第八章 散射.ppt

第八章散射 8 1散射現(xiàn)象的一般描述8 2分波法8 3玻恩近似 微觀粒子的散射也可分為彈性散射和非彈性散射兩種 彈性散射 碰撞前后粒子的性質(zhì)和內(nèi)部能級(jí)都不變 僅僅發(fā)生整體的動(dòng)量和能量交換 非彈性散射 碰撞前后粒子的性質(zhì)沒變 但內(nèi)部能級(jí)發(fā)生了躍遷 而當(dāng)粒子被力場(chǎng)散射時(shí) 粒子的能量組成連續(xù)譜 在質(zhì)心坐標(biāo)系中 彈性散射過程相當(dāng)于質(zhì)量為m的粒子從遠(yuǎn)方入射 受勢(shì)場(chǎng)V r 的作用而改變其運(yùn)動(dòng)方向 考慮一束粒子流沿著z軸方向向粒子A射來 A為散射中心 MA遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于入射粒子的質(zhì)量 碰撞后粒子A的運(yùn)動(dòng)可忽略 散射角 入射粒子受A的散射作用而偏離原來的運(yùn)動(dòng)方向與入射方向成夾角 單位時(shí)間內(nèi)散射到面積元dS上的粒子數(shù)dn應(yīng)與dS成正比 與dS到A點(diǎn)的距離的平方成反比 dn還應(yīng)與入射粒子流強(qiáng)度N成正比 粒子流強(qiáng)度應(yīng)為垂直于入射粒子流前進(jìn)的方向取一單位面積S0 單位時(shí)間內(nèi)穿過S0的粒子數(shù)就是入射粒子流強(qiáng)度N q 的量綱為 q 具有面積的量綱 因此稱為微分散射截面 如果在垂直于粒子流的入射方向取面積q d 則單位時(shí)間內(nèi)穿過該面積的粒子數(shù)等于dn 對(duì)所有方向積分 總的散射截面 散射理論的主要內(nèi)容是建立微分散射截面q 與總截面Q的理論方法 從理論和實(shí)驗(yàn)的比較中研究散射作用勢(shì)V r 的性質(zhì) 作為散射過程的量子力學(xué)描述 設(shè)入射粒子流為平面波 表明每單位體積只入射一個(gè)粒子 入射波粒子的幾率密度流為 取散射中心為坐標(biāo)原點(diǎn) 用U r 表示入射粒子與散射中心之間的相互作用能 則體系的薛定諤方程 一般觀察被散射的粒子都是遠(yuǎn)離散射中心的 所以只討論r 時(shí)的 就足夠了 當(dāng)r U r 0 因此 波函數(shù)應(yīng)由兩部分構(gòu)成 一部分是入射粒子的平面波 另一部分是描寫散射粒子的球面散射波 遠(yuǎn)離散射中心處 散射波應(yīng)取外向球面波的形式 該球面散射波是由散射中心向外傳播的 我們只考慮彈性散射 所以散射波的能量守恒 即波矢k數(shù)值不變 由于f 只與角度有關(guān) 與r無關(guān) 取入射波的歸一化常數(shù)A 1 則 f 稱為散射振幅 是與角度相關(guān)的函數(shù) 散射的幾率流密度為 表示單位時(shí)間內(nèi)穿過球面上單位面積的粒子數(shù) 故單位時(shí)間穿過面積dS的粒子數(shù)是 因?yàn)?N 可知微分散射截面為 8 2分波法 本節(jié)將介紹粒子受到中心力場(chǎng)的彈性散射時(shí) 從解方程求出散射截面的一種方法 在中心力場(chǎng)中 勢(shì)能U r 只與粒子到散射中心的距離r有關(guān) 中心勢(shì)場(chǎng) 與r的方向無關(guān) 方程為 取粒子入射方向并通過散射中心的軸為極軸 該軸為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸 波函數(shù) 和散射振幅f都與 無關(guān) 由于 與 無關(guān) m 0 其一般解可以寫為 該展式中的每一項(xiàng)稱為一個(gè)分波 Rl r Pl cos 是第l個(gè)分波 每一個(gè)分波都是方程的解 通常稱l 0 1 2 的分波分別為s p d 分波 徑向波函數(shù)滿足方程 設(shè) 因?yàn)閒只是 的函數(shù) 的漸近式也只與 有關(guān) 對(duì)于散射后的波 我們來求徑向方程的漸近解 r V r 0 方程為 漸近解為 將入射平面波eikz按球面波展開公式 散射后的總波函數(shù) 散射波函數(shù) 等式兩邊的eikr應(yīng)該相等 這就是散射振幅公式 微分散射截面為 總散射截面為 利用 Ql稱為第l個(gè)分波的散射截面 0時(shí) cos 1 Pl 1 1 f 0 的虛部為 而總的散射截面為 該公式稱為光學(xué)定理 用分波法求散射截面的問題歸結(jié)為計(jì)算相移 l 如果Q中的級(jí)數(shù)收斂的很快 我們只須計(jì)算前面幾個(gè)分波的相移就可以得到足夠精確的結(jié)果 反之 如果該級(jí)數(shù)收斂得很慢 要得到較好的結(jié)果需要算出許多個(gè)分波的相移 計(jì)算是很復(fù)雜的 近似求解 