第3節(jié) 函數(shù)的極限.doc

第三節(jié) 函數(shù)的極限教學目的：理解極限的概念，理解左右極限的概念，為研究微積分作好工具準備教學重點：各種趨勢下的極限定義，左右極限存在與極限存在的關系教學難點：極限概念的理解教學過程：一、函數(shù)極限的定義一般概念 在自變量的某個變化過程中，如果對應的函數(shù)值無限接近于某個確定的數(shù)，那么這個確定的數(shù)就叫做在這一變化過程中函數(shù)的極限。1函數(shù)當時的極限我們知道，當時越來越接近零如果函數(shù)當無限增大時，取值和常數(shù)要多接近就有多接近，此時稱是當時的極限，記作它的解析定義是：設函數(shù)當大于某一正數(shù)時有定義如果對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。偞嬖谥龜?shù)，使得對于適合不等式的一切，對應的函數(shù)值都滿足不等式，那么常數(shù)就叫做函數(shù)當時的極限，記作或（當）注：若（1）是唯一的確定的常數(shù)；（2）既表示趨于，也表示趨于如果時，取值和常數(shù)要多接近就有多接近，我們稱是當時的極限，記作如果時，取值和常數(shù)要多接近就有多接近，我們稱是當時的極限，記作顯然，存在的充分必要條件是2函數(shù)當時的極限滿足的的范圍稱作以為中心的鄰域，滿足的范圍稱作以為中心，以為半徑的去心鄰域，記作現(xiàn)在考慮自變量的變化過程為如果在的過程中，對應的函數(shù)值無限接近于確定的數(shù)值，那么就說是函數(shù)當時的極限當然，這里我們首先假定函數(shù)在點的某個去心鄰域內是有定義的它的解析定義是：設函數(shù)在點的某一去心鄰域內有定義如果對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正數(shù)，使得對于適合不等式的一切，對應的函數(shù)值都滿足不等式，那么常數(shù)就叫做函數(shù)當時的極限，記作或（當）注：若極限存在時（1）是唯一的確定的常數(shù)；（2）表示從的左右兩側同時趨于；（3）極限的存在與在有無定義或定義的值無關顯然，二、函數(shù)極限的性質定理1（極限的局部保號性） 如果，而且（或），那么就存在著點的某一去心鄰域，當在該鄰域內時，就有（或）定理1 如果（），那么就存在著的某一去心鄰域，當時，就有定理2 如果在的某一去心鄰域內（或），而且，那么（或）上述時函數(shù)的極限概念中，是既從的左側也從的右側趨于的但有時只能或只需考慮僅從的左側趨于（記作）的情形，或僅從的右側趨于（記作）的情形在的情形，在的左側，在的定義中，把改為，那么就叫做函數(shù)當時的左極限，記作或類似地，在的定義中，把改為，那么就叫做函數(shù)當時的右極限，記作或根據(jù)時函數(shù)的極限的定義，以及左極限和右極限的定義，容易證明：函數(shù)當時極限存在的充分必要條件是左極限及右極限各自存在并且相等，即因此，即使和都存在，但若不相等，則不存在圖1-7例1 函數(shù)當時的極限不存在證 當時的左極限，而右極限，因為