操作中不能控制其水平的因子 或難以控制其水平的因子 或要花費昂貴才能控制其水平的因子 或試驗人員尚未意識到對試驗結(jié)果會有影響的因子 如 環(huán)境的溫度和濕度 機器的老化 電源電壓的波動等 6 處理 試驗條件 在一次試驗中每個因子總?cè)∫粋€特定的水平 稱各因子水平的一個組合為一個處理或一個試驗條件 四 試驗指標與試驗結(jié)果 1 試驗指標 是指衡量試驗條件好壞的特性 可以是質(zhì)量特性也可以是數(shù)量特性 它是一個隨機變量 2 試驗結(jié)果 在一個特定的試驗中特性的觀察值稱為試驗結(jié)果 用Y表示 且假定 Y 其中 是一個依賴于試驗條件的常量 隨試驗條件的變化而變化 是一個隨機變量 常假定它服從正態(tài)分布N 0 2 3 試驗誤差 測量值Y與真值 之間的偏差 Y 稱為試驗誤差 簡稱誤差 誤差是不可避免的 它時隱時現(xiàn) 時大時小 時正時負 以不可預測的方式出現(xiàn) 故誤差 是一個隨機變量 五 通用符號 在試驗表中 一般用 號或 1 2 3 來表示因素的不同水平 當因素只有高低兩個水平時 用 號代表高 號代表低水平 數(shù)值較低 當因素有3個以上水平時 用 1 2 3 來依次表示從低到高的水平 值得一提的是 在同一試驗表中 只能出現(xiàn)同類符號 比如 或 1 低水平 2 中間水平 3 高水平 而不可混用 三 試驗設(shè)計的一般指南 1 有關(guān)人員要對試驗目的清楚 目的是什么 理解 為什么要這么做 和接受 這樣做是對的 2 選好指標 確定測量指標的儀器或量具 3 選好可控因子和水平 4 選擇試驗設(shè)計方案 5 按計劃完成每一個試驗 記錄試驗結(jié)果 6 進行統(tǒng)計分析 獲得一些統(tǒng)計推斷的結(jié)果 7 驗證試驗 確認無誤時再寫出下報告 提出今后的行動建議 四 正交表簡介 正交表是一套已經(jīng)制作好的規(guī)格化的表格 是正交試驗設(shè)計的基本工具 一 表式 其基本表式如下 表4 2L4 23 表頭L4 23 的意義 L表示正交表 L的下標4表示試驗的次數(shù) 正交表的行數(shù) 括號中的23表示試驗因素 因子 數(shù)與水平數(shù) 3表示因子數(shù) 本表最多安排三個因素 2表示每個因素的水平數(shù) 表中列號表示因素 因子 試驗號表示試驗的次數(shù) 即第幾次試驗 二 正交表的特點 正交性 即 1 每列中不同的數(shù)字重復次數(shù)相同 如上表 2 將任意兩列的同行數(shù)字看成一個數(shù)對 那么一切可能數(shù)對重復次數(shù)相同 三 正交表的類型 常用的正交表有兩類 即水平數(shù)相等的正交表和水平數(shù)不等的正交表 亦稱為混合水平的正交表 1 水平數(shù)相等的正交表水平數(shù)相等的正交表 按水平數(shù)的多少由分為二水平正交表 如L4 23 L8 27 三水平正交表 如L9 34 L27 313 等 下面以L8 27 為例說明水平數(shù)相等的正交表的共同特點 1 每一列都恰有4個1和4各2 這說明每一列各水平記號重復次數(shù)相等 2 任兩列同一橫行形成的8個數(shù)字對中 1 1 1 2 2 1 2 2 這四種搭配方式各出現(xiàn)兩次 這說明任兩列水平的各種搭配方式重復次數(shù)也相等 這兩個特點是所有正交表的共性 稱為正交表的正交性 正是因為這種正交性 才使得用正交表安排的試驗 均衡分散 整齊可比 進而具有很強的代表性 一般的水平數(shù)相等的正交表 可以用記號Ln qp 表示 其中各字母的意義如下 L 正交表 n 行數(shù) 試驗次數(shù) q 水平數(shù) 號碼個數(shù) p 列數(shù) 因素個數(shù) 其中水平數(shù)q只能為素數(shù)或素數(shù)的冪 且一般情況下n q p滿足下面的關(guān)系式 n 1 p q 1 或p n 1 q 1 n qk k 2 3 4 n 