對(duì)產(chǎn)生散射的勢(shì)場(chǎng)V r 的作用范圍是以散射中心為球心 以a為半徑的球內(nèi) 當(dāng)r a時(shí) V r 可略去不計(jì) 散射只在r a的范圍內(nèi)發(fā)生 當(dāng)r很小時(shí) jl kr 隨kr很快趨于零 l愈大 趨于零愈快 如果jl kr 的第一極大值在a之外 勢(shì)場(chǎng)作用范圍r a內(nèi)jl kr 很小 則第l分波受到勢(shì)場(chǎng)的影響很小 則散射所產(chǎn)生的相移 l很小 相移 l只要從l 0算到l ka就足夠了 球面貝塞爾函數(shù)jl kr 的第一極大值位置在 特別是當(dāng)ka 1時(shí) 只須計(jì)算 0就能很準(zhǔn)確地計(jì)算散射截面 由此可見 分波法適用于低能散射的情況下 應(yīng)用準(zhǔn)經(jīng)典近似進(jìn)行估算 當(dāng)動(dòng)量的粒子的角動(dòng)量L大于 粒子軌道與散射中心的距離大于a 即軌道在勢(shì)場(chǎng)作用球之外 勢(shì)場(chǎng)對(duì)粒子不產(chǎn)生散射 因?yàn)長 l 所以受勢(shì)場(chǎng)散射的條件是 例題1 如果只需考慮S波 l 0 及P波 l 1 的散射 試寫出微分散射截面q 和散射角 的關(guān)系 并且 0 20 5 具體計(jì)算散射到 0 2 三個(gè)方向的粒子數(shù)相對(duì)比例 解 如略去l 2以上各分波的散射 根據(jù) 對(duì) 0 20 1 5 計(jì)算粒子數(shù)的相對(duì)比列 S波散射的角是各項(xiàng)同向的 雖然P波相移不足0 1弧度 但對(duì)角分布的影響卻很大 方形勢(shì)阱與勢(shì)壘產(chǎn)生的散射低能粒子受球?qū)ΨQ方形勢(shì)阱的散射 入射粒子能量很小 求粒子的s波散射 質(zhì)子和中子的低能散射可以近似地用這種方法處理 對(duì)低能散射 ka 1 在r 0處有限 所以 0 0 得到相移 總散射截面 在粒子能量很低 k 0 x 0 arctgx x 如果散射場(chǎng)不是勢(shì)阱而是方形勢(shì)壘 U 0 將k0換成ik0 k 0時(shí) 總散射截面 當(dāng)U0 時(shí) k0 經(jīng)典情況下 總散射截面就是作為散射中心的硬球的最大截面面積 a2 量子力學(xué)中得到的截面是經(jīng)典的4倍 8 3玻恩近似 書p278 量子躍遷 例 彈性散射 經(jīng)驗(yàn)表明 在入射粒子的動(dòng)能較大時(shí) 分波法需要計(jì)算很多分波 應(yīng)用起來很不方便 如果入射粒子的動(dòng)能比粒子與散射中心相互作用的勢(shì)能大得多 勢(shì)能U r 可看作微擾 以此來計(jì)算散射截面 體系的哈密頓量寫為 取箱歸一化的動(dòng)量本征函數(shù)L 3 2eikr作為H0的本征函數(shù) 這種歸一化描寫在L3內(nèi)有一個(gè)粒子 因?yàn)樽杂闪Ｗ拥牟ê瘮?shù)為 波函數(shù)滿足邊界條件 在兩個(gè)相對(duì)的箱壁上應(yīng)取相同的值 箱內(nèi)動(dòng)量的本征值為 得到 箱中粒子動(dòng)量的本征值為 每一組nx ny和nz都對(duì)應(yīng)一個(gè)態(tài) 而在動(dòng)量在 區(qū)間內(nèi)的狀態(tài)的數(shù)目為 用極坐標(biāo)來表示 動(dòng)量大小和方向在 狀態(tài)數(shù)為 動(dòng)量大小相同 但方向不同 以 m d m表示能量密度 狀態(tài)數(shù)變?yōu)?高能粒子受到互作用勢(shì)場(chǎng)的微擾后 使粒子從動(dòng)量為 k的初態(tài)躍遷到 k 的末態(tài) 根據(jù)能量守恒 有 入射粒子流強(qiáng)度為N0 L 3 單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角d 內(nèi)的粒子數(shù)為 另一方面 動(dòng)量大小為 k 方向在立體角內(nèi)的末態(tài)的態(tài)密度是 代入到單位時(shí)間內(nèi)的躍遷幾率公式中 得到單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角內(nèi)的粒子數(shù) 單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角內(nèi)的粒子數(shù) 歸一化的箱中粒子的波函數(shù) 引進(jìn)矢量K k k 例題 已知 解 由玻恩近似得到的微分散射截面 利用積分公式 求微分散射截面 得到 總散射截面 利用積分公式 幾種特例討論 1 V r r 為純庫侖勢(shì) 這就是著名的盧瑟福散射公式 總散射截面為 發(fā)散主要來自小角度 2 高速