1稱為正交表的總自由度 q 1是每一列的自由度 上式表明 正交表的總自由度等于各列的自由度之和 如 二水平正交表L8 27 8 23 8 1 7 2 1 三水平正交表L27 313 27 33 27 1 13 3 1 四水平正交表L16 45 16 42 16 1 5 4 1 五水平正交表L25 56 25 52 25 1 6 5 1 等 2 交互作用表 若因素A對試驗指標的影響與因素B的水平有關(guān) 反之亦然 則稱因素A與因素B之間存在交互作用 并記為A B 在多因素的試驗中 如考慮交互作用 必須按交互作用表設(shè)計表頭 每一張水平數(shù)相等的正交表 其后面均有一張交互作用表 如L8 27 的交互作用表為P386 在多因素試驗中 當考慮交互作用時 可以用交互作用表來設(shè)計表頭和安排試驗 例如若用L8 27 安排試驗 如因素A排第1列 因素B排在第2列 則A B必須排在第3列 3 不考慮交互作用的正交表 即正交表的行數(shù) 列數(shù) 水平之間不滿足上述的兩個關(guān)系 自由度分解公式 往往只能考察各因子的影響 不能用這些正交表來考察因子之間的交互作用 如 二水平正交表 L12 211 L20 219 三水平正交表 L18 37 L36 316 混合水平正交表 L18 2 37 L36 23 313 等4 水平數(shù)不等的正交表下面以正交表L8 41 24 為例 說明水平數(shù)不等的正交表的的特點 如表4 3正交表L8 41 24 正交表L8 41 24 的第一列為4水平列 其余4列均為2水平列 它有8行 共要做8次試驗 不難驗證L8 41 24 亦有前面所述的正交性 其自由度分解公式為 8 1 1 4 1 4 2 1 最后 需要補充說明兩點 1 有些特殊的正交表不滿足自由度分解公式 這類正交表稱為不完備的正交表 如L18 21 37 2 正交設(shè)計中 有時可控因素與可控因素之間 雖然存在交互作用 但不求算 這樣就希望選用交互作用均勻配列于所有列上的正交表 而L12 211 L18 21 37 L36 211 312 基本滿足這一要求 因此用它們來安排試驗 可以不考慮交互作用 五 正交表的性質(zhì) 正交試驗表具有以下兩個性質(zhì) 1 整齊可比性 在同一張正交表上 每個因素的每個水平出現(xiàn)的次數(shù)是完全相同的 由于試驗中各因素的各水平參與試驗的頻率相同 這保證了各水平在試驗時最大程度排除了其他因素水平的干擾 有利于找到最好的試驗條件 2 均衡分散性 在同一正交試驗表中 任意兩列的水平配對是完全相同的 這使試驗具有很強的代表性 很容易找出較好的試驗條件 下圖 4 3 表示了3因素2水平的均衡分散性 圖4 3 3因素 2水平的問題若要進行全面試驗 需23 8次 利用正交表則只需4次 即從L4 23 正交表如下 L4 23 與上圖相比較來說明此問題 該例的3個因素如一個正方體的三向坐標 每一個因素的的2個水平就是每個方向上線段的兩端 該立方體共8個角 代表全部8次試驗如下表 23設(shè)計 正交試驗只選其中的4個角代替全面試驗的8個角 如下圖 4 4 黑點所示 圖4 4 觀察可知 正方體的6個面上每個面都被選中兩個角 12條邊上每條邊都有1個點 雖只選了8個角中的4個 但對AB AC BC任意兩個因素而言均為全面試驗 因此此4點有很強的代表性 假定所要找的最優(yōu)搭配不在正交試驗的4個點中 如111 會通過與該點相鄰的較優(yōu)搭配表現(xiàn)出來 而此三點都是試驗中的點 112 211 121 通過這3個點可很容易就找到最優(yōu)點 正交試驗表之所以具有很高的效率 通過部分試驗代替全部試驗 主要因為其具有的整齊可比性和均衡分散性 4 3無交互作用的正交設(shè)計與數(shù)據(jù)分析 一 正交設(shè)計與數(shù)據(jù)分析的步驟二 實例 一 正交設(shè)計與數(shù)據(jù)分析的步驟 一 試驗方案的設(shè)計步驟 1 明確試驗目的 確定試驗指標 2 確定因子與水平 制定因子水平表 3 選用合適的正交表 進行表頭設(shè)計 列出實驗計劃 二 進行試驗和記錄試驗結(jié)果 并以表格形式顯示出來 三 試驗結(jié)果的分析 1 試驗結(jié)果的直觀分析 包括 1 尋找最好的試驗條件 即通過 綜合比較 尋找最好的試驗條件 2 各因子對指標影響程度大小的分析 3 繪制各因子不同水平對指標的影響圖 2 試驗結(jié)果的極差分析 即通過極差的大小來判斷因素的主次 并探索最佳試驗方案 其具體步驟如下 1 列表計算各值 總和T Y 每一列的部分和T1 1水平對應的數(shù)據(jù)和 T2 2水平對應的數(shù)據(jù)和 每一列的極差 R T2 T1 2 按極差的大小 判斷因素的影響大小 極差越大 因素的影響越大 3 最佳工藝的確定 主要因素選取最優(yōu)水平 次要因素任選或參考其他條件選取 3 試驗結(jié)果的方差分析 所謂方差分析 是通過比較因素的方差與試驗誤差的方差 來檢驗因素對試驗指標的影響是否顯著 其實質(zhì)是假設(shè)多個總體方差相等的情況下 判斷它們的均值是否相等 1 統(tǒng)計模型方差分析的假定 若記水平下的實驗結(jié)果為則有 其中與該條件中各因子的水平有關(guān) 現(xiàn)假定為效應可加模型 2 總平方和的分解 3 最佳條件的選擇與對應條件下指標均值的估計 首先 對顯著因子應該選擇其最好的水平 因為其水平的變化會造成指標的顯著不同 而對不顯著因子可以任意選擇水平 實際中?？筛鶕?jù)降低成本 操作方便等來考慮其水平的選擇 其次 對應條件下指標均值的估計 按對應條件下的效應可加模型對指標均值進行估計 四 繪制效應圖 五 驗證實驗 二 實例 一 數(shù)據(jù)的直觀分析 例4 4 為了提高某化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率 選擇三個化學反應因素 反應溫度 A 反應時間 B 用堿量 C 進行試驗 每個因素選用三個水平 因子A 80 85 90 因子B 90分鐘 120分鐘 150分鐘 因子C 5 6 7 試求三因素對提高轉(zhuǎn)化率最優(yōu)條件的組合 解 1 試驗目的是提高化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率 試驗指標為 轉(zhuǎn)化率 試驗因子3個 且各因子有3個水平 2 選用合適的正交表 進行表頭設(shè)計 列出實驗計劃 這是一個3因子3水平的試驗 從附表5正交表中查出3水平的表有 L9 34 L27 313 如果全面的試驗33 27 這是L27 313 試驗次數(shù)太多 大可不必 故選L9 34 安排試驗 如下表4 17 根據(jù)下表安排的試驗 結(jié)果列于表的右側(cè) 對試驗結(jié)果的分析常用下面四種方法 綜合比較法 先將因子A第一水平 即80 的三次試驗結(jié)果相加得123 Y1 Y2 Y3 即表中的T1 再除以3得平均數(shù) 41 再將因子A第二水平 即85 的三次試驗結(jié)果相加得T2 144 再除以3得平均數(shù) 48 其余類推列于表中 即 表4 17 因子A因子B因子CT1 Y1 Y2 Y3 123T1 Y1 Y4 Y7 141T1 Y1 Y6 Y8 135T2 Y4 Y5 Y6 144T2 Y2 Y5 Y8 165T2 Y2 Y4 Y9 171T3 Y7 Y8 Y9 183T3 Y3 Y6 Y9 144T3 Y3 Y5 Y7 1443 各因子對指標影響程度大小的分析以平均數(shù)為縱坐標 因素水平為橫坐標 將轉(zhuǎn)化率繪圖如下 圖4 5 從上圖可以看出 因子A是一個影響轉(zhuǎn)化率最大的因素 三點連線一直呈上升趨勢 而且可能尚未到頂 其他因子出現(xiàn)拐彎點 而且變化幅度也不比因子A大 三因子最優(yōu)條件的組合為A3B2C2 即90 120分 6 而這最優(yōu)條件的組合并不包括在9次試驗之中 而是通過試驗設(shè)計分析出來的 由此也可證明試驗設(shè)計的優(yōu)越性 也可以通過計算各因子的極差來判斷各因子對指標的影響程度的大小 這里指的極差是該因子不同水平對應的試驗結(jié)果均值的最大值與最小值的差 因為該值大的話 則改變這一因子的水平會對指標造成較大的變化 所以該因子對指標影響大 反之 影響就小 本例RA RC RB 二 數(shù)據(jù)的方差分析 正交試驗設(shè)計的簡單直觀分析雖有不少優(yōu)點 如計算工作量小 直觀易于理解 但同時存在分辨能力不強 給不出誤差估計等缺陷 因子極差的大小可以評價各因子對指標影響的大小 但到底多大才算有顯著作用而多小才算沒顯著作用 這就要憑專業(yè)知識來判斷 正交設(shè)計的方差分析就可補充直觀分析的不足 可以給出比較科學的判斷 1 統(tǒng)計模型對數(shù)據(jù)進行方差分析時要作如下假定 若記AiBjCk水平下的試驗結(jié)果為Yijk 則根據(jù)Y 有Yijk ijk ijk 其中 ijk與該條件中各因子的水平有關(guān) 現(xiàn)假定為效應可加模型 即 假設(shè)因子A在水平A1 A2 A3上的效應分別為a1 a2 a3 因子B在水平B1 B2 B3上的效應分別為b1 b2 b3 因子C在C1 C2 C3上的效應分別為c1 c2 c3 效應表示一個因子在某種水平下與母體平均數(shù)的偏差 數(shù)學模型為 Y1 a1 b1 c1 1Y2 a1 b2 c2 2Y3 a1 b3 c3 3Y4 a2 b1 c2 4Y5 a2 b2 c3 5Y6 a3 b2 c1 6Y7 a3 b1 c3 7Y8 a3 b2 c1 8Y9 a3 b3 c2 9它滿足條件a1 a2 a3 0 b1 b2 b3 0 c1 c2 c3 0 其中 1 2 9是獨立同分布正態(tài)變量 它們服從N 0 2 2 平方和分解 方差分析的實質(zhì)是假設(shè)檢驗 在母體上作假設(shè) H01 a1 a2 a3 0 H02 b1 b2 b3 0 H03 c1 c2 c3 0若假設(shè)H01成立 則表示因子A對試驗結(jié)果無顯著作用 否則 因子A對試驗結(jié)果有顯著作用 同理 H02或H03成立分別表示因子B或C對試驗結(jié)果無顯著作用 而方差分析就是去檢驗上述假設(shè)是否成立 為進行方差分析 就必須從試驗結(jié)果出發(fā) 由于試驗條件的不同與試驗中存在誤差 因此各試驗結(jié)果不同 可以用總偏差平方和ST去描述數(shù)據(jù)的總波動 F比 上式Se中只反映了誤差的波動 而SA中除了反映誤差外還反映A的效應不同所引起的波動 所以 若比較SA與Se的大小 當SA比Se大的多時 則可以認為因子A是顯著的 否則就認為A不顯著 由于各 i相互獨立同分布 均為N 0 2 因此各 i服從N 0 2 3 分布 Se 2則服從自由度為2的 2分布 當因子A不顯著時 即a1 a2 a3 0時 SA 2也服從自由度為2的 2分布 同理SB 2和SC 2也服從自由度為2的 2分布 且SA 2 SB 2 SC 2 Se 2相互獨立 若記 VA SA 2 VB SB 2 VC SC 2 Ve Se 2 則FA VA Ve FB VB Ve FC VC Ve也分別服從自由度為 2 2 的F分布 給定顯著水平 查表可得F1 2 2 的值 由一次抽樣后得子樣值算得FA FB FC的值 若FA F1 2 2 時 則拒絕原假設(shè)H01 即認為因子A顯著 若FA F1 2 2 時 則接受原假設(shè)H01 即認為因子A對試驗結(jié)果無顯著作用 同樣可以寫出因子B和C對試驗結(jié)果有無顯著作用的檢驗方法 注 一般地 一個因子的自由度是其水平數(shù) 1 即q 1 因子與所在列的自由度相等 誤差的偏差平方和為正交表上的空白列的偏差平方和相加而得 其自由度為正交表上空白列的自由度相加 總偏差平方和的自由度為試驗次數(shù) 1 即n 1 當正交表中行數(shù)n 列數(shù)p與水平數(shù)q滿足n 1 p q 1 時 對偏差平方和有關(guān)系式 ST S1 S2 Sp 同樣對自由度也有關(guān)系式 fT f1 f2 fp n 1式中 fT為正交表的自由度 fj為第j列的自由度 Si fi為因子一列的均方和 計算 列表計算 通過代數(shù)式運算 計算FA FB FC的值可用下面方差分析表 表4 18方差分析表 現(xiàn)將 例4 4 中的轉(zhuǎn)化率的試驗方案與結(jié)果以及計算過程列于下表4 19 表4 19續(xù) 表4 20 例4 4 的方差分析表 給定 5 查得F1 2 2 19 2 所以FA 19 FB 19 FC 19 這表明反應溫度對轉(zhuǎn)化率有顯著影響 而反應時間與用堿量對轉(zhuǎn)化率無顯著影響 3 最佳條件的選擇與對應條件下指標值的估計對顯著因子應選擇其最好水平 因為其水平變化會造成指標的顯著不同 而對不顯著因子可以任意選擇水平 實際中?？梢愿鶕?jù)降低成本 為了操作方便等考慮其水平的選擇 4 4有交互作用的正交設(shè)計與數(shù)據(jù)分析 一 交互作用二 試驗的設(shè)計三 數(shù)據(jù)分析四 避免混雜現(xiàn)象 表頭設(shè)計的一個原則 一 交互作用 上述討論的正交設(shè)計是沒有交互作用的 但是客觀上工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學研究中兩因素或更多因素的交互作用是很多的 一 交互作用 兩個因子間的交互作用是指 一個因子的水平的好壞或好壞的程度受另一因子水平的制約情況 反應在圖上是 無交互作用的場合 兩條線平行 而有交互作用的場合 兩條線不平行 它們或相交或延長后相交 二 交互效應 是指在多因子的試驗中 試驗結(jié)果顯示 當兩個因子或多個因子的某種水平組合有時會提高指標值 有時會降低指標值 這種效應稱為交互效應 1 當兩個因子間無交互作用時 有效應可加模型 ij ai bi 其中 ij為AiBj水平下的平均值 為一般均值 ai bi分別為因子A B的效應 2 在存在交互作用的情況中 上式不成立 即存在交互效應 ab ij ij ai bi 其中 ab ij為因子A的第i水平與因子B的第j水平的交互效應 3 如果因子A有P個水平 B有q個水平 則這些交互效應滿足如下約束條件 ab i1 ab i2 ab iq 0 i 1 2 p ab 1j ab 2j ab pj 0 j 1 2 q 二 試驗的設(shè)計 一 步驟 1 明確試驗的目的 2 明確試驗指標 3 確定試驗中所考慮的因子與水平 并確定可能存在并要考察的交互作用 4 選用適當?shù)恼槐?二 實例 例4 5 某橡膠硫化工藝的試驗 變動的因素有 因子A 硫磺加入量 6 8 二個水平 因子B硫化溫度 140 142 二個水平 因子C硫化時間 3小時 4小時二水平 考核指標 彎曲強度 試用正交設(shè)計法查清主因素與交互作用的效應 解 查找兩因素的正交表 找出L8 27 可以滿足試驗要求 該表有7列 為了保證主因素不被混雜 根據(jù)L8 27 二列間的交互作用 將A B C三個因素放在1 2 4三列上 其次 為了使交互作用也要查清 將A B放在3列上 將A C放在5列上 將B C放在6列上 富裕第7列未用 按照上述試驗水平的安排進行試驗 并將試驗結(jié)果列入表4 21的右側(cè) 計算T1與T2的值 并將計算出的極差列入表的下部 對比極差結(jié)果 可以看出因子A與交互作用B C突出的高于其它因素與交互作用 是影響成品彎曲的主要參數(shù) 關(guān)于B C的交互作用是什么水平組合的結(jié)果好呢 因素B的1水平與因素C的1水平共有2次組合 其試驗結(jié)果為1 5與2 0 平均為1 75 因素B的1水平與因素C的2水平共有2次組合 其試驗結(jié)果為2 0與3 0 平均為2 5 其余的組合列此計算 結(jié)果如下 表4 2